2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块17-概率统计-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块17-概率统计-2025新高考数学专题，共24页。试卷主要包含了随机事件的概率，事件及其分类，事件的关系与运算，互斥事件与对立事件的判断方法，古典概型，概率的基本性质，相互独立事件，相互独立事件的性质等内容，欢迎下载使用。
(1) 随机试验: 我们把随机现象的实现和对它的观察成为随机试验,简称试验,常用字母 E 表示,我们感兴 趣的是具有以下特点的随机试验: (i) 试验可以在相同条件下重复进行; (ii) 试验的所有可能结果是明确可知的, 但事先不能确定出现哪一个结果; (iii) 每次实验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但事先不能确定出现哪一 个结果.
(2) 有限样本空间: 我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为实验 E 的 样本空间. 如果一个随机试验有 ​n 个可能结果 ω1,ω2,⋯,ωn ,则称样本空间 Ω=ω1,ω2,⋯,ωn 为有限样本空间.
2、事件及其分类: 随机事件; 必然事件; 不可能事件
3、事件的关系与运算
4、互斥事件与对立事件的判断方法
(1) 从概念看, 对立事件必是互斥事件, 两个对立或互斥的事件不可能同时发生, 但对立事件有且只有一个发生, 而互斥事件有可能都不发生, 即互斥事件至多有一个发生.
(2) 从集合观点看, 表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集, 表示两个对立事件的集合的并集为全集, 而 表示两个互斥事件的集合的并集不一定是全集.
(3) 从概率之和看,事件 A 的对立事件 A ,则有 PA+PA=1 ; 事件 A 与事件 B 互斥,则 PA+PB≤1 .
5、古典概型
(1) 古典概型的定义: 具有以下两个特征的试验成为古典概型试验, 其数学模型称为古典概率模型, 简称古典概 型.
(i)
(ii)
(2) 古典概型的判断标准: 一个试验是不是古典概型, 在于这个试验是否具有古典概型的两个特 征:
(如: 下列三个试验都不是古典概型: (1)样本点个数有限, 但非可能; (2)样本点个数无限, (2)样本点个 数无限, 但非等可能; )
(3) 古典概型的概率计算公式:
设试验 E 是古典概型,样本空间 Ω 包含 ​n 个样本点,事件 A 包含 mm≤n 个样本点,则
PA=
6、概率的基本性质
7、相互独立事件
(1) 相互独立事件的概念: 事件 A (或 B ) 是否发生对事件 B (或 A ) 发生的概率没有影响,这样的两个事 件叫做相互独立事件.
判断依据: 任意两个事件 A 与 B ,事件 A 与事件 B 相互独立 ⇔PAB=PAPB
8、相互独立事件的性质
(1) 必然事件 Ω 、不可能事件 ⌀ 与任意事件相互独立;
(2) 当事件 A 与事件 B 相互独立,则事件 A 与 B;A 与 B;A 与 B 也相互独立.
(3) 事件 A 与事件 B 相互独立,则两个事件都发生的概率: PAB=PAPB9、相互独立事件的概率的求解
与相互独立事件 A,B 有关的概率的计算公式如下表所示:
10、n 个独立事件同时发生的概率: PA,A2⋯An=PA1⋅PA2⋯⋯PAn (注意理解 n 个独立事件的含义) 11、条件概率
(1) 在已知事件 A 发生条件下事件 B 发生的概率: PB∣A=
(2) 条件概率的性质:
设 PA>0,Ω 为样本空间,则
1)PB|A∈[0,1],PΩ|A=1;
2) 如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 PB∪C∣A=PB∣A+PC∣A ;
3) 设 B 和 B 互为对立事件,则 PB∣A=1−PB∣A .
(3) 概率乘法公式: 对于任意两个事件 A 与 B ,
若 PA>0 ,则 PAB=PAPB∣A . 若 PB>0 ,则 PAB=PBPA∣B .
12、全概率公式: 设 A1,A2,⋯,An 是一组两两互斥的事件, A1∪A2∪⋯∪An=Ω ,且 PAi>0,i=1,2,⋯,n , 则对任意事件 B⊆Ω ,有 PB=i=1nPAi⋅PB∣Ai .
13、全概率公式的意义:
全概率公式的意义在于,当直接计算事件 B 发生的概率 PB 较为困难时,可以先找到样本空间 Ω 的一个划分 Ω=A1∪ A2∪⋯∪An,A1,A2,⋯,An 两两互斥,将 A1,A2,⋯,An 看成是导致 B 发生的一组原因,这样事件 B 就被分解成了 n 个部分,分别计算 PB∣A1,PB∣A2,⋯,PB∣An ,再利用全概率公式求解.14、贝叶斯公式
设 A1,A2,⋯,An 是一组两两互斥的事件, A1∪A2∪⋯∪An=
Ω ,且 PAi>0,i=1,2,⋯,n ,则对任意的事件 B⊆Ω,PB>0 ,有
后验概率. PAi∣B=PAiPB∣AiPB=PAiPB∣Aik=1nPAkPB∣Ak,i=1,2,⋯,n.
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因.
贝叶斯公式的思想是 “执果溯因”. 它可以帮助人们确定某结
果(事件B)发生的最可能的原因。
15、随机变量与离散型随机变量
(1) 随机变量: 对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω ,都有唯一的实数 Xω 与之对应,则称 X 为随 机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量,如 X,Y,Z ; 用小写英文字母表示随机变量的取值,如: x,y , z .
(2) 离散型随机变量: 可能取值为有限个或者可以一一列举的随机变量, 称为离散型随机变量.
16、离散型随机变量的分布列
(1) 定义:
一般地,设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1,x2,⋯,xn ,我们称 X 取每一个
值 xi 的概率
PX=xi=pi,i=1,2,⋯,n
为 X 的概率分布列,简称分布列. (2) 分布列表格表示
说明: 分布列也可以用等式形式表示: PX=xi=pi, i=1,2,⋯,n ; 也可以用图形表示
17、离散型随机变量分布列的性质 (两条):
(i) (ii)
18、离散型随机变量的数字特征
(1) 均值 (期望): EX=x1p1+x2p2+⋯xnpn=i=1nxipi
(2) 方差: DX=x1−EX2p1+x2−EX2p2+⋯+xn−EX2pn=i=1nxi−EX2pi
并记: DX 为随机变量 X 的标准差.
注: DX=i=1nxi2pi−Ex2 (重要公式)
19、均值（期望）与方差的性质
(1) EaX+b=aEX+b; DaX+b=a2DX
(2) 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数, 它综合了随机变量的取值和取值的概率, 反映了随 机变量取值的平均水平; 随机变量的方程刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度, 或者说反映了随机变量取值 的离散程度.20、伯努利实验（独立重复实验）
(1) 定义: 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验;
(2) n 重伯努利实验的两个特征: (i) 同一个伯努利试验重复做 n 次; (ii) 各次试验的结果相互独立. 21、几个重要的分布
(1) 两点分布:
则称 X 服从两点分布或 0−1 分布.
期望 (均值): EX=p;DX=p1−p
(2) 二项分布
在 n 重伯努利试验中,设每次实验中事件 A 发生的概率为 p00 ,曲线与 x 轴围成的面积总为 1 ;
6) 在参数 σ 取固定值时,正态曲线的位置由 μ 确定,且随着 μ 变化沿 x 轴平移,如图甲所示;
7) 当 μ 取定值时,正态曲线的形状由 σ 确定,当 σ 较小时,峰 高,曲线 “瘦高”,表示随机变量 X 的分布比较集中; 当 σ 较 时,峰值低,曲线 “矮胖”,表示随机变量 X 的分布比较分散, 图乙所示.
图甲图乙
(4) 3σ 原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率（记忆）
Pμ−σ≤X≤μ+σ≈
Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈
Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈
(2) 3σ 原则 (能解释描述,课本选择性必修三 P86)
在实际应用中,通常认为服从于正态分布 Nμ,σ2 的随机变量 X 只取 [μ−3σ,μ+3σ] 中的值,这在统计学中称为 3σ 原则.
【课本优质习题汇总】
人教 A 版必修二 P246
7. 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两 张标签上的数字为相等整数的概率:
(1) 标签的选取是不放回的;
(2) 标签的选取是有放回的.
8. 从长度为 1,3,5,7,9 的 5 条线段中任取 3 条,求这三条线段能构成一个三角形的概率.
人教 A 版必修二 P247
11. 某人有 4 把钥匙, 其中 2 把能打开门. 如果随机地取一把钥匙试着开门, 把不能开门的钥匙 扔掉, 那么第二次才能打开门的概率有多大? 如果试过的钥匙又混进去, 第二次才能打开门 的概率又有多大?
14. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 3 次, 求下列事件的概率:
(1) 没有出现 6 点;
(2) 至少出现一次 6 点;
(3) 三个点数之和为 9 .
人教 A 版必修二 P253
(第 5 题)
5. 如图, 一个正八面体, 八个面分别标以数字 1 到 8 , 任意抛掷一次这个 正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为 Ω={1 , 2,3,4,5,6,7,8} . 构造适当的事件 A,B,C ,使 PABC= PAPBPC 成立,但不满足 A,B,C 两两独立.
人教 A 版必修二 P262
6. 在一个袋子中放 6 个白球, 4 个红球, 摇匀后随机模球 3 次, 采用放回和不放回两种方式摸球. 设事件 Ai= “第 i 次摸到红球”, i=1,2,3 .
(1) 在两种摸球方式下分别猜想事件 A1,A2,A3 发生的概率的大小关系;
(2) 重复做 10 次试验,求事件 A1,A2,A3 发生的频率,并填人下表.
(3) 在两种摸球方式下,第 3 次摸到红球的频率 f10A3 差别大吗? 在不放回摸球方式下,事 件 A1,A2,A3 的频率差别大吗? 请说明原因.
人教 A 版必修二 P262
5. 一个袋子中有 4 个红球, 6 个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出 2 个球.
(1) 求第二次取到红球的概率;
(2) 求两次取到的球颜色相同的概率;
(3) 如果是 4 个红球, n 个绿球,已知取出的 2 个球都是红球的概率为 16 ,那么 n 是多少?人教 A 版选择性必修三 P48
1. 设 A⊆B ,且 PA=0.3,PB=0.6 . 根据事件包含关系的意义及条件概率的意义,直接写出 PB∣A 和 PA∣B 的值,再由条件概率公式进行验证.
人教 A 版选择性必修三 P48
3. 袋子中有 10 个大小相同的小球, 其中 7 个白球, 3 个黑球. 每次从袋子中随机摸出 1 个球, 摸出的 球不再放回. 求:
(1) 在第 1 次摸到白球的条件下, 第 2 次摸到白球的概率;
(2) 两次都摸到白球的概率.
人教 A 版选择性必修三 P48
2. 两批同种规格的产品,第一批占 40% ,次品率为 5% ; 第二批占 60% ,次品率为 4% . 将两批产品混 合, 从混合产品中任取 1 件.
(1) 求这件产品是合格品的概率;
* (2) 已知取到的是合格品, 求它取自第一批产品的概率. 人教 A 版选择性必修三 P52
3. 甲、乙两人向同一目标各射击 1 次, 已知甲命中目标的概率为 0.6 , 乙命中目标的概率为 0.5 . 已知目标至少被命中 1 次, 求甲命中目标的概率.
4. 甲和乙两个箱子中各装有 10 个球, 其中甲箱中有 5 个红球、 5 个白球, 乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子, 如果点数为 1 或 2 , 从甲箱子随机摸出 1 个球; 如果点数为 3,4,5,6 ,从乙箱子中随机摸出 1 个球. 求摸到红球的概率.
人教 A 版选择性必修三 P53
5. 在 A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有 6%,5%,4% 的人患了流感. 假设这三 个地区的人口数的比为 5:7:8 ,现从这三个地区中任意选取一个人.
(1) 求这个人患流感的概率;
* (2) 如果此人患流感, 求此人选自 A 地区的概率.
6. 已知 PA>0,PB>0,PB∣A=PB ,证明: PA∣B=PA .
10. 证明: 当 PAB>0 时, PABC=PAPB∣APC∣AB . 据此你能发现计算 PA1A2⋯An 的公式吗?
人教 A 版选择性必修三 P61
5. 老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇不同的课文让同学背诵, 规定至少要背出其中 2 篇才能及格. 某位同学只能背诵其中的 6 篇, 求:
(1) 抽到他能背诵的课文的数量的分布列;
(2) 他能及格的概率.
6. 某种资格证考试, 每位考生一年内最多有 3 次考试机会. 一旦某次考试通过, 便可领取资格证 书, 不再参加以后的考试, 否则就继续参加考试, 直到用完 3 次机会. 李明决定参加考试, 如 果他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8 ,且每次考试是否通过相互独立,试求:
(1) 李明在一年内参加考试次数 X 的分布列;
(2) 李明在一年内领到资格证书的概率.
人教 A 版选择性必修三 P66
1. 已知随机变量 X 的分布列为
(2) 求 E3X+2 .
人教 A 版选择性必修三 P66
1. 已知随机变量 X 的分布列为
求 DX 和 σ2X+7 .
人教 A 版选择性必修三 P71
3. 随机变量 X 的分布列为 PX=0=0,2,PX=1=a,PX=2=b . 若 EX=1 ,求 a 和 b .
5. 证明: DaX+b=a2DX .
8. 设 EX=μ,a 是不等于 μ 的常数,探究 X 相对于 μ 的偏离程度与 X 相对于 a 的偏离程度的 大小关系, 并说明结论的意义.
人教 A 版选择性必修三 P74
例 2 图 7.4-2 是一块高尔顿板的示意图. 在
图 7. 4-2
一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆 柱形小木钉, 小木钉之间留有适当的空隙作为通 道, 前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放人, 小 球下落的过程中, 每次碰到小木钉后都等可能地 向左或向右落下, 最后落入底部的格子中. 格子 从左到右分别编号为 0,1,2,⋯,10 ,用 X 表 示小球最后落人格子的号码,求 X 的分布列.
人教 A 版选择性必修三 P75
例 3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为 0.6 , 乙获胜的概 率为 0.4 , 那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利?
人教 A 版选择性必修三 P75
3. 如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点 0 出发,每隔 1 s 等可能地向左或向右移动一个 单位, 共移动 6 次. 求下列事件的概率.
(第 3 题)
(1) 质点回到原点;
(2) 质点位于 4 的位置.
人教 A 版选择性必修三 P81
7. 一个车间有 3 台车床,它们各自独立工作. 设同时发生故障的车床数为 X ,在下列两种情形下 分别求 X 的分布列.
(1) 假设这 3 台车床型号相同,它们发生故障的概率都是 20% ;
(2) 这 3 台车床中有 A 型号 2 台,B 型号 1 台,A 型车床发生故障的概率为 10%,B 型车床发 生故障的概率为 20% .
人教 A 版选择性必修三 P87
1. 设随机变量 X∼N0,1 ,则 X 的密度函数为 ,PX≤0=
PX≤1= pX≤1= PX>1= . (精确到 0.000 1.)
4. 袋装食盐标准质量为 400 g ,规定误差的绝对值不超过 4 g 就认为合格. 假设误差服从正态分布, 随机抽取 100 袋食盐, 误差的样本均值为 0 , 样本方差为 4 . 请你估计这批袋装食盐的合格率.
人教 A 版选择性必修三 P90
3. 假设有两箱零件, 第一箱内装有 10 件, 其中有 2 件次品; 第二箱内装有 20 件, 其中有 3 件次 品. 现从两箱中随意挑选一箱, 然后从该箱中随机取 1 个零件.
(1) 求取出的零件是次品的概率;
* (2) 已知取出的是次品, 求它是从第一箱取出的概率.
人教 A 版选择性必修三 P91
4. 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示.
求: (1) 常数 q 的值; (2) EX 和 DX .
5. 已知随机变量 X 取所有的值 1,2,⋯,n 是等可能的,且 EX=10 ,求 n 的值.
6. 已知每门大炮击中目标的概率都是 0.3,现在 n 门大炮同时对某一目标各射击一次.
(1) 当 n=10 时,求恰好击中目标 3 次的概率 (精确到 0.001);
(2) 如果使目标至少被击中一次的概率超过 95% ,至少需要多少门大炮?
9. 一份某种意外伤害保险费为 20 元, 保险金额为 50 万元. 某城市的一家保险公司一年能销售 10
万份保单,而每一份保单需要赔付的概率为 10−5 . 利用计算工具求 (精确到 0.0001):
(1) 这家保险公司在这个险种上亏本的概率;
(2) 这家保险公司在这个险种上一年内获利不少于 100 万元的概率.人教 A 版选择性必修三 P91
10. 甲、乙、丙三人相互做传球训练, 第 1 次由甲将球传出, 每次传球时, 传球者都等可能地将 球传给另外两个人中的任何一人. 求 n 次传球后球在甲手中的概率.
11. 某单位有 10000 名职工,想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者. 假设携带病毒的人占 5% , 如果对每个人的血样逐一化验, 就需要化验 10000 次. 统计专家提出了一种化验方法: 随机 地按 5 人一组分组, 然后将各组 5 个人的血样混合再化验. 如果混合血样呈阴性, 说明这 5 个人全部阴性; 如果混合血样呈阳性, 说明其中至少有一人的血样呈阳性, 就需要对每个人 再分别化验一次.
(1) 按照这种化验方法能减少化验次数吗?
(2) 如果携带病毒的人只占 2% ,按照 k 个人一组, k 取多大时化验次数最少?
12. 某城市高中数学统考,假设考试成绩服从正态分布 N75,82 . 如果按照 16%,34%,34% , 16% 的比例将考试成绩分为 A,B,C,D 四个等级,试确定各等级的分数线 (精确到 1). 人教 B 版必修二 P105
(4) 已知事件 A 与 B 互斥,判断 A 与 B 的关系,以及 A 与 B 的关系.
(5) 设 A,B,C 为三个事件,说明下列各式所表示的意义:
(1) ABC ; (2) A+B+C ; (3) ABC+ABC+ABC .
人教 B 版必修二 P111
2 把一个体积为 64 cm3 的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成 64 个体积为 1 cm3 的小正方体, 从中任取一块, 求取到的小正方体只有一面涂有红漆的概率.
(3) 从 2,3,8,9 中任取两个不同的数,分别记为 a,b ,求使 lgab 为整数的 概率.
齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马; 田忌 的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马; 田忌的下等马劣于齐王的下 等马. 现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场 双方均任意选一匹马参赛, 胜两场或两场以上的人获胜. 求田忌获胜的概率.
(5) 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教, 其中甲校 2 男 1 女, 乙校 1 男 2 女.
(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名, 用合适的符号写出样本空间, 并求选出的 2 名教师性别相同的概率;
(2) 若从报名的 6 名教师中任选 2 名, 用合适的符号写出样本空间, 并求选出 的 2 名教师来自同一学校的概率.
人教 B 版必修二 P117
(4) 某盒子内装有三种颜色的玻璃球, 一位同学每次从中随机拿出一个玻璃球, 观 察颜色后再放回, 重复了 50 次, 得到的信息如下: 观察到红色 26 次、蓝色 13 次. 如果从这个盒子内任意取一个玻璃球, 估计:
(1) 这个球既不是红色也不是蓝色的概率;
(2) 这个球是红色或者是蓝色的概率.人教 B 版必修二 P121
(3) 用定义与概率的性质证明,当事件 A 与 B 相互独立时, A 与 B 也独立. (提示:
PB=PA+AB=PAB+AB=PAB+PAB.
人教 B 版必修二 P122
(5) 已知事件 A,B 相互独立,且 PAB=14,PAB=916 ,求 PA,PB . 人教 B 版必修二 P122
(1) 已知事件 A,B 相互独立,若事件 A 发生的概率为 p ,事件 B 发生的概率为 1−p ,试求 A 与 B 同时发生的概率的最大值.
有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图
(第 2 题)
所示. 从这四张卡片中任抽一张,令事件 Ai : “抽到卡片上有数字 i ”, i=1,2,3 ,试判断 A1,A2,A3 是否相互独立.
人教 B 版必修二 P129
() 某险种的基本保费为 a (单位: 元), 继续购买该险种的投保人称为续保 人, 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下.
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况, 得到如下统计表.
(1) 记 A : 一续保人本年度的保费不高于基本保费,求 PA 的估计值;
(2) 记 B : 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160% ,求 PB 的估计值.
人教 B 版必修二 P129
(2) 甲、乙两队进行排球决赛, 现在的情形是, 甲队只要再赢一局就获得冠军, 乙 队需要再赢两局才能获得冠军. 若两队的水平相当, 求甲队获得冠军的概率.
(3) 某项选拔共有四轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一 轮考核, 否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问 题的概率分别为 45,35,25,15 ,且各轮问题能否回答正确互不影响.
(1) 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(2) 求该选手至多进入第三轮考核的概率.人教 B 版必修二 P129
(4) 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件, 已知甲机床加工的零件 是一等品且乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14 ,乙机床加工的零件 是一等品且丙机床加工的零件不是一等品的概率为 112 ,甲、丙两台机床加 工的零件都是一等品的概率为 29 .
(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;
(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验, 求至少有一个一等品的 概率. 人教 B 版必修二 P132
3. 如果 x1,x2,⋯,xn 的平均数为 x ,即 x=1ni=1nxi ,求证:
i=1nxi−x2=i=1nxi2−nx2.
4. 在一次读书活动中, 一位同学从 3 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任 选 2 本, 求所选的书中既有科技书又有文艺书的概率. 人教 B 版必修二 P133
5. 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1, A2, A3 通晓日语, B1, B2, B3 通 晓俄语, C1,C2 通晓韩语. 从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名, 组成一个小组.
(1) 求 A1 被选中的概率;
(2) 求 B1 和 C1 不全被选中的概率.
6. 一种电路控制器在出厂时, 每 3 件一等品应装成一箱. 工人装箱时, 不小心 将 2 件二等品和 1 件一等品装人了一箱, 为了找出该箱中的二等品, 对该箱中的产 品逐件进行测试. 假设检测员不知道该箱产品中二等品的具体数量, 求:
(1) 仅测试 2 件就找到全部二等品的概率;
(2) 测试的第 2 件产品是二等品的概率;
(3) 到第 3 次才测试出全部二等品的概率.人教 B 版必修二 P133
7. 近年来, 某市为促进生活垃圾的分类处理, 将生活垃圾分为厨余垃圾、可回 收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱, 为调查居民生活垃圾分类投放 情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000t 生活垃圾. 数据统计如下（单 位: t).
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2) 试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3) 假设厨余垃圾在 “厨余垃圾” 箱、“可回收物” 箱、“其他垃圾” 箱的投放 量分别为 a,b,c ,其中 a>0,a+b+c=600 ,当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时, 写出 a,b,c 的值 (结论不要求证明),并求此时 s2 的值.
8. 已知 A,B 两组各有 7 位病人. 他们服用某种药物后的康复时间（单位：天） 记录如下:
A组: 10,11,12,13,14,15,16 ;
B组: 12,13,15,16,17,14,a .
假设所有病人的康复时间相互独立. 从 A, B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人 记为甲, B 组选出的人记为乙.
(1) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率;
(2) 如果 a=25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(3) 写出 a 为何值时, A,B 两组病人康复时间的方差相等（结论不要求证明）.
9. 甲、乙两人轮流投篮, 每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜, 一直 到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 13 ,乙每 次投篮投中的概率为 12 ,且各次投篮互不影响.
(1) 求乙获胜的概率;
(2) 求投篮结束时, 乙只投了 2 个球的概率.
人教 B 版必修二 P134
3. 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况, 数据如 下表所示 (单位: 人).
(1) 从该班随机选 1 名同学, 求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1, A2 , A3,A4,A5,3 名女同学 B1,B2,B3 . 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机 选 1 人,求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率.人教 B 版选择性必修二 P50
假设 Ai 表示事件, i=1,2,3 ,且 PA1>0,PA1A2>0 . 证明
PA1A2A3=PA1PA2∣A1PA3∣A1A2
一定成立,其中 PA3∣A1A2 表示已知 A1 与 A2 都发生时 A3 发生的概率,而 PA1A2A3 表示 A1,A2,A3 同时发生的概率. 并通过具体实例来理解上式.
人教 B 版选择性必修二 P57
(4) 已知 PA=0.5,PB∣A=0.2 ,求 PBA 与 PBA .
人教 B 版选择性必修二 P58
在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有 20 张奖券，其中共有 3 张写有 “中奖” 字样. 假设抽完的奖券不放回, 甲抽完之后乙再抽, 求:
(1) 甲中奖而且乙也中奖的概率;
(2) 甲没中奖而且乙中奖的概率.
(5) 假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占 60% ,乙厂产品占 40% ,甲厂产品的合 格率是 95% ,乙厂产品的合格率是 80% . 在该市场中随机购买一个灯泡,已知 买到的是合格品,求这个灯泡是甲厂生产的概率 (精确到 0.1% ).
人教 B 版选择性必修二 P62
如图所示, 已知一个系统由甲、乙、丙、丁
(第 2 题)
4 个部件组成. 当甲、乙都正常工作, 或丙、 丁都正常工作时, 系统就能正常工作. 若每 个部件的可靠性均为 r00 且 PB∣A=PB 时,有
PB∣A=PB,PB∣A=PB,PB∣A=PB.
你能给出这个结论的直观解释吗? 人教 B 版选择性必修二 P62
(1) 袋中有 a 个白球, b 个黑球,且 a,b 均为正整数,从中任意取一球,不放 回, 然后再取一球, 求第二次取到白球的概率.
(2) 掷红、蓝两个均匀的骰子, 已知两个骰子的点数不同, 求其中至少有一个 6 点的概率.
(3) 某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率为 0.75 , 连续 两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气 质量为优良的概率是多少?人教 B 版选择性必修二 P62
(5) 已知 PA=0.6,PB∣A=0.35,PB∣A=0.2 ,求 PB,PA∣B .
人教 B 版选择性必修二 P62
(1) 当 00 时,求证: PB∣A=PB 的充要条件是
PA∣B=PA.
人教 B 版选择性必修二 P73
(4) 已知 X 服从参数为 0.3 的两点分布.
(1) 求 PX=0 ;
(2) 若 Y=2X+1 ,写出 Y 的分布列.
(4) 抛一枚均匀的硬币 2 次,设正面朝上的次数为 X .
(1) 说明 X=1 表示的是什么事件,并求出 PX=1 ;
(2) 求 X 的分布列.
同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为 X .
(1) 写出 X 的分布列;
(2) 求 PX0 和 Nμ2,σ22σ2>0 的密度函数图象如图 所示, 则 ( ).
(A) μ1σ2
(3) 若 X∼Nμ,σ2 ,根据
Pμ≤X≤μ+σ=0.3413,
Pμ+σ≤X≤μ+2σ=0.1359,
写出下列各概率值:
(1) Pμ−σ≤X≤μ ; (2) Pμ−2σ≤X≤μ .
(1) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N2,9 ,若 Pξ>c+1=Pξ60 的值.人教 B 版选择性必修二 P99
(5) 已知某类种子每粒发芽的概率都为 0.9 , 现播种了 1000 粒, 对于没有发芽的 种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X ,求 EX,DX .
(3) 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N2,σ2,Pξ≤4=0.84 ,求 Pξ≤0 .
(2) 在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N1,σ2σ>0 . 若 ξ 在 0,1 内 取值的概率为 0.4,求 ξ 在 0,2 内取值的概率.1.事件的关系和运算A发生导致B发生.
并(和)事件
一般地，事件A与事件B至少有
事件的关
一个发生，这样的一个事件中的 样本点或者在事件 A 中,或者在 事件 B 中,我们称这个事件为事 件 A 与事件 B 的并事件(或和事 件)，记作 A∪B或B
系和运算
定义
图示
包含关系
一般地，若事件A发生，则事件B 一定发生，我们就称事件 B 包含 事件 A (或事件 A 包含于事件
B) ,记作 B⊇A ( 或 A⊆B )
一般地，事件A与事件B同时发 生，这样的一个事件中的样本点 既在事件 A 中,也在事件 B 中,我 们称这样的一个事件为事件 A 与 事件 B 的交事件(或积事件),记 作 A∩B或AB
相等事件
特别地，如果事件B包含事件A， 事件A也包含事件B,即B ​B,A 且 A ⊇B ,则称事件 A 与事件 B 相 等，记作 A=B 事件A是事件B发
交（积）事件
“A与B相互对立”是“A 与B互斥”的充分不必 要条件.
互斥(互不 相容) 事件
一般地，如果事件 A 与事件 B 不 能同时发生，也就是说ANB是一 个不可能事件，即 A∩B=⌀ ，则 称事件 A 与事件 B 互斥 ( 或互不 相容)
对立事件
一般地，如果事件 A 和事件 B 在 任何一次试验中有且仅有一个发 生，即 A∪B=Ω ，且 A∩B=⌀ ，那 么称事件 A 与事件 B 互为对立事
件.事件 A 的对立事件记为 A
性质 1
对任意的事件 A ,都有 PA≥0
性质 2
必然事件的概率为 1 , 不可能事件的概率为 0, 即 PΩ=1,P⌀=0
如果事件 A 与事件 B 互斥,那么 PA∪B=PA+ PB.
性质 3
推广: 如果事件 A1,A2,⋯,Am 两两互斥,那么事件 A1∪ A2∪⋯∪Am 发生的概率等于这 m 个事件分别发生的
概率之和,即 PA1∪A2∪⋯∪Am=PA1+PA2+⋯ +PA​m
性质 4
如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 PB=1− PA,PA=1−PB
性质 5
如果 A⊆B ,那么 PA≤PB
性质 6
设 A,B 是一个随机试验中的两个事件,则 PA∪B= PA+PB−PA∩B
事件 A,B 发生的情形
概率计算公式
A,B 同时发生
PAB=PAPB
A，B都不发生
PAB=PAPB=1−PA1−PB= 1−PA−PB+PAPB 转化为对立事件.
A,B 至少有 一个不发生
PAB+AB+AB=1−PAB=1−PAPB
A,B 至少有 一个发生
PAB+AB+AB=1−PAB=1−PA⋅PB =PA+PB−PAPB
A.B 恰有 一个发生
PAB+AB=PAB+PAB=PAPB+ PAPB=PA+PB−2PAPB
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
⋯
pn
X
0
1
P
1−p
p
放回摸球
不放回摸球
f10A1
f10A2
f10A3
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
X
0
1
2
P
0.36
1−2q
q2
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85
a
1. 25a
1. 5a
1.75a
2a
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
X
37
38
39
40
P
0.1
0.5
0.3
0.1