2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块15-圆锥曲线-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块15-圆锥曲线-2025新高考数学专题，共28页。试卷主要包含了 椭圆标准方程的形式是， 椭圆中斜率乘积为定值的问题， 双曲线划分平面区域等内容，欢迎下载使用。
1. 椭圆标准方程的形式是: 左 边是“平方” + “平方”, 右边 是 1 .
2. 椭圆的标准方程中, x2 与 y2 对应的分母哪一个大, 则焦 点在哪一个轴上, 简记为 “焦点位置看大小, 焦点随 着大的跑”.
3. 方程 x2a2+y2b2=1a>b>0 与 y2a2
+x2b2=1a>b>0 表示的椭圆 大小、形状都相同, 只是焦 点的位置不同 (图形位置不 同).
4. 只有以椭圆的中心为原点, 焦点所在直线为坐标轴建 立平面直角坐标系, 这样得 到的椭圆方程才是椭圆的 标准方程.
当 A=B 时,该方程为圆 的方程。
模块十五：圆雉曲线
椭圆的定义
1. 椭圆的定义
我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数 (大 +F1F2 的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 2. 椭圆定义的集合描述
设点 M 是椭圆上的任意一点,点 F1,F2 是椭圆的焦点,则由 椭圆的定义知,椭圆可以视为动点 M 的集合 P=MMF1∣+ MF2= 常数,常数 >F1F2>0}.
2 椭圆的方程
1. 椭圆的标准方程
2. 椭圆的一般方程
当 ABC≠0 时,方程 Ax2+By2=C 可以变形为 x2CA+y2CB=1 ,由此
可以看出方程 Ax2+By2=C 表示椭圆的充要条件是 ABC≠0 ,且 A,B,C 同号, A≠B ,此时称方程 Ax2+By2=C 为椭圆的一般方程. 求椭圆方程时可以将方程设为 Ax2+By2=1A>0,B>0,A≠B ,这 样可以避免对焦点位置的讨论. 无法确定椭圆的焦点位置时, 可 3.共焦点的椭圆系方程考虑这种形式。
1) 与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 有公共焦点的椭圆方程为 x2a2+λ+
y2b2+λ=1a>b>0,λ>−b2;
●椭圆的范围
1. 从椭圆的方程或图形中可 以直接看出它的范围.
2. 在处理椭圆的一些参数问 题或最值问题时要注意 x,y 的取值范围.
●知识拓展
若 F1,F2 是椭圆的焦点, P 是椭圆上与 F1,F2 不共线的 一点,在 △F1PF2 中,设 PF1 =r1,PF2=r2,∠PF1F2=α , ∠PF2F1=β ,则 e=sinα+βsinα+sinβ .
○名师点睛
1. 圆和椭圆是两种不同的曲 线, 圆不是椭圆的特殊情况.
2. 椭圆的扁平程度仅由离心 率 e 的大小确定,与椭圆的 焦点位置无关. 2) 与椭圆 y2a2+x2b2=1a>b>0 有公共焦点的椭圆方程为 y2a2+λ+ x2b2+λ=1a>b>0,λ>−b2 . 见到“离心率相同的椭圆”时注意 4. 相同离心率的椭圆系方程讨论焦点在 x 轴还是 y 轴.
与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 有相同离心率的椭圆方程为 x2a2+y2b2 =k1k1>0 ,焦点在 x 轴上) 或 y2a2+x2b2=k2k2>0 ,焦点在 y 轴上).
3 椭圆的几何性质
椭圆的离心率
1. 椭圆的焦距与长轴长的比 ca 叫做椭圆的离心率,用 e 表示,即 e
=ca.
2. 离心率的取值范围: 00 上异于长轴端点的点, F1,F2 为两 个焦点,则 △F1PF2 称作焦点三角形. 若 ∠F1PF2=α ,则 △F1PF2 的面积 S△F,PF1=b2tanα2 .
2) P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点, F1,F2 为椭圆的两 焦点,则 △PF1F2 的周长为 2a+c .
3) 过焦点 F1 的弦 AB 与椭圆另一个焦点 F2 构成的 △ABF2 的周 长为 4a .3. 椭圆的切线
椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上一点 Px0,y0 处的切线方程为 x0xa2 +y0yb2=1 . 可由圆 x2+y2=r2r>0 上一点 Px0,y0 处的 切线方程 x0x+y0y=r2 类比得到.
○知识拓展
设 A、B 是椭圆 x2b2+y2a2=1 a>b>0 上关于原点对称的 两点,点 P 是该椭圆上不同于 A,B 的任一点,若直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2 ,则 k1⋅k2 =−a2b2 .
4. 点与椭圆的位置关系
对于椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,我们有: (1) Px0,y0 在椭圆内 部 ⇔x02a2+y02b21 ; (3) Px0,y0 在
椭圆上 ⇔x02a2+y02b2=1 . 可由点 Px0,y0 与圆 x2+y2=r2r>0 的位置
5. 椭圆中斜率乘积为定值的问题
1) 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶 点外的任一点连线的斜率之积为 −b2a2 ;
2) 设 A,B 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上关于原点对称的两点,点 P 为该椭圆上不同于 A,B 的任一点,若直线 PA,PB 的斜率分别
为 k1,k2 ,则 k1k2=−b2a2 .
2、双曲线
双曲线的定义
1.双曲线的定义
一般地,平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等 于非零常数 (小于 F1F2 ) 的点的轨迹叫做双曲线 (如图所示). 两个定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点; F1F2=2c 叫做双曲线的 焦距.
双曲线上任一点到
焦点的距离不相等
温馨提示
当 PF1−PF2=2a 时,点 P 的轨迹为靠近 F2 的双曲线 的一支.
当 PF1−PF2=−2a 时,点 P 的轨迹为靠近 F1 的双曲 线的一支.
注: (1)若 2a=2c ,则轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线; (2)若 2a>2c ,则轨迹不存在; (3)若 2a=0 ,则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.2.双曲线定义的集合描述双曲线是点集。
设点 M 是双曲线上任意一点,点 F1,F2 是双曲线的焦点,则 由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点 M 的集合 P={M∣ MF1−MF2= 常数,常数大于 0 且小于 F1F2 .
2 双曲线的标准方程和几何性质
○ 温馨提示
1. 双曲线的标准方程中, x2 与 y2 的系数哪一个为正,焦点 就在哪一个轴上, 简记为 “焦点跟着正项走”.
2. 只有以双曲线的中心为原 点, 且以两定点所在直线、 两定点的连线段的中垂线 为坐标轴建立平面直角坐 标系, 这样得到的双曲线的 方程才是双曲线的标准 方程.
将标准方程中右边“1”变 为“O”即可得到双曲线的 渐近线方程。
○知识拓展
如图,设 F1、F2 是双曲线 的焦点, P 是双曲线上与 F1 、 F2 不共线的一点,在 △F1PF2 中,设 PF1=r1,PF2=r2 , ∠PF1F2=α,∠PF2F1=β , ∠F1PF2=θ ,则 r1sinβ=r2sinα= 2csinθ,θ+α+β=π ,所以 r1−r2sinβ−sinα=2csinθ⇒e=2c2a =sinα+βsinα−sinβ .
3 双曲线的离心率
1. 定义
双曲线的焦距与实轴长的比 ca 叫做双曲线的离心率,用 e 表 示,即 e=ca .
2. e 的范围: e>1 . 由 c>a 得 e>1. ba 越大,直线 y=bax 的倾斜角越 y
3. e 的几何意义: e 是表示双曲线张口
大小的一个量, e 越大,张口越大.
ba=c2−a2a=ca2−1=e2−1 ,当
e∈1,+∞ 时, ba∈0,+∞ ,具 e 增大, ba 也增大,渐近线与实轴的夹角也增大.
若一个双曲线的实轴与虚 轴分别是另一个双曲线的 虚轴和实轴，则这两个双曲， 线是共轭的,其中一个双曲 线是另一个双曲线的共轭 双曲线。
○证明结论 2
不妨设点 P 在第一象限, 在 △PF1F2 中,令 PF1=m , PF2=n,∠F1PF2=α . 由双曲 线定义知 m−n=2a ,平方得 m2 +n2−2mn=4a21 . 由余弦定理 得 F1F22=PF12+PF22− 2PF1PF2csα ,即 4c2=m2 +n2−2mncsα2 ,由(2)-(1)得 4c2−4a2=2mn1−csα ,即 2b2=mn1−csα,∴mn= 2b21−csα ,又 S△F,PF2=12mnsinα =12⋅2b21−csα⋅sinα=b2 . 2sinα2csα22sin2α2=b2tanα2 ,即 S△F,PF1=b2tanα2. 两种特殊的双曲线 焦点在 y 轴上时，方程为 y2–x2=a2 ，也 1. 等轴双曲线可以统一设成 x2−y2=λλ≠0 .
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其中焦点在 x 轴上的等轴双曲线的方程为 x2−y2=a2a>0 ,离心率 e=2 ,渐近 线方程为 y=±x ,它们互相垂直.
2.共轭双曲线
双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的共轭双曲线方程为 y2b2−x2a2=1 a>0,b>0 ,它们有共同的渐近线,其方程为 y=±bax ,它们的离 心率 e1,e2 满足关系式 1e12+1e22=1 .
双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得 的线段,称为双曲线的通径. 通径长为 2b2a .
关于双曲线的几个重要结论
1.弦长公式
设直线与双曲线交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点,
则 AB=1+k2x1−x22=1+k2⋅x1+x22−4x1x2 或
AB=1+1k2y1−y22=1+1k2⋅y1+y22−4y1y2(k 为直线 的斜率, k≠0 ). 2. 焦点三角形
已知 F1,F2 是双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两个焦点, P 为 双曲线上一点 (异于顶点),则 △F1PF2 称作焦点三角形. 若 ∠F1PF2=α ,则 △F1PF2 的面积 S△F,PF2=b2tanα2 .
3. 基础三角形: 如图所示,在 △AOB 中, OA=a,AB=b , OB=c,tan∠AOB=ba .
4. 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.
5. 双曲线的切线可由椭圆的切线方程类比得到.
双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上一点 Px0,y0 处的切线方程 是 x0xa2−y0yb2=1 .6. 双曲线划分平面区域
对于双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,我们有:
Px0,y0 在双曲线内部(与焦点共区域) ⇔x02a2−y02b2>1 ;
Px0,y0 在双曲线外部(与焦点不共区域) ⇔x02a2−y02b20,b>0 右支上不同于实轴端点的任 意一点, F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为 △PF1F2 内切 圆的圆心,则圆心 I 的横坐标恒为定值 a .
3、抛物线
抛物线的定义
1.抛物线的定义 定点不在定直线上.
平面内与一个定点 F 和一条定直线 lF∉l 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做 抛物线的准线.
2. 抛物线定义的集合描述
设点 M 是抛物线上任意一点,抛物线的焦点为 F ,准线为 l ,
○ 温馨提示
点 M 到准线 l 的距离为 d ,则由抛物线的定义知,抛物线可以视
1. 抛物线的定义的实质可归为动点 M 的集合 P={M∣MF=d,d>0} . 抛物线是一个点集. 结为 “一动三定”: 一个动 点,设为 M ; 一个定点 F 叫
2 抛物线的有关概念 **
做抛物线的焦点; 一条定直
线 l 叫做抛物线的准线; 一 个定值,即点 M 与点 F 的距 离与点 M 到直线 l 的距离之 比等于 1 .
2. 注意定点 F 不在定直线 l 上,否则动点 M 的轨迹不是 抛物线,而是过点 F 垂直于 直线 l 的一条直线. 例如与 点 F−1,0 和到直线 l : x=−1 的距离相等的点的轨 迹是 x 轴.
3 抛物线的标准方程与几何性质
- p 对抛物线开口大小的影响
1. 对于抛物线 y2=2pxp>0 来说, p 值越大, y 也越大, 抛物线的开口也越大.
2. 对于抛物线 x2=2pyp>0 来说, p 值越大, x 也越大, 抛物线的开口也越大.
p 的几何意义: 抛物线焦 点到准线的距离。对于 抛物线 y2=2pxp>0,p 值 越大, 抛物线的开口越 大.
抛物线的焦点弦的性质
以抛物线 y2=2pxp>0 为例,设 AB 是抛物线的过焦点的一 条弦 (焦点弦), F 是抛物线的焦点, Ax1,y1,Bx2,y2,A、B 在 准线上的射影为 A1、B1 ,则有以下结论:
1)x1x2=p24,y1y2=−p2;
2) 若直线 AB 的倾斜角为 θ ,且 A 位于 x 轴上方, B 位于 x 轴下 方,则 AF=p1−csθ,BF=p1+csθ ;
3) AB=x1+x2+p=2psin2θθ为直线AB的倾斜角 ,抛物线的通径 长为 2p ,通径是最短的焦点弦;
4) S△AOB=p22sinθθ为直线AB的倾斜角 ;
5) 1AF+1BF=2p ,为定值;
6) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切;
7) 以 AF (或 BF ) 为直径的圆与 y 轴相切;
8) 以 A1B1 为直径的圆与直线 AB 相切,切点为 F,∠A1FB1=90∘ ; 9)A,O,B1 三点共线, B,O,A1 三点也共线.
5 关于抛物线的几个重要结论 **
1.弦长公式
设直线与抛物线交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点,则
- 求过抛物线 y2=2pxp>0 上一点的切线方程
由点 Px1,y1y1≠0 在 抛物线 y2=2pxp>0 上,得 y12 =2px1 ,设过点 Px1,y1 的切 线方程为 y−y1=kx−x1 ,将 x =y22p 代入得 ky2−2py+2py1− 2pkx1=0 ,由 Δ=−2p2−4k⋅ 2py1−2pkx1=0 得 ky1−p2 =0,∴k=py1y1≠0 ,从而切 线方程为 y−y1=py1x−x1 ,化 简得 yy1−y12=px−px1 ,又 y12= 2px1,∴yy1−2px1=px−px1 ,即 yy1=px+x1 .
2. 点与抛物线的位置关系
对于抛物线 y2=2pxp>0 ,我们有 Px0,y0 在抛物线内部 ⇔y022px0;Px0,y0 在抛物 线上 ⇔y02=2px0 . 3. 抛物线的切线
过抛物线 y2=2pxp>0 上的点 Px1,y1 的切线方程是 y1y =px+x1 . 抛物线 y2=2pxp>0 的斜率为 k 的切线方程是 y=kx
AB=1+k2x1−x22=1+k2⋅x1+x22−4x1x2 或
AB=1+1k2y1−y22=1+1k2⋅y1+y22−4y1y2(k 为直线 的斜率, k≠0 ). +p2kk≠0 .
4. 若抛物线 y2=2pxp>0 在点 P1x1,y1 和 P2x2,y2 处的两条
(焦点弦),分别过 A,B 作抛物线的切线,交于点 P ,连接 PF , 则有以下结论:
1) 点 P 的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 l:y=−P2 ;
2) 两切线互相垂直,即 PA⊥PB ;
3) PF⊥AB ;
4) 点 P 的坐标为 xA+xB2,−p2 .
【知识拓展】
切线交于点 Mx0,y0 ,则 x0=y1y22p,y0=y1+y22 .
5. 如左图所示, AB 是抛物线 x2=2pyp>0 的过焦点的一条弦
1、圆雉曲线综述:
联立方程设交点, 韦达定理求弦长; 变量范围判别式, 曲线定义不能忘;
弦斜中点点差法, 设而不求计算畅; 向量参数恰当用, 数形结合记心间.
⋆2 、直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线的设法:
(1) 若题目明确涉及斜率,则设直线: y=kx+b ,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论;
(2) 若题目没有涉及斜率或直线过 a,0 则设直线: x=my+a ,可避免对斜率进行讨论(2) 研究通法: 联立 y=kx+bFx,y=0 得: ax2+bx+c=0
判别式: Δ=b2−4ac ,韦达定理: x1+x2=−ba,x1x2=ca
(3) 弦长公式: AB=x1−x22+y1−y22=1+k2x1−x2
=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=1+1k2y1+y22−4y1y2
3、硬解定理
设直线 y=kx+φ 与曲线 x2m+y2n=1 相交于 Ax1,y1、Bx2,y2
由: y=kx+φnx2+my2=mn ,可得: n+mk2x2+2kφmx+mφ2−n=0
判别式: △=4mnn+mk2−φ2 韦达定理: x1+x2=−2kmφn+mk2,x1x2=mφ2−nn+mk2
由: x1−x2=x1+x22−4x1x2 ,代入韦达定理: x1−x2=△n+mk2 *4 4 、点差法:
若直线 l 与曲线相交于 M、N 两点,点 Px0,y0 是弦 MN 中点, MN 的斜率为 kMN , 则: 在椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 中,有 kMN⋅y0x0=−b2a2 ;
在双曲线 x2a2−y2b2=1a>b>0 中,有 kMN⋅y0x0=b2a2 ;
在抛物线 y2=2pxp>0 中,有 kMN⋅y0=p . 证明: (椭圆)
设 M、N 两两点的坐标分别为 x1,y1、x2,y2 ,
则有 x12a2+y12b2=1,⋯⋯1x22a2+y22b2=1.⋯⋯2
(1) - (2),得 x12−x22a2+y12−y22b2=0 .
∴y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=−b2a2 .
又 ∵kMN=y2−y1x2−x1,y1+y2x1+x2=2y2x=yx.∴kMN⋅yx=−b2a2 .
※ 5、平移构造齐次式: (圆锥曲线斜率和与积的问题)
(1) 题设: 过圆雉曲线上的一个定点 P 作两条直线与圆锥曲线交于 A、B ,在直线 PA 和 PB 斜率之和或者斜率之 积为定值的情况下,直线 AB 过定点或者 AB 定斜率的问题. (2)步骤: (1)将公共点 平移到坐标原点 (点平移: 左加右减上减下加)找出平移单位长. (2)由(1)中的平移单位长得出平移后的圆雉曲线 C′ ,所有直线方程统一写为: mx+ny=1 (3)将圆雉曲线 C′ 展开,在一次项中乘以 mx+ny=1 ,构造出齐次式.
(4)在齐次式中,同时除以 x2 ,构建斜率 k 的一元二次方程,由韦达定理可得斜率之积(和).
【课本优质习题汇总】
新人教 A 版选择性必修一 P112
5. 比较下列每组中椭圆的形状, 哪一个更接近于圆? 为什么?
(1) 9x2+y2=36 与 x216+y212=1 ; (2) x2+9y2=36 与 x26+y210=1 .
新人教 A 版选择性必修一 P115
6. 如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 内一个定点, P 是圆 O 上任意一
(第 6 题)
点. 线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆上运动 时,点 Q 的轨迹是什么? 为什么?
新人教 A 版选择性必修一 P115
9. 如图, DP⊥x 轴,垂足为 D ,点 M 在 DP 的延长线上,且 DMDP
(第 9 题)
=32 . 当点 P 在圆 x2+y2=4 上运动时,求点 M 的轨迹方程,并说 明轨迹的形状.
10. 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2−6x−91=0 内切, 求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线.
新人教 A 版选择性必修一 P116
11. 如图,矩形 ABCD 中, AB=2a,BC=2ba>b>0.E,F,G,H 分别是矩 形四条边的中点, R,S,T 是线段 OF 的四等分点, R′,S′,T′ 是线段 CF 的四等分点. 证明直线 ER 与 GR′、ES 与 GS′、ET 与 GT′ 的交点 L,M,N 都在椭圆 x2a2+y2b2=1(a> b>0) 上.
(第 11 题)
新人教 A 版选择性必修一 P116
13. 已知椭圆 x225+y29=1 ,直线 l:4x−5y+40=0 . 椭圆上是否存在一点,使得:
(1) 它到直线 l 的距离最小? 最小距离是多少?
(2) 它到直线 l 的距离最大? 最大距离是多少?
14. 已知椭圆 x24+y29=1 ,一组平行直线的斜率是 32 .
(1) 这组直线何时与椭圆有两个公共点?
(2) 当它们与椭圆有两个公共点时, 证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直 线上.
新人教 A 版选择性必修一 P121
3. 已知方程 x22+m−y2m+1=1 表示双曲线,求 m 的取值范围.
4. 双曲线 x2a2−y212=1a>0 的两个焦点分别是 F1 与 F2 ,焦距为 8;M 是双曲线上的一点,且 MF1=5 ,求 MF2 的值. 新人教 A 版选择性必修一 P127
5. 如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一个定点, P 是圆 O 上任意
(第 5 题)
一点. 线段 AP 的垂直平分线 l 与直线 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆 O 上运动时,点 Q 的轨迹是什么? 为什么?
新人教 A 版选择性必修一 P127
10. 设动点 M 与定点 Fc,0c>0 的距离和 M 到定直线 l:x=a2c 的距离的比是 caab>0 与双曲线 x2a2−y2b2=1 的离心率分别为 e1,e2 ,双曲线的渐近线 的斜率小于 255 ,求 e1 和 e2 的取值范围.
新人教 A 版选择性必修一 P128
13. 已知双曲线 x2−y22=1 ,过点 P1,1 的直线 l 与双曲线相交于 A,B 两点, P 能否是线段 AB 的中点? 为什么?
14. 已知双曲线 x24−y216=1 与直线 l:y=kx+mk≠±2 有唯一的公共点 M ,过点 M 且与 l 垂直的直线分别交 x 轴、 y 轴于 Ax,0,B0,y 两点. 当点 M 运动时,求点 Px,y 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线. 如果推广到一般双曲线, 能得到什么相应的结论?
新人教 A 版选择性必修一 P138
4. 两条直线 y=kx 和 y=−kx 分别与抛物线 y2=2pxp>0 相交于不同于原点的 A,B 两点, k 为 何值时,直线 AB 经过抛物线的焦点?
5. 已知圆心在 y 轴上移动的圆经过点 A0,5 ,且与 x 轴、 y 轴分别交于 Bx,0,C0,y 两个动 点,求点 Mx,y 的轨迹方程.
新人教 A 版选择性必修一 P138
5. 如图, M 是抛物线 y2=4x 上的一点, F 是抛物线的焦点,以 Fx 为始边、 FM 为终边的角 ∠xFM=60∘ ,求 FM .
(第 5 题)
(第 6 题)
6. 如图,直线 y=x−2 与抛物线 y2=2x 相交于 A,B 两点,求证: OA⊥OB . 新人教 A 版选择性必修一 P139
9. 从抛物线 y2=2pxp>0 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段的中点的轨迹方程,并说明它是 什么曲线.
新人教 A 版选择性必修一 P139
11. 已知 A,B 两点的坐标分别是 −1,0,1,0 ,直线 AM,BM 相交于点 M ,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2,求点 M 的轨迹方程.
新人教 A 版选择性必修一 P139
12. 已知抛物线的方程为 y2=4x ,直线 l 绕其上一点 P−2,1 旋转,讨论直线 l 与抛物线 y2=4x 的公共点个数,并回答下列问题:
(1) 画出图形表示直线 l 与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线 l 与抛物线只有一个公 共点时是什么情况?
(2) y2=4x 与直线 l 的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系?
13. 设抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F ,从点 F 发出的光线经过抛物线上的点 M (不同于抛 物线的顶点) 反射, 证明反射光线平行于抛物线的对称轴. 新人教 A 版选择性必修一 P145
(2) 与圆 x2+y2=1 及圆 x2+y2−8x+12=0 都外切的圆的圆心在 ( ).
(A) 椭圆上 (B) 双曲线的一支上
(C) 抛物线上 (D) 圆上
3. 当 α 从 0∘ 到 180∘ 变化时,方程 x2+y2csα=1 表示的曲线的形状怎样变化?
新人教 A 版选择性必修一 P145
5. 设抛物线的顶点为 O ,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于 B,C 两点,经过抛物线上 一点 P 且垂直于轴的直线与轴交于点 Q . 求证: PQ2=BCOQ .
6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y2=2pxp>0 的焦点,另外两个顶点在抛物线上, 求这个等边三角形的边长.
新人教 A 版选择性必修一 P145
7. 已知 P 是椭圆 16x2+25y2=1600 上的一点,且在 x 轴上方, F1,F2 分别是椭圆的左、右焦 点,直线 PF2 的斜率为 −43 ,求 △PF1F2 的面积.
8. 如图,从椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上一点 P 向 x 轴作垂线,
(第 8 题)
垂足恰为左焦点 F1 . 又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB//OP,F1A=10+5 , 求椭圆的方程.
9. 已知 A,B 两点的坐标分别是 −1,0,1,0 . 直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之和是 2,求点 M 的轨迹方程. 新人教 A 版选择性必修一 P146
12. 在抛物线 y2=4x 上求一点 P ,使得点 P 到直线 y=x+3 的距 离最短.
13. 当 m 变化时,指出方程 m−1x2+3−my2=m−13−m 表示的曲线的形状.
新人教 A 版选择性必修一 P146
16. 过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点 F 作直线与抛物线交于 A,B 两点,以 AB 为直径画圆, 观察它与抛物线的准线 l 的关系,你能得到什么结论? 相应于椭圆、双曲线如何? 你能证明 你的结论吗?
新人教 B 版选择性必修一 P141
(4) 已知椭圆的方程为 m2x2+4m2y2=1 ,其中 m 为大于零的实常数,求这个椭圆 的焦点坐标与离心率.
(5) 设动点 M 到定点 F2,0 的距离与它到直线 l:x=92 的距离之比为 23 ,求点 M 的轨迹方程.
新人教 B 版选择性必修一 P143
(3) 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F ,直线 l:x=−a2c . 设 P 是椭 圆上的一点,求 P 到 F 的距离与 P 到直线 l 的距离之比.
(1) 设动点 M 到定点 F−c,0 的距离与它到直线 l:x=−a2c 的距离之比为 ca , a>c>0 ,求点 M 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.5.2 中例 3 得到 的结果.
(2) 已知点 B6,0 和 C−6,0 ,过点 B 的直线 l 和过点 C 的直线 m 相交于点 A ,设直线 l 的斜率为 k1 ,直线 m 的斜率为 k2 ,如果 k1k2=−49 ,求点 A 的 轨迹方程, 并说明此轨迹是何种曲线.
(3) 已知点 A1,1 ,而且 F1 是椭圆 x29+y25=1 的左焦点, P 是椭圆上任意一 点,求 PF1+PA 的最小值和最大值.
新人教 B 版选择性必修一 P155
(2) 已知双曲线的一个焦点是 5,0 ,一条渐近线方程为 3x−4y=0 ,求这个双曲 线的标准方程和离心率.
(3) 当实数 λ≠0 时,方程 x2a2−y2b2=λ 表示的都是双曲线,这些双曲线的共同点是 什么?新人教 B 版选择性必修一 P156
已知双曲线两顶点间的距离是 6 , 两焦点的连线被两顶点和中心四等分, 求双曲 线的标准方程.
(5) 求证: 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长.
新人教 B 版选择性必修一 P157
(3) 设动点 M 到定点 F3,0 的距离与它到直线 l:x=43 的距离之比为 32 ,求点 M 的轨迹方程.
(4) 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左焦点为 F ,直线 l:x=−a2c . 设 P 是双曲线上的一点,求 P 到 F 的距离与 P 到直线 l 的距离之比.
(5) 已知 F1,F2 是双曲线 x29−y216=1 的两个焦点,点 M 在双曲线上,如果 MF1⊥ MF2 ,求 △MF1F2 的面积.
(1) 如果过点 6,0 的直线与过点 −6,0 的直线相交于点 M ,而且两直线斜率 的乘积为 a ,其中 a≠0 .
(1) 求点 M 的轨迹方程;
(2) 讨论 M 的轨迹是何种曲线.
(2) 设动点 M 到定点 F−c,0 的距离与它到直线 l:x=−a2c 的距离之比为 ca , 其中 c>a>0 ,求点 M 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.6.2 中例 3 得到的结果.
新人教 B 版选择性必修一 P162
(5) 已知点 M 到点 F4,0 的距离比它到直线 l:x+6=0 的距离小 2,求点 M 的 轨迹方程.新人教 B 版选择性必修一 P166
(3) 从抛物线 y2=2pxp>0 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.
(4) 已知抛物线的顶点是坐标原点 O ,对称轴为 x 轴,焦点为 F ,抛物线上的点 A 的横坐标为 2,且 FA⋅OA=16 ,求此抛物线的方程.
(5) 已知抛物线 y2=16x 和点 A4,0 ,点 M 在此抛物线上运动,求点 M 到点 A 的距离的最小值,并指出取得最小值时点 M 的坐标.
(6) 设抛物线 y2=2pxp>0 上一点 M 的横坐标为 x0 ,证明 M 到抛物线焦点的 距离为 x0+p2 ,并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论.
新人教 B 版选择性必修一 P167
(1) 已知抛物线 y2=4x ,且 P 是抛物线上一点:
(1) 设 F 为抛物线的焦点, A6,3 ,求 PA+PF 的最小值,并求出取 得最小值时点 P 的坐标;
(2) 设 M 的坐标为 m,0 ,求 PM 的最小值 (用 m 表示),并求出取得最 小值时点 P 的坐标.
(2) 已知抛物线的顶点在原点,焦点为 F−3,0 ,设点 Aa,0 到抛物线上的 点的距离的最小值为 fa ,求 fa 的表达式. 新人教 B 版选择性必修一 P173
(1) 已知斜率为 2 的直线 AB 过抛物线 y2=8x 的焦点,求弦 AB 的长.
(2) 已知直线 l:y=x−3 与抛物线 C:x2=−8y 相交于 A,B 两点,且 O 为坐 标原点.
(1) 求弦长 AB 以及线段 AB 的中点坐标;
(2) 判断 OA⊥OB 是否成立,并说明理由.
(3) 已知直线 l 的斜率与双曲线 C 的渐近线的斜率相等,求证: 直线 l 与双曲线 C 最多只有一个公共点.
(4) 求过点 A0,p 且与抛物线 y2=2px ( p>0 )只有一个公共点的直线的 方程.
(5) 已知斜率为 2 的直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,如果线段 AB 的 长等于 5 ,求直线 l 的方程.
(3) 过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的一条直线与此抛物线相交于 A,B 两点,已知 A8,8 ,求线段 AB 的中点到抛物线准线的距离.新人教 B 版选择性必修一 P174
(7) 垂直于 x 轴的直线与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,且 AB=43 ,求直 线 AB 的方程.
(3) 过抛物线的焦点的一条直线与它交于 P,Q 两点,过点 P 和此抛物线顶点的 直线与抛物线的准线交于点 M ,求证: 直线 MQ 平行于此抛物线的对称轴.
(3) 过抛物线的焦点 F 的一条直线与此抛物线相交于 P1,P2 两点. 求证: 以 P1P2 为直径的圆与该抛物线的准线相切.
(1) 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 1 的直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.
新人教 B 版选择性必修一 P176
9. 已知等腰三角形 ABC 的顶点是 A4,2 ,底边的一个端点是 B3,5 ,求另 一个端点的轨迹方程.
新人教 B 版选择性必修一 P177
13. 已知 △ABC 的三边 AB,BC,CA 满足
2BC=AB+CA,AB>CA,
且 B−1,0,C1,0 ,求点 A 的轨迹方程,并说明它是什么曲线.
14. 若方程 3−ax2+a+1y2+a2−2a−3=0 是双曲线的方程,求实数 a 的取值范围.
15. 已知双曲线的离心率等于 52 ,且双曲线与椭圆 x29+y24=1 有公共焦点,求 此双曲线的标准方程.
新人教 B 版选择性必修一 P177
1. 已知三条直线 mx+2y+8=0,4x+3y=10,2x−y=10 相交于一点,求 m 的值.
2. 求 l1:2x−y+1=0,l2:x+y+5=0,l3:x=0,l4:x=3 四条直线所 围成的图形的面积.
3. (1) 已知直线 3x+1−ay+5=0 与直线 x−y=0 平行,求 a 的值;
(2) 已知直线 a−4x+y+1=0 与直线 2x+3y+5=0 垂直,求 a 的值.
新人教 B 版选择性必修一 P178
6. 光线从点 M−2,3 发出遇到 x 轴上一点 P1,0 后被 x 轴反射,求反射 光线所在直线的方程.
7. 已知 A4,1,B−3,2 ,在 y 轴上求点 C ,使得 △ABC 的面积为 12 .新人教 B 版选择性必修一 P178
8. 过点 P8,6 作圆 x2+y2−8x+6y=0 的两条切线 PA,PB ,切点分别为 A,B ,求直线 AB 的方程.
9. 已知一条曲线在 x 轴的上方,它上面的每一点到点 A0,2 的距离减去到 x 轴的距离的差都是 2 , 求这条曲线的方程.
10. 已知方程 x24−k+y29−k=1 ,讨论当 k 取不同的值时,这个方程所表示的曲线 类型, 并写出曲线是椭圆和双曲线时的焦点坐标.
11. 过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点的一条直线与这条抛物线相交于 A,B 两 点. 求证: 这两个交点到 x 轴的距离的乘积是常数.
12. 过抛物线的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 和 OB . 求证: 弦 AB 与抛物线 的对称轴相交于定点.
13. 已知 M4,2 是直线 l 被椭圆 x2+4y2=36 所截得的线段 AB 的中点,求直 线 l 的方程.
14. 已知椭圆 x24+y22=1 ,点 A,B 分别是它的左、右顶点. 一条垂直于 x 轴的 动直线 l 与椭圆相交于 P,Q 两点,当直线 l 与椭圆相切于点 A 或点 B 时,看作 P , Q 两点重合于点 A 或点 B ,求直线 AP 与直线 BQ 的交点 M 的轨迹方程.
15. 已知直线 y=x+m 与椭圆 x24+y2=1 相交于 A,B 两点,当 m 变化时, 求 AB 的最大值.
16. 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2−y2=1 相交于 A,B 两点, O 为坐标原 点. 如果 OA⊥OB ,求 a 的值.
17. 已知抛物线 C 的顶点在原点,对称轴是 x 轴,它的弦 PQ 所在直线的方程 为 y=2x+1 ,弦长等于 15 ,求抛物线 C 的标准方程.
18. 过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点 F 作倾斜角为 π4 的直线 l ,且 l 交抛物线 于 A,B 两点,点 A 在 x 轴的上方,求 AFBF 的值.
19. 已知双曲线 2x2−y2=2 ,它的弦 PQ 的长是实轴长的 2 倍,如果弦 PQ 所 在的直线 l 过点 A3,0 ,求直线 l 的方程.
20. 求双曲线 x24−y216=1 上任意一点 M 到两条渐近线的距离的乘积,并把结论 推广到一般的双曲线 x2a2−y2b2=1 .新人教 B 版选择性必修一 P179
21. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 的直线与双曲线的左支相交于 A,B 两点,如果 AF2+BF2=2AB , 求 AB .
22. 已知抛物线 y2=4x 的弦 AB 经过它的焦点 F ,弦 AB 的长为 20,求直线 AB 的方程.
23. 设椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,斜率为 1 的直线不经过坐标原点 O ,而且与椭圆相交于 A,B 两点, M 为线段 AB 的中点. 直线 AB 与 OM 能否垂 直? 证明你的结论.
24. 设 A,B 分别是直线 y=255x 和 y=−255x 上的动点,且 AB=25 , 设 O 为坐标原点,动点 P 满足 OP=OA+OB ,求动点 P 的轨迹方程.
25. 已知椭圆的中心是坐标原点 O ,它的短轴长为 22 ,一个焦点 F 的坐标为 c,0c>0 ,点 M 的坐标为 10c−c,0 ,且 OF=2FM .
(1) 求椭圆的方程及离心率;
(2) 如果过点 M 的直线与椭圆相交于点 P,Q 两点,且 OP⊥OQ ,求直线 PQ 的方程.
新人教 B 版选择性必修一 P179
1. 已知点 A1,4,B3,1 ,直线 l:y=ax+2 与线段 AB 有交点,求 l 的 斜率的取值范围.
2. 直线 l 经过已知点 P2,−3 ,且被两条已知直线 3x+y−2=0,x+5y+ 10=0 截得的线段恰以 P 为中点,求直线 l 的方程.
3. 证明下述命题, 并给出结论的几何解释:
(1) 如果 Ax0,y0 关于直线 l:y=x+b 的对称点为 B ,则 B 的坐标为 y0− b,x0+b ;
(2) 如果 Ax0,y0 关于直线 l:y=−x+b 的对称点为 B ,则 B 的坐标为 −y0+b,−x0+b .新人教 B 版选择性必修一 P180
4. 已知 A2,1 关于直线 l:3x+2y+5=0 的对称点为 B ,求点 B 的坐标.
5. 设圆 C 满足条件: 截 y 轴所得的弦长为 2 ; 被 x 轴分成两段的圆弧,其弧长 的比为 3:1 ; 圆心到直线 x−2y=0 的距离为 55 . 求圆 C 的方程.
6. 过椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的中心作一条直线交椭圆于 P,Q 两点, F 是 椭圆的一个焦点,求 △PFQ 的周长的最小值.定义
PF1+PF2=2a2a>F1F2>0
图形
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
焦点
F1−c,0,F2c,0
F10,−c,F20,c
a,b,c 的关系
a2−b2=c2
标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
y2a2+x2b2=1a>b>0
范围
x≤a,y≤b
x≤b,y≤a
对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
±a,0,0,±b
±b,0,0,±a
半轴长长半轴长为 a ,短半轴长为 b,a>b
离心率e=ca
标准方程
x2a2−y2b2=1a>0,b>0
y2a2−x2b2=1a>0,b>0
范围
x≥a,y∈R
y≥a,x∈R
焦点
F1−c,0,F2c,0
F10,−c,F20,c
顶点
A1−a,0,A2a,0
A10,−a,A20,a
对称性
关于x轴、y轴对称,关于原点对称
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长 A1A2= 实、虚 2a ; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长 B1B2 轴长 =2b(a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的 虚半轴长)
焦距
焦距 F1F2 为 2c,c 是半焦距
离心率
e=ca=1+b2a2e>1
渐近线 方程
y=±bax
y=±abx
名称
弦
连接抛物线上任意两点的线段, 叫做抛物线的弦
焦点弦
过抛物线焦点的弦，叫做抛物线 的焦点弦
通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的 弦叫做抛物线的通径
焦半径
抛物线上一点 P 和焦点的连线, 叫做点 P 的焦半径
焦准距
抛物线的焦点到它的准线的距 离，叫做焦准距
y2=2px p>0
y2=−2px p>0
x2=2py p>0
x2=−2py p>0
图形
顶点O0,0
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
对称轴
x 轴
y 轴
Fp2,0
F−p2,0
F0,p2
F0,−p2
准线
x=−p2
x=p2
y=−p2
y=p2
离心率
e=1
焦准距
通径长
2p
M(x0, y0 的 焦半径
MF=x0+p2
MF=p2−x0
MF=y0+p2
MF= p2−y0