2024年高中数学(必修第二册)精品讲义专题关于球的外接与内切问题1(学生版+解析)

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关于球的外接与内切问题 1题型一 构造长方体求解情况1 墙角模型 遇到以上四种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径R；求解外接球半径步骤① 确定球心O的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点；② 求半径R：长方体的体对角线即外接球直径，则2R2=a2+b2+c2⇒R=a2+b2+c22.情况2 对棱相等的三棱锥若三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等(AD=BC=x , AB=CD=y , AC=BD=z)，求外接球半径. 求解外接球半径步骤① 确定球心O的位置：如上图构造一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；② 求半径R：设长方体的长宽高分别为a , b , c，AD=BC=x , AB=CD=y , AC=BD=z，列方程组a2+b2=x2b2+c2=y2c2+a2=z2⇒2R2=a2+b2+c2=x2+y2+z22求出R. 【典题1】 如图，在三棱锥A－BCD中，BD⊥平面ADC，BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，则三棱锥A－BCD外接球的体积为 .【典题2】 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥BP，PA=AC，若三棱锥P－ABC外接球表面积为8π，则三棱锥P－ACD体积的最大值为 . 【典题3】 在三棱锥S－ABC中，SA=BC=5，SB=AC=17，SC=AB=10，则该三棱锥外接球的表面积为 (　　)A．20π B．25π C．26π D．34π1(★★) 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .2(★★) 设S，A，B，C是球O表面上的四点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=2，BC=2，则球O的表面积等于 . 3(★★) 在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，C，B三点重合于A'，则三棱锥A'－EFD的外接球表面积为 .4(★★) 在三棱锥A−BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为 .5(★★) 三棱锥A−BCD，其中AB=CD=5，AD=BC=7，AC=BD=6，则该三棱锥外接球的表面积为 . 题型二 汉堡模型预备知识：球体的截面都是圆，设某个不过球心的小圆圆心为O1，则球心O在过O1且垂直平面α的直线上(即OO1⊥α).模型参考图像(棱柱以三棱柱为例) 模型条件：棱柱外接球问题求解外接球半径步骤① 确定球心O的位置：O1是柱体底面所在的球体截面圆心，则OO1⊥平面ABC，由于柱体和外接球组合的几何体的对称性，则线段O1O2的中点是球心O;② 算出小圆O1的半径AO1，OO1=12AA1;③ 求半径R：由勾股定理可得R=O1A2+O1O2.【典题1】已知三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在同一球面上，且AA1⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，AA1=2，AB=3，则该球的表面积为(　　)A．8π B．12π C．16π D．20π 【典题2】 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，AB=AC=1，BC=3，AA1=2，则球O的表面积为(　　)A．4π B．8π C．12π D．16π1(★★) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 .2(★★) 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4 , AC=6 , ∠BAC=π3 , AA1=4 , 则直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为 .3(★★) 直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2 , ∠BAC=120°，则此球的表面积等于 .题型三 垂面模型(一条直线垂直于一个平面)情况1 模型参考图像(以三棱锥为例)模型条件：三棱锥P−ABC中PA⊥平面ABC解题步骤① 确定球心O的位置:O1是△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC且OO1=PA2；② 由正弦定理asinA=2r算出小圆O1的半径AO1=r； ③ 求半径R：由勾股定理R=PA22+r2.情况2 预备知识：P的射影是∆ABC的外心⇔三棱锥P−ABC的三条侧棱相等模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例) 模型条件：三棱锥P−ABC中P的射影是△ABC的外心O1.解题步骤① 确定球心O的位置: 取△ABC的外心O1，因为P的射影是△ABC的外心O1，则球心在直线PO1上；② 由正弦定理asinA=2r算出小圆O1的半径AO1=r，算出棱锥的高PO1；③ 求半径R：OA2=O1A2+O1O2⇒R2=ℎ−R2+r2，解出R.若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方)，方法类似. 情况3 模型参考图像(以三棱锥为例，其中O是球心，O1是三角形ABC的外接圆圆心，PD⊥平面ABC)模型条件：三棱锥P−ABC中P的射影不是△ABC的外心O1.解题步骤① 由asinA=2r算出小圆O1的半径BO1=r，由题意求出三棱锥的高PD=ℎ，DO1=a;(一般求a有难度，需要确定点D的位置)② 确定球心O的位置:球心O在过O1且垂直平面ABC的直线上，设OO1=x；(一般x求不出来，因为球心O很难确定，若可以题目就比较简单了！)③ 求外接球半径R：在Rt∆BOO1和Rt∆PEO中可得R2=OB2=OO12+BO12=x2+r2R2=OP2=PE2+OE2=ℎ−x2+a2⇒x2+r2=ℎ−x2+a2求出x，从而求出外接球半径R.(多数情况当P的射影不是△ABC的外心O1，需要在两个直角三角形中求出R.)【典题1】 正四棱锥S−ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 . 【典题2】 已知三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，PA=PB=PC=23，BC=3，∠BAC=60°．则球O的表面积为(　　)A．36π B．16π C．12π D．163π【典题3】 在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AD⊥AB，AB=23，AD=6，BC=4，PA=PB=PD=43，则三棱锥P－BCD外接球的表面积为 .1(★★★)在四面体S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120∘ , SA=AC=2 , AB=1 , 则该四面体的外接球的表面积为 .2 (★★★) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 .3 (★★★) 已知正三棱锥S－ABC的四个顶点都在球O的球面上，且球心O在三棱锥的内部，若该三棱锥的侧面积为73，BC=2，则球O的表面积为 .4 (★★★) 在三棱锥P－ABC中，AB=2，AC⊥BC，D为AB中点，PD=2，若该三棱锥的体积的最大值为23，则其外接球表面积为 .关于球的外接与内切问题 1题型一 构造长方体求解情况1 墙角模型 遇到以上四种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径R；求解外接球半径步骤① 确定球心O的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点；② 求半径R：长方体的体对角线即外接球直径，则2R2=a2+b2+c2⇒R=a2+b2+c22.情况2 对棱相等的三棱锥若三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等(AD=BC=x , AB=CD=y , AC=BD=z)，求外接球半径. 求解外接球半径步骤① 确定球心O的位置：如上图构造一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；② 求半径R：设长方体的长宽高分别为a , b , c，AD=BC=x , AB=CD=y , AC=BD=z，列方程组a2+b2=x2b2+c2=y2c2+a2=z2⇒2R2=a2+b2+c2=x2+y2+z22求出R. 【典题1】 如图，在三棱锥A－BCD中，BD⊥平面ADC，BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，则三棱锥A－BCD外接球的体积为 .【解析】由BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，BD⊥平面ADC，∴AD=3，CD=22，AC=11，由勾股定理逆定理可知AD⊥CD，此时三棱锥中AD、BD、CD三直线两两垂直，可知如图，三棱锥A－BCD是长方体的一个角，外接球的直径是长方体的体对角线，所以三棱锥A－BCD外接球的半径为1212+(22)2+(3)2=3．所以外接球的体积V=4π3×(3)3=43π．【点拨】① 三棱锥中存在三条两两垂直的棱，可构造长方体进行求解外接球问题;② 求解过程中要注意利用解三角形的方法求解各线段长度及其它们的位置关系，例如利用勾股定理逆定理证明线线垂直.【典题2】 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥BP，PA=AC，若三棱锥P－ABC外接球表面积为8π，则三棱锥P－ACD体积的最大值为 . 【解析】设AB=a，BC=b，由三棱锥P－ABC外接球表面积为8π，得外接球的半径为2，又PA⊥平面ABC，得AB⊥BC，此时三棱锥中PA、AB、BC三直线两两垂直，则如下图，三棱锥P－ABC是长方体的一个“角”，外接球的半径即为长方体的体对角线，∴2R2=AB2+BC2+AP2=AC2+AP2=2AP2，得AP=2，∴a2+b2=4．∵PA⊥平面ABC，AD⊥BP，∴PB=4+a2，BD=a24+a2，(此处用到了射影定理)过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，可得DEPA=BDPB，则DE=2a24+a2．∴VP－ACD=VP－ABC－VD－ABC=13S△ABC⋅(PA−DE) (利用了割补法求体积)=16ab⋅(2−2a24+a2)=4ab3(4+a2)=4ab3(2a2+b2)=43(2ab+ba)≤462=23．当且仅当2ab=ba，即a=233，b=263时，等号成立．∴三棱锥P－ACD体积的最大值为23．【点拨】① 射影定理，如下图，已知Rt∆ABC，AD⊥BC，则DA2=DB∙DC , BA2=BD∙BC , CA2=CD∙CB.② 求体积也可以用等积法VP－ACD=VD－PAC.【典题3】 在三棱锥S－ABC中，SA=BC=5，SB=AC=17，SC=AB=10，则该三棱锥外接球的表面积为 (　　)A．20π B．25π C．26π D．34π【解析】由题意可将该三棱锥放在长方体中，可得长方体的过同一个顶点的三个相邻的面的对角线分别为5，17，10，设长方体的长，宽，高分别为a , b , c , 则a2+b2=52=25b2+c2=(17)2=17a2+c2=(10)2=10，所以a2+b2+c2=26，设三棱锥外接球的半径为R，则2R2=a2+b2+c2=26， 外接球的表面积S=4πR2=26π，故选：C．【点拨】对棱相等的三棱锥的外接球问题可通过构造长方体求解.1(★★) 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .【答案】24π【解析】 ∵V=a2ℎ=16 ∴a=2，由2R2=a2+a2+ℎ2=24⇒4R2=24∴S=4πR2=24π. 2(★★) 设S，A，B，C是球O表面上的四点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=2，BC=2，则球O的表面积等于 . 【答案】8π【解析】由题意将此三棱锥放在长方体中，因为AB⊥BC，AB=2，BC=2，可得长方体的过同一个顶点的三条棱分别为：2，2，2，而长方体的对角线的长度等于其外接球的直径2R，所以(2R)2=2×(2)2+22=8，所以外接球的表面积S=4πR2=8π， 3(★★) 在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，C，B三点重合于A'，则三棱锥A'－EFD的外接球表面积为 .【答案】24π【解析】在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥A′－DEF中，A′D，A′E，A′F三条线段两两垂直，以A′D，A′E，A′F为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥A′－EFD的外接球，正方形ABCD边长为4，由题意A′E=A′F=2，A′D=4，∴三棱锥A′－EFD外接球的半径r=A'E2+A'F2+A'D22=6，∴三棱锥A′－EFD外接球的表面积为S=4π×(6)2=24π．4(★★) 在三棱锥A−BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为 .【答案】292π【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2+b2=9,b2+c2=4,c2+a2=16∴2a2+b2+c2=29⇒a2+b2+c2=292⇒4R2=292⇒S=292π.5(★★) 三棱锥A−BCD，其中AB=CD=5，AD=BC=7，AC=BD=6，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】55π【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，∴2a2+b2+c2=110⇒a2+b2+c2=55⇒4R2=55⇒S=55π. 题型二 汉堡模型预备知识：球体的截面都是圆，设某个不过球心的小圆圆心为O1，则球心O在过O1且垂直平面α的直线上(即OO1⊥α).模型参考图像(棱柱以三棱柱为例) 模型条件：棱柱外接球问题求解外接球半径步骤① 确定球心O的位置：O1是柱体底面所在的球体截面圆心，则OO1⊥平面ABC，由于柱体和外接球组合的几何体的对称性，则线段O1O2的中点是球心O;② 算出小圆O1的半径AO1，OO1=12AA1;③ 求半径R：由勾股定理可得R=O1A2+O1O2.【典题1】已知三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在同一球面上，且AA1⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，AA1=2，AB=3，则该球的表面积为(　　)A．8π B．12π C．16π D．20π【解析】如图，由题意可知，三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，底面边长AB=3，高AA1=2．在底面等边三角形ABC中，设其外心为O，D为BC的中点，则AO=23AD=2332−(32)2=3(此处由2r=ABsin∠C=3 sin60°=23⇒AO=r=3更容易些)设上底面中心为O1，∵OO1⊥平面ABC，∴三棱柱外接球的球心G必在直线OO1又由图像的对称性，可知三棱柱外接球的球心G为OO1 的中点，连接GA，则GA2=AO2+AG2=3+1=4．∴该球的表面积为4π×4=16π．故选：C．【点拨】① 直棱柱的外接球问题属于“汉堡模型”.② 常见三角形的外接圆半径r(1)等腰三角形r2=AD−r2+BD2 (2)直角三角形 r=AC2 (3)等边三角形 r=33a (4) 利用正弦定理可求任一三角形外接圆的半径asinA=2r.③ 柱体是四棱柱、五棱柱呢？常见情况如下，长方形、正六边形的外接圆圆心是对角线的中点.【典题2】 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，AB=AC=1，BC=3，AA1=2，则球O的表面积为(　　)A．4π B．8π C．12π D．16π【解析】∵ AB=AC=1，BC=3，∴由余弦定理可得cos∠BAC=1+1−32×1×1=−12，∴sin∠BAC=32，设△ABC的外接圆的半径为r，则2r=BCsin∠BAC=332，所以r=1，设外接球的半径为R，则R2=AA122+r2=222+12=2，所以外接球的表面积S=4πR2=8π，故选：B．【点拨】底面三角形∆ABC三边都已知，则三角形是确定的，则利用解三角形的方法便可求出其外接圆的半径. 1(★★) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 .【答案】4π3【解析】设正六边形边长为a，正六棱柱的高为ℎ，底面外接圆的关径为r，则a=12，底面积为S=6∙34∙122=338，V=Sℎ=338=98⇒ℎ=3，∴R2=322+122=1⇒R=1，球的体积为V=4π3.2(★★) 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4 , AC=6 , ∠BAC=π3 , AA1=4 , 则直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为 .【答案】1603π【解析】BC2=16+36−2∙4∙6∙12=28，BC=27，2r=2732=473 ⇒r=273，R2=r2+AA122=403，S=1603π. 3(★★) 直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2 , ∠BAC=120°，则此球的表面积等于 .【答案】20π【解析】 在∆ABC中，因为AB=AC=AA1=2 , ∠BAC=120°，可得BC=23，由正弦定理可得∆ABC外接圆的半径r=2，设圆心为O'，球心为O，在Rt∆OBO'中，易得球半径R=5，故此球的表面积为4πR2=20π.题型三 垂面模型(一条直线垂直于一个平面)情况1 模型参考图像(以三棱锥为例)模型条件：三棱锥P−ABC中PA⊥平面ABC解题步骤① 确定球心O的位置:O1是△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC且OO1=PA2；② 由正弦定理asinA=2r算出小圆O1的半径AO1=r； ③ 求半径R：由勾股定理R=PA22+r2.情况2 预备知识：P的射影是∆ABC的外心⇔三棱锥P−ABC的三条侧棱相等模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例) 模型条件：三棱锥P−ABC中P的射影是△ABC的外心O1.解题步骤① 确定球心O的位置: 取△ABC的外心O1，因为P的射影是△ABC的外心O1，则球心在直线PO1上；② 由正弦定理asinA=2r算出小圆O1的半径AO1=r，算出棱锥的高PO1；③ 求半径R：OA2=O1A2+O1O2⇒R2=ℎ−R2+r2，解出R.若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方)，方法类似. 情况3 模型参考图像(以三棱锥为例，其中O是球心，O1是三角形ABC的外接圆圆心，PD⊥平面ABC)模型条件：三棱锥P−ABC中P的射影不是△ABC的外心O1.解题步骤① 由asinA=2r算出小圆O1的半径BO1=r，由题意求出三棱锥的高PD=ℎ，DO1=a;(一般求a有难度，需要确定点D的位置)② 确定球心O的位置:球心O在过O1且垂直平面ABC的直线上，设OO1=x；(一般x求不出来，因为球心O很难确定，若可以题目就比较简单了！)③ 求外接球半径R：在Rt∆BOO1和Rt∆PEO中可得R2=OB2=OO12+BO12=x2+r2R2=OP2=PE2+OE2=ℎ−x2+a2⇒x2+r2=ℎ−x2+a2求出x，从而求出外接球半径R.(多数情况当P的射影不是△ABC的外心O1，需要在两个直角三角形中求出R.)【典题1】 正四棱锥S−ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 . 【解析】方法一 正方形ABCD的中心O1，易得外接圆半径r=AO1=1，SO1=1，找球心O: ∵SO1⊥平面ABCD，显然球心O在SO1上，求外接球半径R:在Rt∆OAO1中，AO2=AO12+OO12⇒R2=1+1−R2⇒R=1(即O、O1重合)∴ V=4π3.方法二 正方形ABCD的中心O，易得AO=BO=CO=DO=1，而SO=1，则外接球的球心就是O，且半径R=1，∴ V=4π3.方法三 大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是△SAC的外接圆，此处特殊，Rt△SAC的斜边是球半径，2R=2，R=1， V=4π3.【点拨】① 正四棱锥的外接球问题是显然属于“垂面模型”的(存在其高SO1⊥底面ABCD)，方法一就是按照模型的套路进行求解的;② 本题具有特殊性，正四棱锥的侧棱与底面边长相等，方法一根据外接球的定义，直接确定了球心的位置并求出半径；方法二利用了大圆是轴截面所的外接圆与直角三角形的特性求出了半径；③ 做题不能太“模型化”，要发散多思考几种方法，避免思维定势开拓自己的思维提高分析能力.【典题2】 已知三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，PA=PB=PC=23，BC=3，∠BAC=60°．则球O的表面积为(　　)A．36π B．16π C．12π D．163π【解析】 在△ABC 中，BC=3，∠BAC=60°，可得△ABC 的外接圆半径 2r=332=23⇒r=3，如图所示，设P点在平面ABC内的投影的为D，则AD=r=3，在Rt△PDA中，因为PD2+AD2=PA2，解得PD=3，设三棱锥 P－ABC 的外接球半径R，即OP=OA=R，OD=3－R，在△ODA中，由勾股定理得OD2+DA2=OA2⇒(3−R)2=(3)2=R2，解得R=2，故三棱锥P－ABC 的外接球半径为2，根据球体的表面积公式 S=4πR2，可得球O的表面积为 S=4π×22=16π．故选：B．【点拨】由PA=PB=PC可知，点P在平面ABC的投影是三角形ABC外心，本题属于垂面模型中的第二种情况，按照基本套路解题难度不大，在一个直角三角形△ODA利用勾股定理便得到关于R的方程进而求出R.【典题3】 在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AD⊥AB，AB=23，AD=6，BC=4，PA=PB=PD=43，则三棱锥P－BCD外接球的表面积为 .【解析】 根据题意画出图形，如图所示；取AD的两个三等分点O1，E，连接BD，O1C，CE，BD∩O1C=H，连接PH，AH；由题意可得AH=BH=DH=12BD=12×12+36=23，则O1B=O1C=O1D=4，故O1是△BCD的外接圆的圆心．因为PA=PB=PD=43，H是Rt∆ABD的外接圆圆心，所以PH⊥平面ABCD，且PH=(43)2−(23)2=6．在菱形AO1DC中，O1H=12OC1=2，设O为三棱锥P－BCD外接球的球心，连接OO1，OP，OD，过O作OF⊥PH，垂足为F，则四边形OO1HF是矩形，设外接球的半径R，OO1=x，在Rt∆OO1D中有OD2=OO12+O1D2⇒R2=x2+16，在Rt∆POF中有OP2=OF2+PF2⇒R2=4+(6−x)2则x2+16=4+(6−x)2，解得x=2，从而R2=20，故三棱锥P－BCD外接球的表面积为4πR2=80π．【点拨】① 本题的模型对应的是垂面模型的情况三，点P到平面ABCD的投影不是底面BCD的外心；② 本题难点一：确定三角形BCD外接圆圆心O1；思路：由于四边形ABCD是确定的，可解出三角形BCD，进而利用asinA=2r求出其外接圆r，由三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点也就可知圆心O1在AD的三等分点处；题目有多线段的数量和位置关系，多用平几的知识点求解出其他线段或者角度，这样更有助于找到解题思路;③ 本题难点二：P到平面ABCD的投影H的位置；思路：∵PA=PB=PD，∴点H是三角形ABD外心，又∵∆ABD是直角三角形，故点H在BD的中点处.④ 遇到垂面模型的第三种情况，往往利用两个直角三角形(比如本题的Rt∆OO1D、Rt∆POF)得到外接球半径R的方程.1(★★★)在四面体S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120∘ , SA=AC=2 , AB=1 , 则该四面体的外接球的表面积为 .【答案】40π3【解析】在△ABC中，BC2=AC2+AB2−2AB∙AC∙cos120∘=7⇒BC=7，△ABC的外接球直径为2r=BCsin∠BAC=273，∴2R2=2r2+SA2=2732+4=403⇒S=4πR2=40π3. 2 (★★★) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 .【答案】49π【解析】由正弦定理或找球心都可得2R=7，S=4πR2=49π.3 (★★★) 已知正三棱锥S－ABC的四个顶点都在球O的球面上，且球心O在三棱锥的内部，若该三棱锥的侧面积为73，BC=2，则球O的表面积为 .【答案】169π9【解析】作 SM⊥平面 ABC，连结 AM 并延长交 BC 于点 D，连结 SD，正三棱雉外接球的球心 O 在高 SM 上，连结 OA，∵S=12×2×SD×3=73，解得：SD=733，正三角形 ABC 中，DM=36BC=33，AM=233，∴SM=SD2−DM2=4，设 SO=AO=R，△OAM 中，R2=(4−R)2+(233)2，解得：R=136，则球 O 的表面积 S=4πR2=169π9．4 (★★★) 在三棱锥P－ABC中，AB=2，AC⊥BC，D为AB中点，PD=2，若该三棱锥的体积的最大值为23，则其外接球表面积为 .【答案】D【解析】由题意可得V锥=13S△ABC•h≤13•12AC⋅BC•PD≤13•12⋅12(AC2+BC2)•PD=112•AB2•2=112•4•2=23，当且仅当AC=BC，PD⊥面ABC时，该三棱锥的体积的最大值为23，设外接球的半径为R，球心为O，则由题意可得O在PD上，底面外接圆的半径r=AB2=1，可得(2－R)2+r2=R2，即(2－R)2+1=R2，解得R=54，所以外接球的表面积S=4πR2=254π，故选：D．