模块01 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）（测试）-2024年高考数学二轮复习测试（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）
（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C
2．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
则由题意可设，，其中，
则，且，
故，
故选：D．
3．已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若与的夹角为锐角，则且与不共线，
所以，解得且，
所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B．
4．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
5．设，则函数的最小值为（ ）
A．0B．C．-1D．
【答案】C
【解析】设，，则，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
6．是虚数单位，复数满足，其中. ：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是的充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，
若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，
即：，
因为选项中只有为的真子集，
所以选项中只有是的充分不必要条件.
故选：D.
7．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，可得或，
由，即，得，，
当，即时，不等式的解为，
此时不等式组的解集为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
当，即时，不等式的解为，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则，解得；
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
8．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是( )
A．、中至少有一个关于乘法是封闭的
B．、中至多有一个关于乘法是封闭的
C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．、中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【解析】若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得、中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知表示集合的整数元素的个数，若集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由，
因此，
由，
因此.
A：因为集合中的整数有，共10个，
所以，因此本选项正确；
B：因为，
所以本选项不正确；
C：因为集合中的整数有，共9个，
所以，因此本选项正确；
D：因为，所以，
因为，所以，因此本选项正确，
故选：ACD
10．下列结论正确的是（ ）
A．若a，b为正实数，，则
B．若a，b，m为正实数，，则
C．若，则“”是“”的充分不必要条件
D．不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，为正实数，，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，，为正实数，，所以，所以，故B错误；
对于C，由，可得或，故由可得，
但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由可得，由于成立的充分不必要条件是，
所以或，解得，故D正确．
故选：ACD
11．设，，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则或B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A：，则，则或，
即或，故A正确；
对于B：，，且，
所以，，故B正确；
对于C：设，则，
，，故C正确；
对于D，取，，则，但，，
则，故D错误．
故选：ABC
12．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最大值2
C．有最小值4D．有最小值
【答案】AC
【解析】对于A，，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，
所以有最小值4，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以有最小值，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设命题：，.写出一个实数 ，使得为真命题.
【答案】(答案不唯一)
【解析】若正确，时,有解，
时,则或，
所以，
综上，真，则，即中任取一个值都可以.
故答案为：(答案不唯一)
14．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ．
【答案】20
【解析】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师，
是会打蓝球的教师，
根据题意得，，，，，
再使用三元容斥原理得：
，
有，
而中把的区域计算了3次，
于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.
故答案为：20.
15．若复数z满足，则的最小值为
【答案】/
【解析】设，（不同时为0），
，
由题意可知，得或，
当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，
当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，
的最小值是点与的距离.
故答案为：.
16．已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】12
【解析】因为正实数，满足，
故，当且仅当时等号成立，
故
，
当且仅当，即时取等号，符合题意，
故的最小值为12，
故答案为：12
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设命题：“对任意，恒成立”．且命题为真命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）对任意，恒成立，即，
即对任意恒成立，
而，即，故
，
当且仅当，即时取等号，
故，则实数的取值集合.
（2）解，即，得或，
由于“”是“”的充分条件，故,
故，即，
所以实数的取值范围为或.
18．（12分）
已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【解析】（1）因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，
又，所以，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以，故.
（2）由（1）可知
当时，，
当时，.
（3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以把，代入得，
化简得，
即，解得：，
法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以此方程的另一根为：，则，
解得：，
19．（12分）
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【解析】（1）设每件定价为元，依题意得，
整理得，
解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解．
由于，当且仅当，即时等号成立，所以．
故当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，
才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
20．（12分）
已知关于的不等式的解集为或.
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，
即，.
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为.
21．（12分）
已知函数．
(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)若不等式的解集为D，若，求m的取值范围．
【解析】（1）当时，即，则由 ，得，不合题意，
当，即时，由不等式的解集为得
，解得，
所以的取值范围为；
（2）因为，所以，即，
当，即时，解得，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为，所以，所以，
所以不等式的解集为，
综上，当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（3）因为不等式的解集为，且，
所以对任意的，不等式恒成立，
即，
因为，
所以恒成立，
令，则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以的取值范围为.
22．（12分）
已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其它所有元素；
(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．
【解析】（1）由题意，可知，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A中的元素．
取，则，，，，
所以当时，A中的元素是3，，，．
（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
由（2）知0，，
若，则，与矛盾，
则有，即，0，1都不在集合A中．
若实数，则，，
，．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．
显然，否则，即，无实数解．
同理，，即A中有4个元素．
所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．