2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块11-数列-2025新高考数学专题，共22页。试卷主要包含了数列的概念，注意 an 与 an 的区别，数列的递推公式，数列的函数性质，等差数列与等比数列对比，等差数列的性质等内容，欢迎下载使用。
(1) 数列的定义
一般地, 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列
(sequence f number), 数列中的每一个数叫做这个数列的
项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项, 常用
符号 a1 表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项,
用 a2 表示 ⋯⋯ 第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项,
用 an 表示. 其中第 1 项也叫做首项.
说明:
1. 数列具有有序性, 一个数列不仅与构成数列的 “数” 有关, 而且与这些数的排列顺序有关, 注意与集合中元 素的无序性区分开来.
2、数列的项具有可重复性, 数列中的数可以重复出现, 这要与集合中元素的互异性区分开来.
3、注意 an 与 an 的区别: an 表示数列整体: a1,a2,⋯,an,⋯;an 表示数列 an 中的第 n 项.
4. 数列与函数的关系: 数列 an 是从正整数集 N* (或它的有限子集 1,2,3,⋯,n ) 到实数集 R 的函数,其自变 量是序号 n ,对应的函数值是数列的第 n 项 an ,记 an=fn ,即当自变量从 1 开始,按照从小到大的顺序依次取值 时所对应的一列函数值就是数列 an ,另一方面,对于函数 y=fx ,如果 fnn∈N* 有意义,那么, f1,f2 , f3,⋯,fn,⋯ ,构成一个数列 {fn} .
2、数列的分类
3、数列的通项公式
如果数列 an 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项 公式.
说明: 数列的通项公式实际上是一个定义域比较特殊的函数的解析式,即 an=fn ,通项公式中的 n 取不同的值, 可以得到数列的项.
4、数列的递推公式
如果一个数列 an 的相邻两项或者多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做数列 an 的递推 公式.
说明: (1) 不是所有的数列都有递推公式. (2) 递推公式是给出数列的一种方法. 递推公式和数列的通项公式一样, 都是关于项的序号 n 的恒等式,如果用符合要求的正整数依次去替换 n ,就可以求出数列的各项.
(3) 数列的表示方法: 通项公式法; 列表法; 图象法; 递推公式法.
5、数列的前 n 项和 ○ 温馨提示
an=Sn−Sn−1 不是对一切正 1. 概念: 数列 an 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和,称为数列 整数 n 都成立,而是对 n≥2 an 的前 n 项和,记作 Sn ,即 Sn=a1+a2+⋯+an .
的一切正整数 n 恒成立,因为如果数列 an 的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的对应关系 当 n=1 时, Sn−Sn−1 无意义. 因可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前 n 项此,由前 n 项和 Sn 求通项公式 an=fn 时,要分 n=1 与 n≥2 和公式.
两种情况, 注意验证两种情形 2. an 与 Sn 的关系: an=S1,n=1,Sn−Sn−1,n≥2. 能否用同一式子表示, 若不能,则将 an 用分段形式表示.
6、数列的函数性质
(1) 数列单调性的判断方法:
(1)转化为函数,借助函数的单调性研究数列的单调性,如: 数列 an 的通项公式为 an=n2−n+1 ,考察函数 y=x2−x+1 在 12,+∞ 上为增函数,则数列 an 为单调递增数列.
(2)利用定义判断: 作差 (作商) 比较法,比较 an+1 与 an 的大小,从而判断数列 an 的单调性.
例: 已知数列 an 满足 an=n2+λnn∈N* ,若数列 an 为递增数列,则实数 λ 的取值范围是 (2) 数列的最大项与最小项
(1)借助数列的单调性研究数列的最大项与最小项.
(2)利用 an≥an+1an≥an−1 n≥2 求数列 an 的最大项; 利用 an≤an+1an≤an−1 n≥2 求数列 an 的最小项.
例: 已知数列 an 的通项公式是 an=n+2×78nn∈N* ,试问数列 an 中有没有最大项? 若有,求出最大项和 相应的项数; 若没有, 说明理由.
7、等差数列与等比数列对比
8、证明数列 an 为等差数列的方法:
(1) 定义法: an−an−1=dd 为常数, n≥2⇔an 为等差数列;
(2) 中项法: 2an+1=an+an+2⇔an 为等差数列;
(3) 通项法: an 为 n 的一次函数 ⇔an 为等差数列;
(4) 前 n 项和法: Sn=An2+Bn 或 Sn=na1+an2 。
9、等差数列的性质:
(1) 在等差数列中,若 m+n=p+k ,则 am+an=ap+akm、n、p、k∈N+ 。
(2) 在等差数列 an 中, ak、a2k、a3k、a4k、⋯ 仍为等差数列,公差为
(3) 若 an 为等差数列,则 Sk、S2k−Sk、S3k−S2k、⋯ 仍为等差数列,公差为 k2d0
s2ka1+a2+a3+⋯+ak⏟Sk+ak+1+⋯+a2k⏟S2k−Sk+a2k+1+⋯+a3k⏟S3k−S2k
(4) 等差数列的增减性: d>0 时为递增数列,且当 a10,dk>0 ;
(2)若 m+n=p+k ,则 am⋅an=ap⋅ak 。
(3) 数列 an 首项是 a1 ,公比为 q1 ,数列 bn 首项为 b1 ,公比为 q2 ,则数列 an⋅bn 是首项为 a1⋅b1 ,公比为 q1⋅q2 的等比数列,同理数列 anbn 是首项为 a1b1 ,公比为 q1q2 的等比数列。
(4) 在公比为 q 的等比数列 an 中,数列 am、am+k、am+2k、am+3k⋯ 仍是等比数列。
(5) 公比为 qk ; 数列 Sk、S2k−Sk、S3k−S2k、⋯ 仍是等比数列 (此时 q≠−1 )。
a1+a2+a3+⋯+ak⏟Sk+ak+1+⋯+a2k⏟S2k−Sk+a2k+1+⋯+a3k⏟S2k−S2kS2k
13、递推数列的类型以及求通项方法总结:
(1) 定义法: 等差数列的通项公式: an=a1+n−1d 或 an=am+n−md
等比数列的通项公式: an=a1⋅qn−1a1⋅q≠0 或 an=am⋅qn−mn>m
(2) 做差法: 由 an 与 Sn (即 a1+a2+⋯+an=fn ) 的关系求 an,an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2 。
(3) 累加法: 由 an+1−an=fn 求 an,an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1n≥2 。
(4) 累乘法: 已知 an+1an=fn 求通项 an,an=anan−1⋅an−1an−2⋯a2a1⋅a1n≥2 。
(5) 已知递推关系求 an ,用构造法 (构造等差、等比数列):
形如 an+1=pan+fn ,只需构造数列 bn ,消去 fn 带来的差异, fn 的形式有:
(1) fn 为常数,即递推公式为 an+1=pan+q (其中 p、q 均为常数且 pqp−1≠0 )。
解法: 先设参转化为 an+1+λ=pan+λ ,其中 λ=qp−1 ,再利用换元法转化为等比数列求解。
(2) fn 为一次多项式,即递推公式为 an+1=p⋅an+r⋅n+s 。
(3) fn 为 n 的二次式,则可设 bn=an+An2+Bn+C 。
递推公式为 an+1=p⋅an+qn (其中 p、q 为常数且 pqp−1q−1≠0 ) 或 an+1=p⋅an+r⋅qn (其中 p、q、r 为常数)。
解法: 一般地要先在原递推公式两边同除以 qn+1 ,得: an+1qn+1=pq⋅anqn+1q ,引入辅助数列 bn (其中 bn= anqn ,得: bn+1=pq⋅bn+1q ,再应用类型 (1) 的方法解决。
递推公式为 an+2=p⋅an+1+q⋅an (其中 p、q 均为常数)。
解法: 先把原递推公式转化为 an+2−s⋅an+1=tan+1−s⋅an ,其中 s、t 满足 s+t=pst=−q ,解出 s、t ,于是
an+1−san 是公比为 t 的等比数列,就转化为前面的类型。形如 an=an−1kan−1+b 或 an−1−b⋅an=k⋅an⋅an−1 的递推数列都可以用倒数法求通项。
形如 an+1=p⋅nr 型,该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等 比数列求通项。两边取对数 lgan+1=lgp⋅anr=lgp+r⋅lgan ,设 bn=lgan ,原等式变为 bn+1=r⋅bn+lgp 即变为基本型。 14、数列的求和方法:
(1) 等差数列求和: Sn=a1+ann2=am+an−m−1n2=na1+nn−1d2;Sm+n=Sm+Sn+mnd 。
(2) 等比数列求和: Sn=na1q=1a11−qn1−q=a1−anq1−qq≠1;Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm 。
(3) 分组求和法: 把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列, 再求和。
对于求 an 的前 n 项和的问题一般都是分类讨论。
(4) 倒序求和法: 将数列的顺序倒过来排列, 与原数列两式相加, 若有公因式可提, 并且剩余项的和易于求 出, 这样的数列可用倒序相加法求和。
(5) 裂项相消法: 就是把数列的各项分裂成两项之差, 相邻的两项彼此相消, 只余有限几项, 就可以化简后 求和。适用条件:
(1) canan+1 其中 an 是各项不为 0 的等差数列, c 为常数,可拆解为 canan+1=cd1an−1an+1 ;
(2)部分无理数列 can+an+1=cdan+1−an 。
(6) 一些常用的裂项公式:
(1) 1nn+1=1n−1n+1 ; (2) 14n2−1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ;
(3) 1nn+2=121n−1n+2 ; (4) 1n+1+n=n+1−n ;(5) 1nn+k=1k1n−1n+k ; (6) 1nn+1n+2=121nn+1−1n+1n+2 。
(7) 常见放缩公式:
(1) 2n+1−n=2n+1+n