专题一 集合与常用逻辑用语-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题一 集合与常用逻辑用语
专题01 集合的概念与运算
一、单选题
1．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）己知集合，集合，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出，然后进行集合的交集运算.
【详解】
因为，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查集合的交集、补集运算，属于基础题.
2．（2020·广西一模（理））设满足约束条件，且该约束条件表示的平面区域为三角形.现有下述四个结论：
①若的最大值为6，则；②若，则曲线与有公共点；
③的取值范围为；④“”是“的最大值大于3”的充要条件.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②③ B．②③④ C．①④ D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
作出满足约束条件平面区域，利用约束条件表示的平面区域为三角形求出，再验证其他选项得到答案.
【详解】
作出满足约束条件表示的平面区域，如图所示，
联立，得，因为为三角形区域，所以 ，即，故③正确.
当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，
若的最大值为6，则；故①错误，
当时，，必要性成立，当时，，充分性成立，故④正确.
当时，的坐标为，当时，函数的值为，
则曲线与有公共点，故②正确.
故选：B.

【点睛】
本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想与逻辑推理的核心素养，线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
3．（2020·全国课时练习）已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，
甲：；
乙：；
丙：；
丁：.
以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.
【详解】
设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，
由韦达定理得，.
对于甲条件，，得，
甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于乙条件，，得，此时，直线过抛物线的焦点，
乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；
对于丙条件，，即，
解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于丁条件，，
化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.
综上所述，正确的结论只有个，故选B.
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.
4．（2020·全国课时练习）设集合，如果命题“”是真命题，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式有解问题可得：原命题可转化为关于实数的不等式有解，再运算即可得解.
【详解】
解：由“”是真命题，
即存在实数使得圆与圆有交点，
则存在实数使得，
即关于实数的不等式有解，
即，
解得，
故选C.
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系及不等式有解问题，属中档题.
5．（2020·全国专题练习）“”是函数满足：对任意的，都有”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当时，在上递减，在递减，且在上递减，任意都有，充分性成立；若在上递减，在上递增，任意，都有，必要性不成立，“”是函数满足：对任意的，都有”的充分不必要条件，故选A.
6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( )
A．若则 B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据,逐项分析,即可求得答案.
【详解】

对于A,,
分类讨论：
①当,则此时
②当且,即,此时，
③当且,
即时,,此时
综合所述,有,故A正确;
对于B , ,故(2)正确；
对于C ,


,故C正确;
对于D ,,故D错误.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
7．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））下列命题中，是假命题的是( )
A．，
B．，
C．函数的最小正周期为
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.
【详解】
对于A，，
，
，即，正确；
对于B，，，
，故，正确；
对于C， 函数的最小正周期为，
，最小正周期为，错误；
对于D，，根据对数运算法则知：，正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力．
8．（2019·浙江高三月考）已知函数有两个零点，则“”是“函数至少有一个零点属于区间”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
函数有两个零点，所以判别式，再从函数在上的零点个数得出相应条件，从而解出的范围.
【详解】
函数有两个零点，所以判别式，
函数至少有一个零点属于区间分为两种情况：
（1）不是零点时，
函数在区间上只有一个零点

，即
又因为，所以，；
一个是零点时， 或
综合可得
（2）函数在上有2个零点
由线性规划画出可行域，

由图可得：；
综上所述“函数至少有一个零点属于区间”或，
所以或，
而后面推不出前面（前面是后面的子集），
所以“”是“函数至少有一个零点属于区间”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
9．（2019·安徽蚌山·蚌埠二中高二期中（文））设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分析：函数在上单调递增，所以的值域为，
对分类讨论，求出在的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．
详解：函数在上单调递增，所以的值域为，
当 时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得
当 时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得
当时，为常数函数，值域为 ，不符合题意；
综上，实数的取值范围为.
故选D.
点睛：本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．
10．（2020·浙江高三其他）正项等比数列，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断是否是充分条件，可令，显示条件成立，但结论不成立，故不充分；再证是否是必要条件，不妨假设最大，则最小，且，设公比为再得到，对分，，讨论，可证得，从而得到，得到答案.
【详解】
解：设正项等比数列的公比为，因为，
当时，令，不等式成立，但是不成立；
故“”是“”的不充分条件；
当时，显然互不相等，设公比为
等价于，即，
因为，，所以，即，
不妨假设最大，所以最小，所以，

当时，，，∴；
当时，；
当时，，，∴；
综上知，当时，有，
故“”是“”的必要条件.
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】
本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的通项公式及性质，作差法比较厌，还考查了学生的分析推理能力，转化与化归思想，难度较大.
11．（2020·浙江高一单元测试）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是（   ）
A．没有最大元素, 有一个最小元素 B．没有最大元素, 也没有最小元素
C．有一个最大元素, 有一个最小元素 D．有一个最大元素, 没有最小元素
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意依次举出具体的集合，从而得到均可成立．
【详解】
对，若，；则没有最大元素，有一个最小元素0，故正确；
对，若，；则没有最大元素，也没有最小元素，故正确；
对，有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故错误；
对，若，；有一个最大元素，没有最小元素，故正确；
故选：．
【点睛】
本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．
12．（2020·福建高三二模（理））已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：
①的一个周期是； ②是非奇非偶函数；
③在单调递减； ④的最大值大于．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数周期的定义判断①正确，利用特值判断函数是非奇非偶函数，得到②正确，根据取整函数的定义，可以判断在上函数值是确定的一个值，得到③错误，利用得到④正确，从而得到结果.
【详解】
因为，
所以的一个周期是，①正确；
又，④正确；
又，
，
所以，，所以是非奇非偶函数，所以②正确；
当时，，，所以，所以，所以③错误；
综上所以正确的结论的序号是①②④，
故选：A．
【点睛】
该题考查三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数，奇偶性、单调性、周期性的综合应用，属于较难题目.
13．（2020·全国高三其他（文））对于实数a，b，m，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则的最小值为．其中是真命题的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质和基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于①，当时，，所以①是假命题．
对于②，当时，成立；当时，等价于，
即，因为，所以，所以成立；
当时，，所以成立．所以②是真命题．
对于③，因为，所以，所以，所以③是真命题．
对于④，因为，且，所以，且，所以，因为，当且仅当，即时成立，，不合题意，所以的最小值不是，
又由，因为，所以，
所以是a的增函数，在时没有最小值．所以④是假命题．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了以命题为背景的命题的真假判定，以及不等式的性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记不等式基本性质和基本不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
14．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知全集，集合则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因或，故，所以，应选答案A。

二、多选题
15．（2020·湖南高二月考）已知函数y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f（0）＝M，f（2）＝N（M＞0，N＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ）
A．必存在x∈[0，2]，使得f（x） B．必存在x∈[0，2]，使得f（x）
C．必存在x∈[0，2]，使得f（x） D．必存在x∈[0，2]，使得f（x）
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先由题可知函数图像为上连续的增函数，再结合每个选项和不等式性质验证合理性即可
【详解】
因函数y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，，所以；
对A，若成立，则，即，显然成立；
对B，若成立，则，即，显然成立；
对C，若成立，则，先证，假设成立，则，即，如时，不成立，则C不成立；
对D，若成立，则化简后为：，即，左侧化简后成立，右侧化简后成立，故D成立
故选ABD
【点睛】
本题考查函数增减性的应用，不等式性质的应用，属于中档题

第II卷（非选择题）
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三、解答题
16．（2020·湖南雨花·高一期末）设集合，集合.
（1）若集合，求实数的取值范围
（2）若集合中只有一个元素，求实数的值.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
（1）集合中对应表达式为二次函数，等价于，求解即可；
（2）解出集合，由集合中只有一个元素判断集合中元素只能有一个，再进行求解即可
【详解】
（1），，解得
（2）集合中只有一个元素，若集合，
将代入得或，
将代入得，解得集合，与题设矛盾，舍去；
将代入得，解得集合，符合题意，则满足；
同理，若，将代入得或，
题（1）中不满足条件，舍去，
将代入得，集合，符合题意，则满足
综上所述，实数的值为或
【点睛】
本题考查根据集合为空集求解参数，根据交集结果求参数，在反向求解参数问题中，一定要注意检验原集合的表达形式是否符合题意，属于中档题
17．（2020·荣成市教育教学研究培训中心期中）将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：





其中，，，且表中的第一列数构成等差数列，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数.表中每一行正中间的项构成的数列记为.
（I）求的前项和；
（II）记集合，若的元素个数为，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得第行的第项为，，再用错位相减法求和即可得答案；
（2）设，则，当时，，再根据题意得，即.
【详解】
解：（Ⅰ）第一列构成的等差数列公差为，
所以
所以第行的第项为，
由此可知第行的第项，又为第行的第项，
所以每行的公比.
由题意可知，第行共有项，且为第行的中间项，
所以为第行的第项，得.
…①
①式各项乘以得，
…②
①-②式得，



（Ⅱ） 设，

所以，当时，
，
即，当时，，
因为集合的元素个数为，
所以，
即，.
【点睛】
本题考查等差等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，数列单调性求参数，考查分析问题解决问题的能力，考查运算能力，是中档题.
18．（2020·上海浦东新·华师大二附中期末）已知集合，其中，，，表示中所有不同值的个数.
（1）设集合，，分别求，；
（2）若集合，证：；
（3）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）直接利用定义把集合，中的值代入，即可求出和；
（2）先由 最多有 个值，可得，再利用定义推得所有 的值两两不同，即可证明结论；
（3）存在最小值，设，则，由此可得到的最小值．
【详解】
解：（1）根据题中的定义可知：由，，，，，，得；
由，，，，，，得．
（2）证明：因为 最多有 个值，所以，
又集合，3，9，，，任取，，
当 时，不妨设，则，
即．当， 时，，
因此，当且仅当， 时，，
即所有 的值两两不同，
所以．
（3）存在最小值，且最小值为，不妨设，
所以，
所以 中至少有 个不同的数，即，
事实上，设，，，， 成等差数列，
考虑，根据等差数列的性质，
当 时，，
当 时，，
因此每个等于 中的一个，
或者等于中的一个，
所以对这样的， ，
所以的最小值为．
【点睛】
本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意整体思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于难题．
19．（2019·伊美区第二中学高一月考）已知集合，，若，求实数m的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论：当时，；当时，结合数轴列不等关系
即可求解.
【详解】
由题：
当，即时，，符合题意；
当，即时，，，，得；
综上：
【点睛】
此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，易错点在于弄错不等关系，结合数轴依次分类讨论既可避免此类问题.
20．（2020·江苏省西亭高级中学高三其他）当时，集合A＝{1，2，3，…，n}，取集合A中m个不同元素的排列分别表示为M1，M2，M3，…，MA(n)－1，MA(n)，其中A(n)表示取集合A中m个不同元素的排列的个数.设pi为排列Mi中的最大元素，qi为排列Mi中的最小元素，1≤i≤A(n)，记P＝p1＋p2＋…＋pA(n)－1＋pA(n)，Q＝q1＋q2＋…＋qA(n)－1＋qA(n).
（1）当m=2，n＝3时，分别求A(3)，P，Q；
（2）对任意的，求P与Q的等式关系.
【答案】（1）A(3)＝6，P=16，Q＝8；（2）P＝mQ.
【解析】
【分析】
（1）当m=2，n＝3时，分析题意，可求得A(3)的值，分别写出对应的排列，得到P，Q的值；
（2）对任意的，分析其对应的数据，找到其关系，从而得到结果.
【详解】
（1）当m=2，n＝3时，A（3）＝＝6，
6个排列分别为1，2；2，1；1，3；3，1；2，3；3，2.
则P=16，Q＝8.
（2）显然m≤pi≤n，pi∈，并且以m为最大元素的取法有个，
以m+1为最大元素的取法有个，
以m+2为最大元素的取法有，，
以k(m≤k