高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示练习题，共32页。

一、单选题
1．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下面给出的几个关于向量问题的结论中，错误的个数是（ ）
①；
②；
③若，则与的夹角的取值范围是；
④已知，，若与夹角是锐角，则；
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的计算公式分别计算判断各结论.
【详解】结论①：，当时，，，故①错误；
结论②：，，故②错误；
结论③：当时，，即，故③错误；
结论④：若与夹角是锐角，则，且，不共线，即，解得，且，即，故④错误；
故选：D.
2．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.
【详解】夹角为钝角，且不共线，
即且，解得：且，
的取值范围为.
故选：B.
3．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则（ ）
A．12B．4C．6D．3
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，可得出，，，再结合平面向量坐标的线性运算性质即可求解.
【详解】网格纸上小正方形的边长为1，
如图，在平面直角坐标系中，，，
，
.
故选：C．
4．（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知向量，，若，则的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】直接求出与的坐标，根据模相等即可解得的值.
【详解】由已知可得，，，
因为，所以，
解得，.
故选：C.
5．（2022春·陕西渭南·高一校考期末）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据向量的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标公式和题意列出关于的不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，因为不超过5，
所以，解得：，
故选：C.
二、多选题
6．（2022春·云南文山·高一统考期末）已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．向量在向量方向上的投影向量为
C．
D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项
【详解】由图可得，
对于A，，故A正确；
对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；
对于C，，
所以，故C不正确；
对于D，因为，，所以，故，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）已知向量，，则________．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积坐标运算求解.
【详解】解：因为向量，，
所以，
故答案为：
8．（2023·高一单元测试），则向量在向量方向上的投影为_____________
【答案】2
【分析】求出，以及，利用投影公式求解即可.
【详解】解：由已知，，
所以向量在向量方向上的投影为，
故答案为：2.
【点睛】本题考查向量的投影公式，向量在向量方向上的投影为，是基础题.
9．（2023·高一单元测试）若向量与的方向相反，且，，则点B坐标为______．
【答案】
【分析】设，根据向量的模求出，得到向量的坐标，再由点A坐标得到点B坐标.
【详解】向量与的方向相反，设，，
则，解得，，
由，有，所以点B坐标为.
故答案为：
10．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，非零向量满足，请写出的一个坐标________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】设出向量的坐标，根据题意可得，进而即得.
【详解】设向量，，
由，可得，
，又，
所以，
令，可得，
所以向量的坐标可为.
故答案为：.
11．（2023·高一课时练习）在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.
【答案】1
【详解】试题分析：以A为原点，AB,AD分别为x,y轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
即
，所以
故答案为：1
考点：平面向量数量积的运算
12．（2022春·浙江金华·高一统考期中）已知向量，，且，则__________.
【答案】5
【分析】由已知可得，，代入即可求出答案.
【详解】由可得，，即，解得，，
所以，
所以.
故答案为：5.
13．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考期中）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”，是一个向量，它的模等于，若，，则______．
【答案】2
【分析】分别计算两个向量的模长及夹角，代入计算即可.
【详解】，，则，
则，
则,
故答案为：2
14．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）已知向量，满足，，，则实数______．
【答案】1
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得，根据向量的模的坐标运算列方程即可得实数的值.
【详解】解：已知向量，满足，，所以，
则，解得.
故答案为：1.
四、解答题
15．（2023·高一课时练习）已知x，y，m，，则试用向量方法求的最值．
【答案】最大值，最小值
【分析】设，由求解.
【详解】解：设，
由题意得，
则，
当时，有最大值，此时同向；
当时，有最小值，此时反向；
16．（2023·高一课时练习）已知向量，，．
(1)若，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若与夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
（3）由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得的范围
【详解】（1）因为向量，，，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，解得；
（3）夹角为锐角，且不同向，，
解得：且，的取值范围为.
17．（2023·高一课时练习）如图所示，已知中，顶点A、B的坐标分别为和，且的垂心坐标为，求顶点C的坐标．
【答案】
【分析】设，根据已知可得以及，即可得到结果.
【详解】设，则，，，.
因为点是的垂心，所以，，所以，.
所以，即，解得；
，，又，所以.
所以点C的坐标为．
18．（2023·高一单元测试）已知向量，，．
(1)当k为何值时，与平行；
(2)若向量满足，且，求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接利用向量平行的坐标公式求解；
（2）直接利用向量垂直的坐标公式和求模公式求解.
【详解】（1）由题中的条件可得
，
，
若与平行，则有，
解得；
（2）设，所以，
又，
由，可得，
由，可得.
解得或，
所以或.
19．（2023·高一课时练习）已知，，，．求：
(1)；
(2)；
(3)的单位向量的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由平面向量的坐标运算即可求解.
（2）由平面向量的模长的坐标运算即可求解
（3）由单位向量的定义和坐标运算即可求解.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）由（1）知，，所以.
（3）.
20．（2023·高一课时练习）已知，，．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；
(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）点A、B、C不能构成三角形说明三点共线，
利用共线性质列出方程解出参数即可；
（2）分类讨论直角的情况，转化为向量数量积为0，
列出方程解出即可.
【详解】（1）因为点A、B、C不能构成三角形，
所以点A、B、C三点共线，
所以，
因为，
，
所以，
即，
所以若点A、B、C不能构成三角形，则.
（2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，
则：
①若为直角，此时，
即，
所以，
②若为直角，此时，
即，由
所以
所以，
③若为直角，此时，
即，
解得，
所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，
则或或.
21．（2023·高一单元测试）设，且，．试用向量方法证明：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用向量的坐标运算证明等式.
【详解】设，，则，，，
设向量，夹角为，由题意得：，
又，则，，或，
∴，即，∴．
22．（2022春·河南平顶山·高一校考阶段练习）设平面三点，，，
(1)试求向量的模；
(2)若向量与的夹角为，求；
(3)求向量在上的投影．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）计算出、的坐标，可计算出的坐标，再利用平面向量模长的坐标表示可计算出向量的模；
（2）由可计算出的值；
（3）由投影的定义得出向量在上的投影为可计算出结果.
【详解】（1）因为、、，
所以，，
所以，
因此，；
（2）由(1)知，，，
所以；
（3）由(2)知向量与的夹角的余弦为，且.
所以向量在上的投影为.
23．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐标；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据和列方程组求解即可；
（2）将向量坐标代入，再根据向量相等列方程组求解即可；
（3）求出，再根据向量平行的坐标公式计算即可.
【详解】（1）设，
由，且，得
，解得或
或
（2），
，解得
（3）由已知，
又，
，
解得
【选做题】
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】A
【分析】依据题给条件列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围
【详解】向量，且与的夹角为钝角
则，则，且与不共线
则，解之得
故选：A
2．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，半径为1的圆始终内切于直角梯形，则当的长度增加时，以下结论：①越来越小；②保持不变．它们成立的情况是（ ）
A．①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】C
【分析】以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立平面直角坐标系，求出、、的坐标，设出与的坐标，得到所在直线方程，由到的距离为1可得与的关系，然后分析两个命题得结论．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，
设，，，
则所在直线方程为，即，
由题意，，整理得，
，，，，
，当的长度增加时，增大，则越来越小，故①正确；
，
，
当的长度增加时，增大，是变化的，故②错误．
故选：．
3．（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知，是单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用得到，然后计算即可求得答案
【详解】因为，所以，
因为，是单位向量，所以，所以，
所以，
所以，
故选：D
4．（2022春·安徽淮南·高一淮南市第五中学校考阶段练习）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】C
【分析】利用向量的数量积的性质结合题给条件即可得到关于的方程，进而得到的值
【详解】由，可得
由，可得
又，则，解之得
故选：C
5．（2022春·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）向量，且向量与向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.
【详解】因为向量与向量方向相同，则存在实数，
使得
即
所以，
因为，所以
所以
因为，所以
故选:B.
6．（2022·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，设，，，由得到P的坐标，再由，结合求解.
【详解】解：如图所示：
以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系.
设，，，
则，，，，
则，即，
所以.
由，
得，
所以，.
由，得，
即，所以，
即.
所以的取值范围是，
故选：D.
7．（2022·高一课时练习）已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量夹角的坐标表示可得，结合向量夹角的范围及，得到与的夹角与的关系式.
【详解】设与的夹角为，则．
∵，，
∴，
∴．
故选：A
8．（2022春·河南濮阳·高一统考期中）若向量与向量共线，则（ ）
A．0B．4C．D．
【答案】D
【分析】利用向量共线的坐标表示及数量积的坐标公式即可求解.
【详解】因为向量与向量共线，
所以，解得，，
所以.
故选：D.
二、多选题
9．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）在△ABC中，，F是AC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，点D在线段BC的延长线上，则
B．若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则
C．若点P在线段AC上，则的值可以是－
D．若E是线段AB上一动点，则为定值
【答案】AD
【分析】以 为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可.
【详解】选项A：若 ，则 ，则 ，故A正确.
选项B：令 ，则
所以 ；
令 ，则 .
所以
即 ，故B不正确.
选项C：设 ， ，则

不妨设 ，则
当 时， ，即
，所以不存在，故C不正确.
选项D：设 ，则
因为 ，
所以
所以 (定值)，故D正确.
故选：AD.
10．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.
【详解】
对于A，，，与不垂直，A不正确；
对于B，，有，B正确；
对于C，，有，C不正确；
对于D，，由选项C知，，D正确.
故选：BD
三、填空题
11．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】画出图形，建立平面直角坐标系，利用已知条件求出点的坐标，然后通过二次函数的性质求出数量积的范围.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，
因为，，所以，，
设，则
，
所以，
因为，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
12．（2023·高一课时练习）已知，．若在方向上的数量投影为3，则实数______．
【答案】
【分析】由在方向上的投影为，代入计算即可得到答案．
【详解】由题意知，，
因为在方向上的投影为，所以，解得.
故答案为：
13．（2023·全国·高一专题练习）已知正方形的边长为2，点满足，则__．
【答案】-1
【分析】首先根据条件确定点位置，然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标，然后根据数量积的坐标运算进行求解即可.
【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，
则，，，点满足，
所以，，，所以．
故答案为：
14．（2023·高一单元测试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答
【详解】解：因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为，
故答案为：
15．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知向量，则下列说法正确的是___________.
（1）
（2）
（3）向量在向量上投影向量的模长是
（4）与向量方向相同的单位向量是
【答案】（1）（4）
【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量的几何意义，向量的投影向量的计算，单位向量的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，向量，
由，则，所以，故（1）正确；
由，可得，故（2）错误；
由向量在向量方向上的投影向量为，
故其模长为，故（3）错误；
由，所以与向量方向相同的单位向量是，故（4）正确；
故答案为：（1）（4）.
四、解答题
16．（2023·高一课时练习）在中，已知A、B、C三点的坐标分别为、、，求证：是直角三角形．
【答案】详见解析
【分析】利用向量的数量积即可证明，进而得到，则是直角三角形．
【详解】中，A、B、C三点的坐标分别为、、，
则，
则，则
则，则是直角三角形．
17．（2023·高一课时练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，于点E，于点F．
(1)求；
(2)设，点Q满足．
①证明：；
②当点P运动时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①证明见解析②
【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，求出，的坐标，计算其夹角即可；
（2）①根据数量积的运算律得出即可得结果；②结合（1）得，设M是线段DQ的中点，通过线性关系可得此Q与B重合，将表示成关于的函数，求其范围即可.
【详解】（1）如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
所以，，
所以，
所以．
（2）①证明：因为，所以，所以．
②因为，所以，即．
设M是线段DQ的中点，则，
因此，
从而，因此P、M、C三点共线．
结合，及线段QD的中点M在AC上，
得Q、D关于直线AC轴对称，因此Q与B重合，
所以，结合P与C不重合，有t≠1，
所以，，
所以的取值范围是
18．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）在中，为边上的点，且满足.
(1)若为边长为2的等边三角形，，求；
(2)若，求；
(3)若，求的最大值；
(4)若将“为边上的点”改为“在的内部（包含边界）”，其它条件同（1），则是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围.（不需要说明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)不是定值，理由见解析
【分析】（1）分别是的中点，的夹角为，，，计算即可；
（2）若，则距离是近的三等分点，是距离近的三等分点，
则由可得，从而求出；
（3），，，且，由，，令，由函数的单调性定义可得在上单调递增，可求出的最大值；
（4）以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，，设，， 可得点在以为圆心，半径为1的三角形内部的圆弧上，包括与三角形的边上的两个交点，点在三角形内部线段的垂直平分线上，包括点和的中点，取点、点特殊位置可得答案.
【详解】（1）若为边长为2的等边三角形，，
则分别是的中点，的夹角为，
，，
所以
；
（2）若，
则距离是近的三等分点，是距离近的三等分点，
则，
所以，；
（3）
因为，所以，
，
，
因为，所以，且，
所以
，
，，
令，设，
所以，
因为，所以，
所以，在上单调递增，
所以，
当即时有最大值为；
（4）以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示平面直角坐标系，则，
设，，因为，
所以，，
化简得，，
所以点在以为圆心，半径为1的三角形内部的圆弧上，包括与三角形的边上的两个交点，并且都为所在边的中点，点在三角形内部线段的垂直平分线上，包括点和的中点，
当点为中点H，与点重合时，，，
所以，
而当时，由（1），
故不是定值.
，所以向量与的夹角为，
设，则，，
则
，
所以，而，
可得，
所以.
19．（2023·全国·高一专题练习）平面内给定三个向量，，．
(1)若，求实数；
(2)若满足，且，求的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）易得，再根据，利用共线向量定理求解；
（2）设，得到，，再根据，求解.
【详解】（1）解：因为，，，
所以，
因为，
所以，
解得；
（2）设，
则，，
因为，，
所以，
解得或，
所以或.
20．（2023·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知向量，，，且．
(1)求与间的关系；
(2)若，求与的值及四边形的面积．
【答案】(1)
(2)或四边形的面积为16
【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出，的坐标，利用平行关系即可得到与间的关系.
（2）由（1）得到与间的关系以及利用数量积为0，通过联立方程分别解出，并确定，坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.
【详解】（1）由题意得，，
因为，所以，即……①
（2）由题意得，，
因为，所以，即，
整理得
……②
联立①②,解得或.
记四边形面积为
当时，，，则，
当时，，，则
综上或四边形的面积为16
21．（2023·高一课时练习）平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．
（1）当取最小值时，求的坐标；
（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，利用向量与共线可得，用坐标表示，结合二次函数性质，求最小值，可得；
（2）利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）设，∵在直线上，
∴向量与共线．
∵，
∴，∴，∴．
又∵，，
∴．
故当时，有最小值，此时．
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴．
22．（2023·全国·高一专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
（1）若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；
（2）若，向量，求的最小值及对应的θ值．
【答案】（1）；（2）的最小值为，此时.
【分析】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.
（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值及对应的θ值.
【详解】（1）设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知，
所以，
所以，
所以当时，最小，最小值为.
（2）由题意得，，
则＝=1－cs2θ＋sin2θ－2sin θcs θ
＝1－cs 2θ－sin 2θ＝,
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值1，取得最小值.
所以的最小值为，此时.
23．（2022春·北京海淀·高一北京交通大学附属中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.
(1)求的值；
(2)若四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算出，然后用模的坐标公式即可求解；
（2）由点是直线上的一个动点可得到，接着利用即可求解；
（3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解
【详解】（1）因为，，，所以，
所以
所以
（2）由题意可得，
因为点是直线上的一个动点，所以，
所以，
因为四边形是平行四边形，所以即，
即，解得，所以
（3）由题意得，
所以当时，取得最小值