2024年高中数学(必修第二册)精品讲义专题关于球的外接与内切问题2(学生版+解析)

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关于球的外接与内切问题 2题型四 一般模型以上几种模型，都有具体的条件要求，它们对应有简便的求解方法，那现在提出一个一般情况的问题：如何求解任一锥体的外接球的半径？(这个问题解决了面积、体积等各种问题也不成问题).预备知识：球体的截面都是圆，设两个不平行的截面小圆的圆心为O1 , O2，分别过O1 , O2作两个截面的垂线，则球心O是两条垂线的交点.不失一般性，如下图进行分析:已知三棱锥A−BCD每条棱长度，求其外接球的半径.解题步骤① 确定球心O的位置：找出∆BCD和∆ACD的外心O1和O2，过O1和O2分别作平面BCD和平面ACD的垂线，两垂线的交点即为球心O，此时点O、O1、O2、E肯定共面；② 求半径R：这里提供二个思路(1) 在Rt∆OO1C中有R2=CO2=O1C2+OO12，其中O1C用正弦定理asinA=2r可求，而OO1的求法各异，要根据二面角∠O2EO1确定;(2) 在Rt∆OEC中有R2=CO2=EC2+EO2=CD22+EO2，其中CD是已知的，而EO可在四边形O2EO1O求解出，其中∵OO1⊥O1E , OO2⊥O2E，所以O2、E、O1、O四点共圆，OE是圆的直径则OE=O1O2sin∠O2EO1，接着根据题意再用平几的方法求解便可.【典题1】 已知三棱锥A－BCD中，∆BAC和∆BDC是全等的等边三角形，边长为2，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 . 【典2】 如图所示，三棱锥P－ABC中，∠APB=2π3，PA=PB=3，AC=5，BC=4，且平面PAB⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)A．16π B．32π C．24π D．28π【典题3】 如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt∆，AB=2，∠BAD=∠CBD=π2，且二面角A－BD－C的大小为5π6，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为(　　)A．12π B．20π C．24π D．36π1(★★★) 已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3 , AD=2 , ∠AEB=60°，则多面体E−ABCD的外接球的表面积为 .2(★★★) 三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P−ABC外接球的半径为 .3(★★★) 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝23，E为对角线BD的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC＝120°，则三棱锥P－BCD的外接球的表面积为 .4(★★★) 已知四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线BD=8(如图1)，现以AC为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置．棱AC，PD的中点分别为E，F，且四面体PACD的外接球球心落在四面体内部(如图2)，则线段EF长度的取值范围为 .题型五 内切球问题1 内切球的概念如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球.2 三棱锥P−ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径r.答 等体积法即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和与三棱锥P−ABC体积相等.∴VP−ABC=VO−ABC+VO−PAB+VO−PAC+VO−PBC =13S△ABC⋅r+13S△PAB⋅r+13S△PAC⋅r+13S△PBC⋅r =13S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBCr∴r=3VP−ABCS△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC (可与三角形ABC内切圆的半径r=2S△ABCC△ABC类比，均可由等积法求得.)【典题1】 如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB=60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为(　　)A．13 B．49 C．59 D．23【典题2】 棱长为a的正四面体的内切球的表面积为 .1(★★) 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .2 (★★) 若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .3 (★★) 已知正三棱柱ABC−A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积比与表面积之比.题型六 多球与多面体的相切问题【典题1】 4个半径为1的中球上层1个、下层3个两两相切叠放在一起.(1) 有1个空心大球能把4个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？(2) 在它们围成的空隙内有1个小球与这4个中球都外切，求小球的半径？【典题2】 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个四面体的高的最小值为 .1 在棱长为1的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切.(1) 球两球的半径之和；(2) 球的半径分别为多少时，两球体积之和最小. 2 将3个半径为1的球和1个半径为2−1的球叠为两层放在桌面上，上层只放1个较小的球，4个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.关于球的外接与内切问题 2题型四 一般模型以上几种模型，都有具体的条件要求，它们对应有简便的求解方法，那现在提出一个一般情况的问题：如何求解任一锥体的外接球的半径？(这个问题解决了面积、体积等各种问题也不成问题).预备知识：球体的截面都是圆，设两个不平行的截面小圆的圆心为O1 , O2，分别过O1 , O2作两个截面的垂线，则球心O是两条垂线的交点.不失一般性，如下图进行分析:已知三棱锥A−BCD每条棱长度，求其外接球的半径.解题步骤① 确定球心O的位置：找出∆BCD和∆ACD的外心O1和O2，过O1和O2分别作平面BCD和平面ACD的垂线，两垂线的交点即为球心O，此时点O、O1、O2、E肯定共面；② 求半径R：这里提供二个思路(1) 在Rt∆OO1C中有R2=CO2=O1C2+OO12，其中O1C用正弦定理asinA=2r可求，而OO1的求法各异，要根据二面角∠O2EO1确定;(2) 在Rt∆OEC中有R2=CO2=EC2+EO2=CD22+EO2，其中CD是已知的，而EO可在四边形O2EO1O求解出，其中∵OO1⊥O1E , OO2⊥O2E，所以O2、E、O1、O四点共圆，OE是圆的直径则OE=O1O2sin∠O2EO1，接着根据题意再用平几的方法求解便可.【典题1】 已知三棱锥A－BCD中，∆BAC和∆BDC是全等的等边三角形，边长为2，当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球表面积为 .【解析】 如图，当平面BAC⊥平面BDC时，三棱锥体积最大，取BC中点E，连接AE、DE，则AE⊥BC，DE⊥BC，因为平面BAC⊥平面BDC，所以可证得AE⊥平面BCD，DE⊥平面ABC，取三角形BCD的外心F，作FM∥AE，则F、M、E、A四点共面，取三角形ABC的外心H，过点H作EF的平行线交FM于点O，因为EF垂直平面ABC，则HO垂直平面ABC，于是点O到A、B、C、D四点的距离相等，所以点O为三棱锥A－BCD外接球的球心．连接OC，可求得OF=HE=33，CF=233，所以R2=OC2=OF2+CF2=13+43=53，所以外接球表面积为S=4πR2=20π3．【点拨】本题中平面BAC⊥平面BDC，是两平面垂直(即二面角为90°)的情况，球心还是比较好确定的，即过三角形BAC、BDC的外心作的垂线交点，此时四边形HOFE是矩形，很多量都好求.【典2】 如图所示，三棱锥P－ABC中，∠APB=2π3，PA=PB=3，AC=5，BC=4，且平面PAB⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)A．16π B．32π C．24π D．28π【解析】∆PAB中，∠APB=2π3，PA=PB=3，∴∠PAB=π6设∆PAB的外心为H，外接圆半径为r，则2r=PBsin∠PAB=312=23⇒PH=r=3，取AB的中点D，连接PD，则PD是线段AB的中垂线，根据三角形外心的定义，可知点H在直线PD上，∵PD=PB•cosπ3=3⋅12=3272，即EF>142．综上所述，142＜EF＜4．∴线段EF长度的取值范围为( 142，4)．题型五 内切球问题1 内切球的概念如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球.2 三棱锥P−ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径r.答 等体积法即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和与三棱锥P−ABC体积相等.∴VP−ABC=VO−ABC+VO−PAB+VO−PAC+VO−PBC =13S△ABC⋅r+13S△PAB⋅r+13S△PAC⋅r+13S△PBC⋅r =13S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBCr∴r=3VP−ABCS△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC (可与三角形ABC内切圆的半径r=2S△ABCC△ABC类比，均可由等积法求得.)【典题1】 如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB=60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为(　　)A．13 B．49 C．59 D．23【解析】如图所示，作出轴截面，∵∆PAB是正三角形，设PB=4，则OB=2，PO=23．∵Rt∆PEO1∽Rt∆POB，∴O1EPO1=OBPB．设O1E=R，则PO1=23−R，∴R23−R=12，即R=233． ∴内切球的体积为V1=43πR3=32327π，圆锥的体积为V=13π•OB2•PO=833π，∴V1：V=32327π833π=49．故选：B．【点拨】① 作出横截面，较好的观察到内切球半径、母线、底圆半径等量之间的关系，同时也把立体几何问题转化为平几问题；② 题中求体积之比，没有明确任一线段的长度，设一线段长度具体值PB=4，有利于求出其他线段长度，计算简便些.【典题2】 棱长为a的正四面体的内切球的表面积为 .【解析】法一 运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之.如图，设O是内切球的球心，由对称性可知，点O也是外接球的球心，设内切球的半径为r，外接球的半径为R，将正四面体放置正方体中，轻松求出R=64a，即OB=64a，在等边∆BCD中，BE=a2∙sin60°=33a(E是∆BCD的外接圆圆心)，在Rt∆OEB中，r=OE=OB2−BE2=612a⇒S=4πr2=πa26.法二 连接OA、OB、OC、OD，将四棱锥分成四个小棱锥，正四面体的四个面面积相等，易知小棱锥的高是内切球的半径r， 由VA−BCD=VO−ABC+VO−ABD+VO−ACD+VO−BCD=4VO−ABC得13×AE×S∆BCD=4×13×r×S∆ABC⇒4r=AE=63a⇒r=612a⇒S=4πr2=πa26.【点拨】① 方法一中很好的利用了几何体的对称性，巧妙知道正四面体的外接球与内切球的球心重合；横截面很好包含了球心、外接球半径、内切球半径等内容;② 方法二中可知等积法求内切球半径是个很好的方法，同时可知正四面体的高ℎ=4r(r为内切球半径)，这个结论在很多题目常用.③ 棱长为a的正四面体的高ℎ=33a.1(★★) 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 .【答案】92πcm3【解析】正方体的棱长为3，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，则球的直径为3cm，半径为32cm．∴可能制作的最大零件的体积为43π×(32)3=92πcm3．2 (★★) 若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .【答案】2：1【解析】设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小时，如图，由△AOE～△ACF可得：1r=(ℎ−1)2−12ℎ，即r=ℎℎ2−2ℎ，∴圆锥的体积V=13πr2h=πℎ23(ℎ−2)=π3[(h－2)+4ℎ−2+4]≥8π3．当且仅当h－2=2，即h=4时取等号．∴该圆锥体积的最小值为8π3．内切球体积为4π3．该圆锥体积与其内切球体积比2：1．3 (★★) 已知正三棱柱ABC−A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积比与表面积之比.【答案】55:1【解析】欲求两球体积之比与表面积之比，关键是求两个球的半径之比.先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系.如图：由题意可得两球O1、O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则R2=D1E1=36a,正三棱柱的高ℎ=2R2=33a,在Rt∆A1D1O中有R12=33a2+R22=33a2+36a2=512a⇒R1=512a∴S1:S2=R12:R22=5:1,V1:V2=R13:R23=55:1.题型六 多球与多面体的相切问题【典题1】 4个半径为1的中球上层1个、下层3个两两相切叠放在一起.(1) 有1个空心大球能把4个中球装在里面，求大球的半径至少是多少？(2) 在它们围成的空隙内有1个小球与这4个中球都外切，求小球的半径？【解析】 (1) 连接4个中球的球心得到棱长为2的正四面体，它的外接球的半径长62，因此大球的半径至少为1+62；(2)可知该小球和(1)问中的最小的大球是同心球，则小球的半径是最小的大球的半径减去一个中球的直径，即62−1.【点拨】大小一样的球体叠在一起，会出现正四面体.【典题2】 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个四面体的高的最小值为 .【解析】法一(利用点线关系)由题意得，四个半径为1的小球的球心O1 , O2 , O3 , O4恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器P−ABC的各对应面的距离都为1(如图)，设点O、H分别是∆ABC、∆O2O3O4的外心，显然HO=1，设N、F分别为AB、O2O3的中点，在棱长为2的正四面体O1−O2O3O4中，O1F=3 , O1H=263，且sin∠FO1H=13，作O1M⊥PN，则O1M=1，由于∠O1PH=∠FO1H，∴PO1=O1Msin∠O1PH=O1Msin∠FO1H=3，所以PO=PO1+O1H+HO=3+263+1=26+123.法二(利用相似关系)由题意得，四个半径为1的小球的球心O1 , O2 , O3 , O4恰好构成一个棱长为2的正四面体，并且各面与正四面体的容器P−ABC的各对应面的距离都为1(如图)，正四面体O1−O2O3O4与正四面体的容器P−ABC由共同的外接球球心O(同时也是内切球的球心)的相似正四面体，设它们相似比为k，从内切球的角度看，k=OHOQ=OHOH+HQ=OHOH+1=6666+1=6−15，(由等积法可知正四面体O1−O2O3O4内切球半径r=OH=66，OO1=O1H−OH=62)，从外接球的角度看，有k=OO1OP⇒OP=OO1k=62÷6−15=6+62，所以PQ=OP+OQ=6+62+66+1=26+123.法三(利用等体积法)如图，从O1点出发将三棱锥P−ABC分为四个小三棱锥O1−PAB , O1−PBC , O1−PAC , O1−ABC , 于是有VP−ABC=VO1−PAB+VO1−PBC+VO1−PAC+VO1−ABC设正四面体的高是ℎ，四个球的球心连线组成的正四面体O1−O2O3O4的高O1H=263，则O1Q=263+1从而13×S∆ABC×ℎ=13×S∆PAB×1+13×S∆PBC×1+13×S∆PAC×1+13×S∆ABC×263+1所以ℎ=26+123.【点拨】解决多球相切问题，基本方法为三种：① 抓住多球的堆垒放置规律；② 抓住各球心位置，转化为多面体问题；③ 适当选择截面，转化为平面几何问题.1 在棱长为1的正方体内有两个球外切且有分别与正方体内切.(1) 球两球的半径之和；(2) 球的半径分别为多少时，两球体积之和最小.【答案】（1）3−32（2）3−34，3−34【解析】 (1)如图，画出轴截面(对角面)，球心O1、O2在AC上，过O1、O2分别作AD、BC的垂线交于E、F,设两个球O1、O2的半径分别为r、R,则由AB=1,AC=3得AO1=3r，CO2=3R,所以r+R+3r+R=3，则r+R=3−32;(2)设两球球体之和为V,则V=43πr3+R3=43πr+Rr2−rR+R2 =43π×3−32[3R2−33−32R+3−322]于是当R=3−34时，V有最小值，故当r=R=3−34时，体积之和最小 2 将3个半径为1的球和1个半径为2−1的球叠为两层放在桌面上，上层只放1个较小的球，4个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.【答案】63+2【解析】将球心O1,O2,O3,O4连接起来构成侧棱为2，底面边长为2的正三棱锥O4−O1 O2O3,设底面三角形的中心为O,则OO1=233,故正三棱锥O4−O1 O2O3的高ℎ=O1O42−OO12=22−2332=63,显然平面O1 O2O3到桌面的距离为1，所以上层小球的最高点A到桌面的距离为1+63+2−1=63+2.