2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块16-计数原理-2025新高考数学专题

这是一份2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块16-计数原理-2025新高考数学专题，共15页。试卷主要包含了分类计数原理，分步计数原理，排列，排列数，组合，组合与组合数，组合数的性质，二项式定理等内容，欢迎下载使用。
完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有
m2 种不同的方法 ⋯ ,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N=_________ 种不同的方法.
注: (1) 分类加法计数原理的特点: 分类加法计数原理又称为分类计数原理或加法原理, 其特点是各类中的每一种 方法都可以完成要做的事情,强调每一类中的任何一种方法都可以完成要做的事,因此共有 m1+m2+⋯+mn 种不同 方法可以完成这件事.
(2) 分类的原则: 分类计数时, 首先要根据问题的特点, 确定一个合适的分类标准, 然后利用这个分类标准进行分 类, 分类时要注意两个基本原则: 一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类; 二是不同类的任意两种方法 必须是不同的方法, 只要满足这两个基本原则, 就可以确保计数时不重不漏.
2、分步计数原理 (乘法原理)
完成一件事,需要 n 个步骤,在第 1 个步骤中有 m1 种不同的方法,在第 2 个步骤中有
m2 种不同的方法 ⋯ ,在第 n 个步骤中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有:
N=_______ 种不同的方法.
注: (1) 分布乘法计数原理的特点是在所有的各步之中, 每一步都要使用一种方法才能完成要做的事情, 强调依次 完成各个步骤才能完成要做的事情,因此共有 m1×m2×⋯×mn 种不同方法可以完成这件事.
(2) 分类的原则: (i) 明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事。怎样才能完成这件事, 弄清要经过哪几步才能 完成这件事; (ii) 完成这件事需要分成 n 个步骤,只有每个步骤完成了,才算完成这件事,缺少任何一步,这件事 就不可能完成; (iii) 根据题意正确分步,要求各步骤之间必须连续 (不能缺少步骤),只有按照这 n 个步骤逐步去 做, 才能完成这件事, 各个步骤既能不重复也不能遗漏.
3、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析
(1) 区别与联系
(2) 分类加法计算原理与分步乘法计数原理的合理选择
在解决有关计数问题时, 应注意合理分类, 准确分步, 同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
4、排列
(1) 排列的定义: 一般地,从 n 个不同元素中取出 mm≤n,n,m∈N′ 个元素,并按照一定的顺序排成 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 特别地,当 m=n 时,这个排列被称为全排列.
(2) 排列概念的理解:
1) 排列的定义中包含两个基本内容, 一是取出元素; 二是按照一
定的顺序排列.
2) 两个排列相同的条件
(1)元素完全相同; (2)元素的排列顺序也相同.
3) 定义中 “一定的顺序” 就是说排列与位置有关.
(3) 排列的判断
判断一个问题是不是排列问题的关键: 判断是否与顺序有关,与顺序有关且是从 n 个不同元素中取出 m m≤n,n,m∈N* 个元素的问题就是排列问题,否则就不是排列问题,检验一个问题是否与顺序有关的依据就 是变换不同元素的位置, 看其结果是否有变化, 如有变化就与顺序有关, 就是排列问题: 若没有变化, 就与顺序无 关, 就不是排列问题.
5、排列数
一般地,从 n 个不同元素中取出 mm≤n,n,m∈N* 个元素的所有不同排列的个数,叫从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的排列数,用 Anm 表示.
注: (1) 排列数公式的特征: 第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个因数少 1,最后一个因数是 n−m+1 , 共有 m 个因数.
(2) 全排列与阶乘: Ann=n×n−1×n−2×⋯×3×2×1=n!
(3) Ann=n⋅An−1n−1, Ann=n!−n−1! 6、组合
(1) 组合的定义一般地,从 n 个不同元素中取出 mm≤n,n,m∈N* 个元素作为一组,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合.
(2) 对组合概念的理解
1) 组合的概念中有两个要点: (1)要求 n 个元素是不同的; (2) “只 取不排”,即取出的 m 个元素与顺序无关,无序性是组合的特 征性质.
2) 两个组合相同: 只要两个组合中的元素完全相同, 无论元素的 顺序如何, 都是相同的组合.
(3) 排列与组合的区别与联系
联系: 都是从 n 个不同元素中取出 m m≤n,n,m∈N* 个元素 (强调不同元素).
区别: 排列是把取出的元素按顺序排成一列, 它与元素的顺序有关, 而组合只要把元素取出来就可以, 取出的 元素与顺序无关, 可以总结为: 有序排列, 无序组合.
7、组合与组合数
一般地,从 n 个不同的元素中,任取 m1≤m≤n 个元素为一组,叫作从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合.
Cnm= = n∈N*,m∈N,且m≤n.
8、组合数的性质（能解释其中原理）
(1) Cnm=Cnn−m; Cnm+Cnm−1=Cn+1m .
(2) Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnr+⋯+Cnm=2n . 注 : 规定 Cn0=1 .
(3) mCnm=nCn−1m−1⇔mnCnm=nCn−1m−1 (4) Crr+Cr+1r+Cr+2r+⋯+Cnr=Cn+1r+1
9、二项式定理
一般地,对于任意正整数 n ,都有 a+bn=Cn0an+Cn1an−1b+
Cn2an−2b2+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn.
( * )
公式 * 叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做 a+bn 的二项展开式,其中各项的系数 Cnkk∈{0,1,2,⋯,n} 叫做二 项式系数, Cnkan−kbk 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项 为展开式的第 k+1 项: Tk+1=Cnkan−kbk .
10、二项展开式的规律说明
(1) 项数: n+1 项
(2) 第 r+1 项的二项式系数是 Cnr
(3) 在二项展开式中, 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等.
(4) 如果二项式的幂指数是偶数, 中间的一项的二项式系数最大. 如果二项式的幂指数 是奇数, 中间两项的的二项式系数最大, 并且相等.
(5) 通项公式: Tr+1=Cnran−rbrr=0,1,2⋯,n . 是第 r+1 项
11、二项式系数的性质
(2) 杨辉三角一一二项式系数表 (阅读课本选择性必修三 P39-P41)
当 n 依次取 1,2,3,⋯ 时,观察 a+bn 的展开式的二项式
系数:
C C10 C11 ⋅1 1
C20C21−C22 121
⋅C30 C31 C33 C33. 1331
a+b4⋯⋯⋯C40 C41 C42 C43 C44 C44 C44 C44 C44 C44 C44 C44 C44
a+b3……C50 C51 C53 C54 C55
a+b6⋯C60C61C62C63C64C65⋯1615−6−20156
(i) 每一行的二项式系数是对称的,即 Cnk=Cnn−k k≤n,k=0,1,2,⋯,n
(ii) 每一行两端都是 1 , 而且从第二行起, 除 1 以外的每一个数都等于它 “肩上” 两个数的和.
(iii) 从第二项起, 每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大;
(iv) 所有二项式系数和 Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n ,并且中间项二项式系数最大; 12、注意二项式系数和项的系数的区别, 在求某些项的系数的和时注意赋值法的应用.
(1) ax+bn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=fx 的展开式的系数关系:
(1)常数项 a0=f0
(2)所有项的系数和: a0+a1+a2+⋯+an=f1
(3)奇数项与偶数项系数的差: a0−a1+a2−⋯+−1nan=f−1
13、二项展开中系数最大 (小) 项的求法: 设第 k 项的系数 Ak 最大 (小),由 Ak≥Ak−1Ak≥Ak+1 (最大); Ak≤Ak−1Ak≤Ak+1 (最 小) 确定 r . 14、利用二项式定理证明整除问题或求余数
(1) 利用二项式定理解决整除问题, 关键是要巧妙构造二项式, 其基本做法: 要证明一个式子能被另一个式 子整除, 只要证明这个式子按照二项式定理展开后个各项均能被另一个式子整除即可.
(2) 用二项式定理处理整除问题时, 通常把底数写成除数 (或与除数密切相关的数) 与某数的和或差的形 式, 再用二项式定理展开, 只考虑 (或者前面) 一两项就可以了.
(3) 要注意余数的范围, a=c⋅r+b,b 为余数, b∈[0,r),r 是除数,利用二项式定理将被除数展开变形 后, 若末项 (或者是首项) 是负数, 要注意转换.
【课本优质习题汇总】
人教 A 版选择性必修三 P7
4. 在 1,2,⋯,500 中,被 5 除余 2 的数共有多少个?
5. 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个三位数 (各位上的数字可以重复)?
人教 A 版选择性必修三 P11
1. 乘积 a1+a2+a3b1+b2+b3c1+c2+c3+c4+c5 展开后共有多少项?
4. 用 1,5,9,13 中的任意一个数作分子, 4,8,12,16 中任意一个数作分母,可构成多少个不 同的分数? 可构成多少个不同的真分数?
5. 一个口袋内装有 5 个小球, 另一个口袋内装有 6 个小球, 所有这些小球的颜色互不相同. 从两 个袋子中分别取 1 个球, 共有多少种不同的取法?
6. (1) 在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在 A={0,1,2,3,4,5} 内取值的不同点共有 多少个?
(2) 在平面直角坐标系内,斜率在集合 B={1,3,5,7} 内取值, y 轴上的截距在集合 C= {2,4,6,8} 内取值的不同直线共有多少条?
人教 A 版选择性必修三 P12
11. 在国庆长假期间, 要从 7 人中选若干人在 7 天假期值班 (每天只需 1 人值班), 不出现同一人 连续值班 2 天, 有多少种可能的安排方法?
12. 2160 有多少个不同的正因数?
人教 A 版选择性必修三 P26
6. (1) 空间中有 8 个点, 其中任何 4 个点不共面, 过每 3 个点作一个平面, 可以作多少个平面?
(2) 空间中有 10 个点, 其中任何 4 个点不共面, 过每 4 个点为顶点作一个四面体, 可以作多 少个四面体? 人教 A 版选择性必修三 P26
8. 求证:
(1) An+1n+1−Ann=n2 Ann−1 ; (2) n+1!k!−n!k−1!=n−k+1⋅n!k!k≤n .
9. 学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺序. 除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定外, 4 个音乐节目要求排在第 2,5,7,10 的位置,3 个舞蹈节目要求排在第 3,6,9 的位置,2 个 曲艺节目要求排在第 4,8 的位置, 有多少种不同的排法?
人教 A 版选择性必修三 P27
11. 一个数阵有 m 行 n 列,第一行中的 n 个数互不相同,其余行都由这 n 个数以不同的顺序组 成. 如果要使任意两行的顺序都不相同,那么 m 的值最大可取多少?
12. (1) 从 0,2,4,6 中任取 3 个数字,从 1,3,5 中任取 2 个数字,一共可以组成多少个没有 重复数字的五位数?
(2) 由数字 0,1,2,3,4,5,6 可以组成多少个没有重复数字,并且比 5000000 大的正整数?人教 A 版选择性必修三 P27
13. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛.
(1) 如果 4 人中男生女生各选 2 人, 那么有多少种选法?
(2) 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内, 那么有多少种选法?
(3) 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1 人在内, 那么有多少种选法?
(第 17 题)
(4) 如果 4 人中必须既有男生又有女生, 那么有多少种选法?
14. 一个宿舍的 6 名同学被邀请参加一个晚会.
(1) 如果必须有人去, 去几个人自行决定, 有多少种不同的去法?
(2) 如果其中甲和乙两位同学要么都去, 要么都不去, 有多少种去法?
17. 如图, 现要用 5 种不同的颜色对某市的 4 个区县地图进行着色, 要 求有公共边的两个地区不能用同一种颜色, 共有几种不同的着色 方法?
人教 A 版选择性必修三 P28
19. 甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技术比赛, 决出第 1 名到第 5 名的名次. 甲和乙去 询问成绩, 回答者对甲说: “很遗憾, 你和乙都没有得到冠军." 对乙说: “你当然不会是最差 的.” 从这两个回答分析, 5 人的名次排列可能有多少种不同情况? 人教 A 版选择性必修三 P31
4. x−110 的展开式的第 6 项的系数是 ( ).
(A) C106 (B) −C106 (C) C105 (D) −C105
5. 在 x−1x−2x−3x−4x−5 的展开式中,含 x4 的项的系数是
人教 A 版选择性必修三 P34
1. 填空题
(1) Cl1+C113+C115+⋯+Cl1111=
(2) Cn0+Cn1+Cn2+⋯+CnnCn+10+Cn+11+Cn+12+⋯+Cn+1n+1=
人教 A 版选择性必修三 P35
7. 证明:
(1) x−1x2n 的展开式中常数项是 −2n1×3×5×⋯×2n−1n! ;
(2) 1+x2n 的展开式的中间一项是 1×3×5×⋯×2n−1n!2xn .
8. 已知 1+xn 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,求这两项的二项式系数.
9. 用二项式定理证明:
(1) n+1n−1 能被 n2 整除;
(2) 9910−1 能被 1000 整除.
10. 求证: 2n−Cn1×2n−1+Cn2×2n−2+⋯+−1n−1Cnn−1×2+−1n=1 .
人教 A 版选择性必修三 P37
(6) 正十二边形的对角线的条数是人教 A 版选择性必修三 P38
(1) 已知 Cn+1n−1=21 ,那么 n=
(2) 某班一天上午有 4 节课, 下午有 2 节课, 现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、 艺术 6 堂课的课程表, 要求数学课排在上午, 体育课排在下午, 不同排法种数是__
(4) 以正方体的顶点为顶点的三棱雉的个数是
人教 A 版选择性必修三 P38
4. (1) 平面内有 n 条直线,其中没有两条平行,也没有三条交于一点,共有多少个交点?
(2) 空间有 n 个平面,其中没有两个互相平行,也没有三个交于一条直线,共有多少条交线?
5. (1) 求 1−2x51+3x4 的展开式中按 x 的升幂排列的第 3 项;
(2) 求 9x+13x18 的展开式的常数项;
(3) 已知 1+xn 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列,求 n ;
(4) 求 1+x+x21−x10 的展开式中 x4 的系数;
(5) 求 x2+x+y5 的展开式中 x5y2 的系数.
6. 用二项式定理证明 5555+9 能被 8 整除. (提示: 5555+9=56−155+9 .)
7. (1) 平面内有两组平行线,一组有 m 条,另一组有 n 条,这两组平行线相交,可以构成多少 个平行四边形?
(2) 空间有三组平行平面,第一组有 m 个,第二组有 n 个,第三组有 l 个,不同两组的平面 都相交, 且交线不都平行, 可以构成多少个平行六面体?
8. 某种产品的加工需要经过 5 道工序.
(1) 如果其中某道工序不能放在最后, 那么有多少种加工顺序?
(2) 如果其中某 2 道工序既不能放在最前, 也不能放在最后, 那么有多少种加工顺序?
(3) 如果其中某 2 道工序必须相邻, 那么有多少种加工顺序?
(4) 如果其中某 2 道工序不能相邻, 那么有多少种加工顺序?
9. 在 1+x3+1+x4+⋯+1+xn+2 的展开式中,含 x2 项的系数是多少?
10. 你能构造一个实际背景,对等式 Cnk⋅Cn−km−k=Cnm⋅Cmk 的意义作出解释吗?
人教 B 版选择性必修二 P8
(3) 已知 n 是一个小于 10 的正整数,且由集合 A=x x∈N+,x≤n 中的元素可 以排成数字不重复的两位数共 20 个,求 n 的值.
(4) 如图所示, 把硬币有币值的一面称为正面, 有花的一
(第 4 题)
面称为反面. 抛一次硬币, 得到正面记为 1 , 得到反 面记为 0 . 现抛一枚硬币 5 次, 按照每次的结果, 可得 到由 5 个数组成的数组 (例如, 若第一、二、四次得 到的是正面, 第三、五次得到的是反面, 则结果可记 为 1,1,0,1,0 ,则可得不同的数组共有多少个?
(5) 已知 A 是一个有限集,且 A 中的元素个数为 n ,求 A 的子集的个数.人教 B 版选择性必修二 P15
(3) 用 0,1,2,3,4,5 可组成多少个:
(1) 没有重复数字的四位数?
(2) 没有重复数字且被 5 整除的四位数?
(3) 比 2000 大且没有重复数字的自然数?
(4) 四对夫妇坐成一排照相:
(1) 每对夫妇都不能被隔开的排法有多少种?
(2) 每对夫妇都不能被隔开, 且同性别的人不能相邻的排法有多少种?
将 2 个男生和 4 个女生排成一排:
(1) 男生排在中间的排法有多少种?
(2) 男生不在头尾的排法有多少种?
(3) 男生不相邻的排法有多少种?
(4) 男生不相邻且不在头尾的排法有多少种?
(5) 2 个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种? 人教 B 版选择性必修二 P23
(2) 解方程: C18x=C183x−6 .
(4) 利用组合数公式证明 Cnm+1+Cnm=Cn+1m+1 .
(4) 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛, 决出了第一名到第五名的 5 个名 次. 甲、乙两人去询问成绩, 组织者对甲说: “很遗憾, 你和乙都未拿到冠军. " 对乙说: “你当然不会是最差的. ” 从组织者的回答分析，这五名同学的名次排 列共有多少种不同的情况.
将 6 名中学生分到甲、乙、丙 3 个不同的公益小组:
(1) 要求有 3 人分到甲组, 2 人分到乙组, 1 个人分到丙组, 共有多少种不同的 分法?
(2) 要求三个组的人数分别为 3,2,1 ,共有多少种不同的分法?
人教 B 版选择性必修二 P24
(2) 已知从 n 个不同对象中取出 2 个对象的排列数等于从 n−4 个不同对象中取出 2 个对象的排列数的 7 倍,求正整数 n 的值.
(5) (1) 已知圆上有 10 个点, 过任意 3 个点都可画一个圆内接三角形, 一共可画 多少个圆内接三角形?
(2) 已知空间中有 10 个点, 且任意 4 个点都不共面, 即以任意 4 个点为顶点 都可构造一个四面体, 则一共可以构造多少个四面体?
(1) (1) 平面内有两组平行线,一组有 m 条,另一组有 n 条,不同组的平行线都相 交,其中 m,n 都是大于 1 的正整数,这些平行线一共构成了多少个平行四边形? (2) 空间中有三组平行平面,第一组有 m 个,第二组有 n 个,第三组有 l 个,不同组的平面都互相垂直,其中 m,n,l 都是大于 1 的正整数,这些平 行平面一共构成了多少个长方体?人教 B 版选择性必修二 P24
将 4 封不同的信全部投入 3 个邮筒:
(1) 不加任何限制, 有多少种不同的投法?
(2) 每个邮筒至少投 1 封信, 有多少种不同的投法?
(3) 某乒乓球邀请赛, 参加的有三个组, 第一、第二组各有 7 个队, 第三组有 6 个队, 首先各组进行单循环赛, 然后各小组的第一名共 3 个队分主客场进行 决赛，最终决出冠、亚军，该乒乓球邀请赛一共需要比赛多少场?
人教 B 版选择性必修二 P24
(2) 在不小于 3000 且不大于 7000 的正整数中, 有多少个没有重复数字的 5 的倍数? 人教 B 版选择性必修二 P25
某班有 35 名学生，其中正、副班长各 1 名，现要从该班选派 5 名学生参加某 种活动:
(1) 如果正、副班长必须在内, 共有多少种不同的选派方法?
(2) 如果正、副班长必须有一人在内, 且只能有一人在内, 共有多少种不同 的选派方法?
(3) 如果正、副班长都不在内, 共有多少种不同的选派方法?
(4) 如果正、副班长至少有一人在内, 共有多少种不同的选派方法?
(3) 有 6 个座位连成一排, 安排 3 个人就座, 恰有两个空位相邻的不同坐法共有 多少种?
(3) 有 10 个人围着一张圆桌坐成一圈, 共有多少种不同的坐法? 人教 B 版选择性必修二 P25
(1) 求 C22+C32+C42+⋯+C1002 的值.
(2) 求证: Amm+Am+1m+Am+2m+⋯+A2mm=A2m+1m . (提示: 考察排列数与组合数的 关系.)
(3) 如图所示, 一个地区分为 5 个行政区域, 现
(第 3 题)
给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜 色, 有 4 种颜色可供选择, 则不同的着色方 法共有多少种?
要把 9 本不同的课外书分别装到三个相同的 手提袋里, 每个袋中至少一本, 一共有多少 种不同的装法?
(3) 把分别标有 1 号、 2 号、 3 号、 4 号的 4 个不同的小球放入分别标有 1 号、 2 号、 3 号的 3 个盒子中, 不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号 的盒子中, 则不同的放法共有多少种?人教 B 版选择性必修二 P35 (4) 已知 13x−15x2n 的展开式中,所有奇数项的系数和等于 1024,求展开式中 二项式系数最大的项.
(5) 求 a13b−16+a−16b1411 的展开式中 a 和 b 的指数相等的项.
(6) 求 1+a1+b21+c3 的展开式中各项系数的和.
(1) 求 1+x2−x6 的展开式中的常数项和含 x 的项. 人教 B 版选择性必修二 P35 将杨辉三角中的每一个数 Cnr 都换成分数
(第 1 题)
1n+1Cnr ,可得到一个如图所示的分数三 角形, 称为 “莱布尼茨三角形”, 从莱布尼 茨三角形可看出,存在 x 使得
1n+1Cnr+1n+1Cnx=1nCn−1r,
求 x 的值. (2) 设 3x−18=a8x8+a7x7+⋯+a1x+ a0 ,求:
(1) a8+a7+⋯+a1 ;
(2) a8−a7+a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0 ;
(3) a8+a6+a4+a2+a0 .
(3) 求 2+x−x26 的展开式中含 x 的项和含 x3 的项.
(4) 当 n 是大于 1 的正整数且 x>0 时,求证: 1+xn≥1+nx+nn−12x2 . 人教 B 版选择性必修二 P38
11. 设 i 为虚数单位,求 2−i7 的实部.
12. 已知 x+33xn 的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比 为 64,求正整数 n 的值. 人教 B 版选择性必修二 P39
4. 书架上有 4 本不同的数学书, 5 本不同的物理书, 3 本不同的化学书, 将这些 书全部坚起排成一排:
(1) 如果同类书不能分开, 一共有多少种不同的排法?
(2) 如果要使任意两本物理书都不相邻, 一共有多少种不同的排法?
5. (1) 已知 1C5n−1C6n=710C7n ,求 C8n ;
(2) 已知 Cnm−12=Cnm3=Cnm+14 ,求 n,m .人教 B 版选择性必修二 P39
6. 设
1−2x9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9,
求 a0+a1+a2+⋯+a9 .
7. 已知
x2+12x+19=a0+a1x+2+a2x+22+⋯+a11x+211,
求 a0+a1+a2+⋯+a11 的值.
8. 已知
1−x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
求 a0+a2+a4a1+a3+a5 的值.
9. 在 2+4350 的展开式中,有多少个有理项?
10. 求 x+1x−23 的展开式中的常数项.
11. 求 1+x+x21−x10 的展开式中 x4 的系数.
12. 求 1−2x51+3x4 的展开式中,按 x 的升幂排列的前三项.
人教 B 版选择性必修二 P40
2. 把 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少 分 1 张, 至多分 2 张, 且这两张票具有连续的编号, 那么不同的分法共有多少种?
3. 设 n 是正整数,化简 Cn1+Cn26+Cn362+⋯+Cnn6n−1 .
4. 求 1+x3+1+x4+1+x5+⋯+1+x19+1+x20 的展开式中含 x3 的项.
5. 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条, 其中异面直线有多少对?
6. 将 a,b,c 填人 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复的字母,则不 同的填写方法共有多少种?
7. 某人有 3 种颜色的灯泡 (每种颜色的灯泡足够多), 要在如图所示的 6 个点 A,B,C,A1,B1,C1 上各安装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡颜色不 同, 则不同的安装方法共有多少种?
(第 7 题)区别
分类加法计数原理
分步加法计数原理
(1)针对的是“分类问题”;
针对的是“分步问题”;
(2)各种方法相互独立;
(2)各种步骤之间的方法相互依存;
(3)用其中一种方法都可以完成这件事
(3)只有各个步骤都完成才算完成这件事
联系解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即 Cnm=Cnn−m
增减性
当 kn+1n 时，二 项式系数逐渐减小,因此二项式系数在中间取得 最大值
最大值
当 n 是偶数时,展开式的中间一项 T42+1 的二项式系 数 Cn12 最大; 当 n 是奇数时,展开式的中间两项 Tn−12 与 T​n−12+1 的二项式系数 Cnn+12,Cnn+12 相等且最大
各二项式 系数的和
各二项式的系数和 Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和 Cn0+Cn2+Cn4+⋯=Cn1+Cn3+Cn5+⋯=2n−1