2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块02-不等式的性质及基本不等式-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块02-不等式的性质及基本不等式-2025新高考数学专题，共7页。试卷主要包含了不等关系与不等式，实数大小比较的依据，等式的性质，不等式的性质等内容，欢迎下载使用。
1) 在客观世界中, 量与量之间的不等关系是普遍存在的, 用数学 们之间的不等关系. 含有这些不等号的式子叫做不等式.
2) 用“” 连接的不等式叫严格不等式,用“ ≤ ” 或 “ ≥ ” 连 接的不等式叫非严格不等式.
3) 常见的文字语言转化为符号语言的对应关系:
2、实数大小比较的依据
关于实数 a,b 大小的比较,有以下基本事实:
如果 a−b 是正数,那么 a>b ; 如果 a−b 等于 0,那么 a=b ; 如果 a−b 是负数, 那么 ab⇔a−b>0;
a=b⇔a−b=0;
a0,a>b或c0 ,那么 1aa>b ,那么 1a0,b>0 ,则 ab≤a+b2 ,当且仅当 a=b 是,等号成立.
其中 a+b2 叫做正数 a,b 的算术平均数, ab 叫做正数 a,b 的几何平均数.
基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究
在图 2.2-1 中, AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上一点,
图 2.2-1
AC=a,BC=b . 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ,连接 AD , BD . 你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
(3) 基本不等式与重要不等式的区别与联系
→ 用 a 代替 a ,
1) 基本不等式可由重要不等式通过代换推导出来. 用 b 代替 b .
2) a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R ,而 a+b2≥ab 成立的条件是 a>0,b>0 ,其中 a,b 不仅可以是实数,也可以是代数式. 使用以 上两种不等式时, 要明确每个不等式成立的前提.(4) 基本不等式变形
1) 21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22a>0,b>0 . (基本不等式链)
○ 基本不等式链的几何意义
若 AD=a,BD=b ,
则 OC=OE=a+b2,CD= a2+b22,DE=ab,EF= 21a+1b( 由 △FED∽△DEO 易
求),由图形易知 EF0 ,再添加 m 克糖 m>0 (假设全部溶解),糖水变 甜了. 请将这一事实表示为一个不等式, 并证明这个不等式成立.
11. 已知 a>b>0 ,求证 a>b .
12. 火车站有某公司待运的甲种货物 1530t ,乙种货物 1150t . 现计划用 A,B 两种型号的货厢共 50 节运送这批货物. 已知 35t 甲种货物和 15t 乙种货物可装满一节 A 型货厢, 25t 甲种货物和 35t 乙种货物可装满一节 B 型货厢,据此安排 A,B 两种货厢的节数,共有几种方案? 若每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元, 每节 B 型货厢的运费是 0.8 万元, 哪种方案的运费较少?
新人教 A 版必修一 P49
7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金. 一位顾客到店里购买 10 g 黄金,售货员先将 5 g 的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡; 再将 5 g 的砝码放在天平 右盘中, 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡; 最后将两次称得的黄金交给顾客. 你认 为顾客购得的黄金是小于 10 g ,等于 10 g ,还是大于 10 g ? 为什么?
8. 设矩形 ABCDAB>AD 的周长为 24 cm ,把 △ABC 沿 AC 向 △ADC 折叠, AB 折过去后 交 DC 于点 P . 设 AB=x cm ,求 △ADP 的最大面积及相应 x 的值.
新人教 A 版必修一 P58
5. 若 a,b>0 ,且 ab=a+b+3 ,求 ab 的取值范围. 新人教 B 版必修一 P60
求方程 x2+x2+x2+x=30 的解集.
(2) 已知 3x−y−z=0,2x+y−z=0, 求 x2+y2x+yz 的值.
(3) 已知关于 x 的方程 x2−2k+1x+k2−2=0 的两根为 x1 与 x2 ,若 x1= x2 ,求实数 k 的值.
(4) 求关于 x 的方程 ax=b 的解集,其中 a,b 是常数.
(5) 求关于 x 的方程 x2+ax+1=0 的解集,其中 a 是常数.
新人教 B 版必修一 P80
(1) 已知 x∈−2,5 ,求 y=2+x5−x 的最大值,以及 y 取得最大值时 x 的值.
(2) 已知 x0 , 求实数 a 的取值范围.新人教 B 版必修一 P81
(3) 已知 x∈1,+∞ ,求 y=x2−x+4x−1 的最小值,以及 y 取得最小值时 x 的值.
(4) 设矩形 ABCD (其中 AB>BC ) 的周长为 24,如图所示,把它沿对角线 AC 对折后, AB 交 DC 于点 P . 设 AB=x ,求 △ADP 的最大面积.
(第 4 题)
(5) 已知 a,b 都是正数,且 a+b=1 ,求 1a+1b 的最小值.
(3) 设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线,周长是 2L . 回答下面的问题:
(1) 当封闭曲线为平行四边形时,用直径为 L 的圆形纸片是否能完全覆盖这 个平行四边形? 请说明理由.
(2) 求证: 当封闭曲线是四边形时, 正方形的面积最大. 新人教 B 版必修一 P84
9. (1) 比较 2xx2+1 与 1 的大小,并证明;
(2) 已知 a,b 都是正实数,且 a≠b ,试比较 a3+b3 与 ab2+a2b 的大小,并 证明.
新人教 B 版必修一 P85
6. 已知 x∈0,+∞ ,求 y=−2x2+x−3x 的最大值,以及 y 取得最大值时 x 的值.
7. 已知点 P 是以 AB 为直径的圆上任意一点,求 PA+PB 的最大值. 新人教 B 版必修一 P86
14. 有一支队伍长 L m ,以速率 v m/h 匀速前进. 排尾的传令兵因传达命令赶 赴排头, 到达排头后立即返回, 往返速率不变. 回答下列问题:
(1) 如果传令兵行进的速率为整个队伍行进速率的 2 倍, 求传令兵回到排尾时 所走的路程;
(2) 如果传令兵回到排尾时,全队正好前进了 L m ,求传令兵行走的路程.新人教 B 版必修一 P86
1. 已知 a>b>c,a+b+c=0 ,求证: ca−c>cb−c .
2. 求证: x1>x2 是 x13>x23 的充要条件.
3. 某电话号码可以看成一个八位数, 将前四位数组成的数与后四位数组成的数 相加得 14741, 将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 59453, 求此电话 号码对应的八位数.文字
大于,高于,
小于,低于,
大于或等于，
小于或等于，
语言
超过
少于
至少,不低于
至多，不超过
符号 语言
>
b⇔bb,b>c⇒a>c
同向
性质 3
可加性
a>b⇔a+c>b+c
可逆
移项法则
a+b>c⇔a>c−b
可逆
性质 4
可乘性 -
a>b,c>0⇒ac>bc
c 的符号
a>b,cd⇒a+c>b+d
同向
性质 6
同向同正可乘性
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
同向同正
性质 7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn n∈N,n≥2
同正