数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品学案

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

知识点1　平面向量的正交分解及坐标表示

(1)平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．

(2)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．

(3)向量坐标与点的坐标之间的联系

在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标．

点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？

[提示]　点的坐标与向量的坐标的区别与联系

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)相等向量的坐标相同． (　　)

(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标． (　　)

(3)一个坐标对应于唯一的一个向量． (　　)

(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．

(，)　[由题意知

a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝i＋j＝(，)．]

知识点2　平面向量加、减运算的坐标表示

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有：

3．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为________．

(2,5)，(4,3)　[由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j，

得a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j，

a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j，

又i＝(1,0)，j＝(0,1)，

所以a＋b，a－b的坐标分别是(2,5)，(4,3)．]

4．已知点A(1，－2)，点B(4,0)，则向量＝________．

[答案]　(3,2)

类型1　平面向量的坐标表示

【例1】　(对接教材P29例3)如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b．四边形OABC为平行四边形．

(1)求向量a，b的坐标；

(2)求向量的坐标；

(3)求点B的坐标．

[解]　(1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，

AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，

∴A(2，2)，故a＝(2，2)．

∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

∴∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，

∴C，

∴＝＝，

即b＝．

(2)＝－＝．

(3)＝＋

＝(2，2)＋

＝．

∴点B的坐标为．

求点、向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．

(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．

1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．

[解]　由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．

类型2　平面向量的坐标运算

【例2】　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4)

C．(－1,4)   D．(1,4)

(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．

(1)A　[法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A．

法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，

＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

故选A．]

(2)[解]　a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，

a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．

平面向量坐标(线性)运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．

2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标．

[解]　法一：∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，

＝(－10,14)，

∴＋＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)，

－＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)．

法二：∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，

∴＋＝＝(－10,14)，－＝＝－＝(2，－10)．

类型3　平面向量坐标运算的应用

【例3】　已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．(4,5)   D．(1,3)

C　[设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得 即点D(4,5)，故选C．]

在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解.

3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________．

(－1,2)　[设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)．]

1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　)

A．(－2,1)　 B．(2，－1)

C．(2,0)   D．(4,3)

[答案]　B

2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则＋的坐标是(　　)

A．(1，－2)　　　　　   B．(7,6)

C．(5,0)   D．(11,8)

B　[因为＝(4,2)，＝(3,4)，

所以＋＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)．]

3．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B的坐标为(　　)

A．(－5,5)   B．(5，－5)

C．(－1,1)   D．(1,1)

B　[＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．]

4．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．

　[因为＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，

所以解得所以x＋y＝．]

5．已知点B(1,0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝(－3,4)，c＝(－1,1)与a的关系为a＝3b－2c，则向量a的起点坐标为________．

(8，－10)　[a＝3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－7,10)，

设a的起点为A(x，y)，

则a＝＝(1－x，－y)，

所以

所以

所以A(8，－10)．

即a的起点坐标为(8，－10)．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)平面向量正交分解的概念是什么？

(2)如何表示平面向量的坐标？

(3)点的坐标与向量的坐标有什么区别？

(4)如何求两个向量的和或差的坐标？