2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块13-空间向量-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块13-空间向量-2025新高考数学专题，共27页。试卷主要包含了空间向量的有关概念，空间向量的线性运算，共线向量与共面向量，空间向量数量积，空间向量基本定理，空间向量及其运算的坐标表示，空间向量的应用等内容，欢迎下载使用。
1. 与平面向量一样, 在空间中, 我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量.
2. 空间向量的长度 (模): 空间向量的大小叫做向量的
长度或模,如图,其模记为 a 或 AB .
3.空间向量的表示方法 (1)即利用黑体 a ,手写用 a ; (2) 空间向量
1) 用有向线段表示. 也可用有向线段表示, 有向线段的长度
2) 用字母 a,b 等表示. 表示空间向量的模.
1) 长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0 .
2) 模为 1 的向量称为单位向量.
3) 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
在空间中,同向且等长的 有向线段表示同一向量 或相等向量。
4) 与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量,记 为 −a . 类似实数 a 的相反数为 −a .
2、空间向量的线性运算
1.空间向量的加减法及数乘运算: 空间任意两个向量都可以平
○ 向量加法模的性质
a−b≤a+b≤a +b .
当 a,b 同向时,右等号成 立; 当 a,b 反向时,左等号成 立; 当 a,b 中有零向量时,两 等号均成立. 当 a,b 不共线时, 上式的几何意义是三角形任 意一边小于另两边之和, 大于 另两边之差.
移到同一平面内, 成为同一平面内的向量. 如图 1 , 已知空间向 量 a,b ,我们可以把它们移到同一平面 α 内,以任意点 O 为起 点,作向量 OA=a,OB=b . 类似于平面向量,定义空间向量的加 法、减法及其数乘运算 (如图 2、3).
图1
图2
图3
1) a+b=OA+AB=OB;2)a−b=OA−OC=CA ;
3) 当 λ>0 时, λa 与向量 a 的方向相同; 当 λ ) c ,即 a⋅bc=λ1c,ab⋅c= abccs⟨b,c⟩ ,即 ab⋅c= λ2a .
1. 由 a⋅b=b⋅cb≠0 不能得到 a=c .
2. 向量数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律, 但不适合乘法结合律,即 a⋅bc 不一定等于 ab⋅c . 这 是因为 a⋅bc 表示一个与向量 c 共线的向量,而 a(b . c)表示一个与向量 a 共线的向量
3. 空间向量没有除法运算. 对于两个非零向量 a,b 及实数 c , 由 a⋅b=c 不能得到 a=cb 及 b=ca .
5、空间向量基本定理
(1) 空间向量基本定理
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p ,
○ 归纳总结
1. 空间任何三个不共面的向 量都可构成空间的一个基 底, 因此空间的基底有无穷 多个.
2. 空间的基底是不共面向量, 故都不是 0 .
3. 基底选定后, 空间中的任何 向量均可由基底唯一表示.
存在唯一的有序实数组 x,y,z ,使得 p=xa+yb+zc . (1)
证明 设向量 a,b,c 不共面 (如图),过点
O 作 OA=a,OB=b,OC=c,OP=p ,过点 P 作 直线 PP′ 平行于 OC 交平面 OAB 于点 P′ ,在 平面 OAB 内,过 P′ 作直线 P′A′//OB,P′B′// OA ,分别与直线 OA、OB 相交于点 A′、B′ ,于是存在三个实数 x,y , z ,使 OA′=xOA=xa,OB′=yOB=yb,P′P=zc,OP=OA′+OB′+P′P =xOA+yOB+zOC ,即 OP=p=xa+yb+zc . (1)
如果 p=xa+yb+zc=x′a+y′b+z′c ,可推出 x=x′,y=y′,z=z′ ,这 也证明了表达式(1)是唯一的.
由此可知,如果三个向量 a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是 {p∣p= xa+yb+zc,x,y,z∈R} . 这个集合可看作由向量 a,b,c 生成的,我们把 {a,b , c} 叫做空间的一个基底 (base), a,b,c 都叫做基向量 (base vectrs). 空间任意三个 不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2) 正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直, 且长度都 为 1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用 {i,j,k} 表示. 三个向量互相垂直，
且都是单位向量.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 a ,都可以 分解为三个向量 xi,yj,zk ,使 a=xi+yj+zk . 像这样,把一个空间向 量分解为三个两两垂直的向量, 叫做把空间向量进行正交分解.
6、空间向量及其运算的坐标表示（右手直角坐标系）
(1) 空间直角坐标系
类似地,在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i,j,k} (图 1.3-2). 以点 O 为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向、以 它们的长为单位长度建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫 做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,O 叫做
图 1.3-2
原点, i,j,k 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐 标平面,分别称为 Oxy 平面, Oyz 平面, Ozx 平面,它们把空间 分成八个部分.
画空间直角坐标系 Oxyz 时,一般使 ∠xOy=135∘ (或 45∘ ), ∠yOz=90∘ .
(2) 空间向量的坐标表示
一般地,如果空间向量的基底 e1,e2,e3 中, e1,e2,e3 都是单位向 量, 而且这三个向量两两垂直, 就称这组基底为单位正交基底; 在单位正交 基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果 p=xe1+ye2+ ze3 ,则称有序实数组 x,y,z 为向量 p 的坐标,记作
p=x,y,z,
其中 x,y,z 都称为 p 的坐标分量.
(3) 空间向量的坐标运算
设
a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3,
与平面向量运算的坐标表示一样, 我们有:
a+b=a1+b1,a2+b2,a3+b3,
a−b=a1−b1,a2−b2,a3−b3,
λa=λa1,λa2,λa3,λ∈R,
a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3.
当 b≠0 时, a//b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3λ∈R ;
a⊥b⇔a⋅b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
a=a⋅a=a12+a22+a32;
cs⟨a,b⟩=a⋅bab=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32.
(4) 空间向量的夹角与距离公式
1. 夹角公式
设非零向量 a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2 ,则 cs⟨a,b⟩
=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12⋅x22+y22+z22.
2.距离公式
在空间直角坐标系中,已知 Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2 ,则 A ,
B 两点间的距离 dAB=x2−x12+y2−y12+z2−z12 .
7、空间向量的应用
(1) 空间中点、直线、平面的向量表示
如图 1.4-1,在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那
么空间中任意一点 P 就可以用向量 OP 来表示. 我们把向 量 OP 称为点 P 的位置向量.
一般地,如果 l 是空间中的一条直线, v 是空间中的一个非零向量,且 表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合,则称 v 为直线 l 的一个方向 向量. 此时,也称向量 v 与直线 l 平行,记作 v//l .
用向量表示直线 l ,就是要利用点 A 和直线 l 的方向向
图 1.4-2
量表示直线上的任意一点.
如图 1.4-2, a 是直线 l 的方向向量,在直线 l 上取 AB= a ,设 P 是直线 l 上的任意一点,由向量共线的条件可知, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,使得
AP=ta,即AP=tAB.
进一步地,如图 1.4-3,取定空间中的任意一点 O ,可
图 1.4-3
以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,使
OP=OA+ta,
(1)
将 AB=a 代人(1)式,得
OP=OA+tAB
(2)
(1)式和(2)式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知,
空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 你能证明这个结论吗?
我们知道,平面 α 可以由 α 内两条相交直线确定. 如图 1.4-4,设两条直线相交于点 O ,它们的方向向量分别为 a 和 b,P 为平面 α 内任意一点,由平面向量基本定理可知, 存在唯一的有序实数对 x,y ,使得
OP=xa+yb.
这样,点 O 与向量 a,b 不仅可以确定平面 α ,还可以具体表示出 α 内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用.
图 1.4-4
图 1.4-5
进一步地,如图 1.4-5,取定空间任意一点 O ,可以得 到,空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x , y ,使
OP=OA+xAB+yAC
(3)
你能证明这个结论吗?
我们把(3)式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可
(2) 平面的法向量
如图 1.4-6,直线 l⊥α . 取直线 l 的方向向量 a ,我们称向量 a 为平面 α 的法向量 (nrmal vectr). 给定一个点 A 和一个向量 a ,那么过点 A ,且以向量 a 为法向量的平面 完全确定,可以表示为集合 {P∣a⋅AP=0} .
图 1.4-6
如果另有一条直线 m⊥α ,在直线 m 上任取向 量 b,b 与 a 有什么关系?
(3) 空间直线、平面位置关系判定
如图 1.4-8,设 u1,u2 分别是直线 l1,l2 的方向向量. 由方向向量的定义可知,如 果两条直线平行, 那么它们的方向向量一定平行; 反过来, 如果两条直线的方向向量平 行, 那么这两条直线也平行. 所以
l1//l2⇔u1//u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2.
图 1.4-8
图 1.4-9
图 1.4-10
类似地,如图 1.4-9,设 u 是直线 l 的方向向量, n 是平面 α 的法向量, l⊄α 则
l//α⇔u⊥n⇔u⋅n=0.
如图 1.4-10,设 n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量,则
α//β⇔n1//n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2.
一般地, 直线与直线垂直, 就是两直线的方向向量垂直; 直线与平面垂直, 就是直线 的方向向量与平面的法向量平行; 平面与平面垂直, 就是两平面的法向量垂直.
如图 1.4-13(1),设直线 l1,l2 的方向向量分别为 u1,u2 ,则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1⋅u2=0.
图 1.4-13
如图 1.4-13(2),设直线 l 的方向向量为 u ,平面 α 的法向量为 n ,则
l⊥α⇔u//n⇔∃λ∈R, 使得 u=λn .
如图 1.4-13(3),设平面 α,β 的法向量分别为 n1 ,
n2 ,则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1⋅n2=0.
(4) 利用空间向量研究空间距离与夹角 (1)空间中的距离
如图 1.4-16,向量 AP 在直线 l 上的投影向量为 AQ ,则
图 1.4-16
△APQ 是直角三角形. 因为 A,P 都是定点,所以 AP,AP 与 u 的夹角 ∠PAQ 都是确定的. 于是可求 AQ . 再利用勾股定理, 可以求出点 P 到直线 l 的距离 PQ .
设 AP=a ,则向量 AP 在直线 l 上的投影向量 AQ=a⋅uu .
在 Rt △APQ 中,由勾股定理,得
PQ=AP2−AQ2=a2−a⋅u2.
如图 1.4-17,已知平面 α 的法向量为 n,A 是平面 α 内的定点, P 是平面 α 外一点. 过点 P 作平面 α 的垂线 l ,交平面 α 于点 Q ,则 n 是直线 l 的方向向量,且点 P 到平面 α 的距离就是 AP 在直线 l 上的投影向量 QP 的长度. 因此
PQ=AP⋅nn=AP⋅nn=AP⋅nn.
类似地, 请同学们研究如何求两个平行平面的距离.
(2)空间中的夹角
一般地, 两条异面直线所成的角, 可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求 得. 也就是说,若异面直线 l1,l2 所成的角为 θ ,其方向向量分别是 u,v ,则
csθ=cs⟨u,v⟩=u⋅vuv=u⋅vuv.
类似地, 直线与平面所成的角, 可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. 如图 1.4-20,直线 AB 与平面 α 相交于点 B ,设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ ,直线 AB 的方向向量为 u ,平面 α 的法向量为 n ,则
sinθ=cs⟨u,n⟩=u⋅nun=u⋅nun.
图 1.4-20
图 1.4-21
如图 1.4-21,平面 α 与平面 β 相交,形成四个二面角, 我们把这四个二面角中不大于 90∘ 的二面角称为平面 α 与平 面 β 的夹角.
类似于两条异面直线所成的角,若平面 α,β 的法向量 分别是 n1 和 n2 ,则平面 α 与平面 β 的夹角即向量 n1 和 n2 的夹角或其补角. 设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ ,则
csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1n2=n1⋅n2n1n2.
三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射 影垂直, 则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂 直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版选择性必修一 P9
3. 如图,在平行六面体 ABCD−A′B′C′D′ 中, AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90∘,∠BAA′= ∠DAA′=60∘ . 求:
(1) AA′⋅AB ; (2) AB′ 的长; (3) AC′ 的长.
(第 2 题)
(第 3 题)
(第 4 题)
4. 如图,线段 AB,BD 在平面 α 内, BD⊥AB,AC⊥α ,且 AB=a,BD=b,AC=c ,求 C,D 两 点间的距离.
新人教 A 版选择性必修一 P9
4. 如图,已知四面体 ABCD 的所有棱长都等于 a,E,F,G 分别是
(第 4 题)
棱 AB,AD,DC 的中点. 求:
(1) AB⋅AC ; (2) AD⋅DB ; (3) GF⋅AC ;
(4) EF⋅BC ; (5) FG⋅BA ; (6) GE⋅GF .
新人教 A 版选择性必修一 P10
6. 如图,已知 E,F,G,H 分别为四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD,DA 的中点,求证: E , F,G,H 四点共面.
(第 6 题)
新人教 A 版选择性必修一 P10
9. 如图,在四面体 OABC 中, OA⊥BC,OB⊥AC . 求证: OC⊥AB .
(第 9 题)
(第 10 题)
10. 如图,在四面体 OABC 中, OA=OB,CA=CB,E,F,G,H 分别是 OA,OB,BC , CA 的中点. 求证: 四边形 EFGH 是矩形.
新人教 A 版选择性必修一 P14
1. 已知四面体 OABC,OB=OC,∠AOB=∠AOC=θ . 求证: OA⊥BC .
新人教 A 版选择性必修一 P15
6. 如图,平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且 ∠C1CB=∠C1CD=∠BCD= 60∘,CD=CC1 ,求证: CA1⊥ 平面 C1BD .
(第 6 题)
新人教 A 版选择性必修一 P15
7. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别为
(第 7 题)
DD1,BD 的中点,点 G 在 CD 上,且 CG=14CD .
(1) 求证: EF⊥B1C ;
(2) 求 EF 与 C1G 所成角的余弦值.
8. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等, 求证: 这个四面 体相对的棱两两垂直.
新人教 A 版选择性必修一 P35
2. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 为线段 DD1 的中点, F 为线段 BB1 的中点.
(1) 求点 A1 到直线 B1E 的距离;
(2) 求直线 FC1 到直线 AE 的距离;
(3) 求点 A1 到平面 AB1E 的距离;
(4) 求直线 FC1 到平面 AB1E 的距离.
(第 2 题)
新人教 A 版选择性必修一 P38
4. 如图, △ABC 和 △DBC 所在平面垂直,且 AB=BC=BD,∠CBA
(第 4 题)
=∠DBC=120∘ . 求:
(1) 直线 AD 与直线 BC 所成角的大小;
(2) 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小;
(3) 平面 ABD 和平面 BDC 的夹角的余弦值.
新人教 A 版选择性必修一 P41
1. 如图,二面角 α−l−β 的棱上有两个点 A,B ,线段 BD 与 AC 分别在这个二面角的两个面内,并且都 垂直于棱 l . 若 AB=4,AC=6,BD=8,CD=217 ,求平面 α 与平面 β 的夹角.
(第 1 题)
(第 2 题)
2. 如图,在三棱雉 A−BCD 中, AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N 分别是 AD,BC 的中 点. 求异面直线 AN,CM 所成角的余弦值.
新人教 A 版选择性必修一 P44
13. 如图,已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为 CD 的中点,求点 D1 到平面 AEC1 的距离.
(第 13 题)
(第 14 题)
(第 15 题)
14. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1,M 是棱 AA1 的中点, O 是 BD1 的中点. 求 证: OM 分别与异面直线 AA1,BD1 垂直,并求 OM 的长.
15. 如图,已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1,Q 为 B1C1 的中点,点 P 在棱 AA1 上, AP:AA1=1:3 . 求平面 ABCD 与平面 BQP 夹角的余弦值.
新人教 A 版选择性必修一 P44
17. 在空间直角坐标系中,已知向量 u=a,b,cabc≠0 ,点 P0x0,y0,z0,点Px,y,z.
(1) 若直线 l 经过点 P0 ,且以 u 为方向向量, P 是直线 l 上的任意 一点,求证: x−x0a=y−y0b=z−z0c ;
(2) 若平面 α 经过点 P0 ,且以 u 为法向量, P 是平面 α 内的任意一 点,求证: ax−x0+by−y0+cz−z0=0 .
18. 在如图所示的试验装置中,两个正方形框架 ABCD,ABEF 的边长
(第 18 题)
都是 1,且它们所在的平面互相垂直. 活动弹子 M,N 分别在正方 形对角线 AC 和 BF 上移动,且 CM 和 BN 的长度保持相等,记 CM=BN=a 0