高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用随堂练习题，共19页。

一、单选题
1．（2022春·河南·高一襄城高中校联考阶段练习）设O为的重心，M为所在平面内任意一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据重心的性质以及向量的线性运算法则进行求解.
【详解】解：由题意得：
在中，
故选：D
2．（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）若平面向量与的夹角为60°， ,，则等于（ ）.
A．B．C．4D．12
【答案】B
【分析】先根据数量积的定义求出 ，再根据模的计算法则求 .
【详解】由题意 ， ，
；
故选：B.
3．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.
【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
4．（2022·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误.
【详解】，即A不正确；
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示
由其性质有
∴，即B不正确；
，即C正确；
同理
，即
∴，即D不正确；
故选：C.
二、填空题
5．（2022春·陕西汉中·高一统考期末）在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，根据二次函数求最值即可.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系：,
直线方程为，即，点P在边BC上，所以设，
故，因此，
故答案为：
6．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
【答案】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用向量的几何意义求出，求出.
【详解】平行四边形中，，
因为，所以，
根据向量的几何意义可知，
解得：.
故答案为：
三、双空题
7．（2022春·山东东营·高一统考期末）已知在平面内，向量，，，则的最大值为__________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】首先设，，，从而得到，，再根据圆的性质分类讨论即可得到答案.
【详解】设，，，
所以，，，.
即.
根据圆的性质，可能出现如下两种圆的图形，
当四点共圆时，此时，,
当三点在以为圆心半径为的圆上时，
综上，，即最大值为，最小值为2，
故答案为：，
四、解答题
8．（2021·高一课时练习）在四边形ABCD中，，，证明：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】由可得平行且相等，由可得，即可证明结论.
【详解】由，即且，故ABCD为平行四边形，
由，即，而是ABCD的一对邻边，
∴四边形ABCD是矩形，得证.
9．（2023·高一课时练习）利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
【答案】详见解析.
【分析】设为的直径，为半圆上的点，根据向量线性运算及向量数量积的运算律可得，进而即得.
【详解】如图设为的直径，为半圆上的点，
则 ，
所以，
所以，
所以，即，
所以半圆上的圆周角是直角．
10．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】如图，
因为四边形为平行四边形，
所以.
又在直线上,
所以,
从而,
所以,即与平行且相等，
所以四边形是平行四边形.
【选做题】
一、单选题
1．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．[2，6]B．[-2，6]C．[4，12]D．[-4，12]
【答案】B
【分析】以正六边形的中心为原点，所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴，建立坐标系，利用的运算求解.
【详解】解：建立如图所示的坐标系：
因为正六边形的边长为2，
所以，，，
设，
则，
所以，
由题意可知，
所以，
所以，
即.
故选：B
2．（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积去求长度即可.
【详解】中，点D在边上且，
则
又，，，
则
，即长度为
故选：D
3．（2022春·北京海淀·高一统考阶段练习）如图，在四边形中，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），且，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．若为线段的中点，则
C．的最小值为
D．的最大值比最小值大
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决四个选项.
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，过点C作CG⊥x轴于点G，作CH⊥y轴于点H，过点B作BM⊥CH交HC的延长线于点M，则，
因为，
所以，设，则，则，，
则，即，解得：或（舍去），
则，，
，A说法正确；
若为线段的中点，则，
所以，
则，解得：，则，B说法正确；
设，
则，
故当时，取得最小值，故最小值为，C选项说法错误；
，则，
因为，则，所以，
解得：，，
所以的最大值比最小值大，D说法正确.
故选：C
二、多选题
4．（2022·高一单元测试）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ABC
【分析】根据，计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；设中点为，进而结合正弦定理得可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
5．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.
【详解】由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.
6．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ）
A．B．直线过边的中点
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.
【详解】，则，A正确；
若，则，
所以是△的重心，
直线过中点，而与不平行，
所以直线不过边的中点，B错误；
又，而，，
所以，C正确；
若，且，
所以，
而，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.
三、双空题
7．（2022·全国·高一假期作业）在平面内，定点，满足，且，则__________；平面内的动点满足，，则的最大值是__________．
【答案】
【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出，进而根据，平方后计算出，从而求出；然后建立平面直角坐标系，设出，表达出和，利用三角函数有界性求出最大值.
【详解】因为，，
所以，两边平方得：，
即，解得：，
因为，
所以，
因为
所以；
可得到△ABC是等边三角形，且边长为，
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
，，
因为，所以设，，
由可得：是线段PC的中点，则，
则
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：，
四、解答题
8．（2023·高一课时练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标．
【答案】或或
【分析】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，即对边的向量相等，分类讨论求得第四个定点的坐标即可.
【详解】设，，，第四个顶点，
由题意，该平行四边形的四个顶点顺序不确定，讨论如下：
①若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
②若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
③若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
综上第四个顶点的坐标为或或.
9．（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求.
【答案】
【分析】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意得，的夹角为，
，则，
又，所以，
故，同理
于是
，
，
，
.
10．（2022春·贵州贵阳·高一统考期末）阅读材料：三角形的重心､垂心､内心和外心是与三角形有关的四个特殊点，它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质.
（一）三角形的“四心”
1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
（二）三角形“四心”的向量表示
在中，角所对的边分别为.
1.三角形的重心：是的重心.
2.三角形的垂心：是的垂心.
3.三角形的内心：是的内心.
4.三角形的外心：是的外心.
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)在中，若，求的重心的坐标；
(2)如图所示，在非等腰的锐角中，已知点是的垂心，点是的外心.若是的中点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据重心的向量表示，结合平面向量的线性运算与坐标运算求解即可；
（2）根据，结合与平面向量的线性运算可得，再根据不成立可得，进而得到证明即可
（1）若记坐标原点为，由是的重心，有，从而，整理得.
（2）因为，有，因为，设，由可得，所以，所以因为，从而即，所以，易见不成立，故，即，此时，即：.
11．（2022春·北京·高一期末）在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理求得，再由平方即可求出；
（2）以A为原点建立直角坐标系，设，则可得，即可求出范围.
(1)
在中，由余弦定理，，
即，解得或（舍），
所以.
所以.
(2)
以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
设，则点坐标为.
由（1）知，，，
所以点坐标为，点坐标为.
所以.
所以.
因为，所以.
所以，所以.
所以的取值范围是所以.