高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示优质学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示优质学案设计，共11页。

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
学 习 任 务
核 心 素 养
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)
2．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题．(难点)
3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)
4．能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)
1．通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养．
2．借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养．


“不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．
问题：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
知识点　平面向量数量积的坐标表示
1．平面向量数量积的坐标表示
条件
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示
a·b＝x1x2＋y1y2
文字叙述
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
2．平面向量数量积的坐标表示的结论
条件
结论
a＝(x，y)
|a|＝
表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
|a|＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角
cos θ＝＝
已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
[提示]　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． (　　)
(2)a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角． (　　)
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直． (　　)
(4)||表示A，B两点之间的距离． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝______，|a＋b|＝________．
1　2　[a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，
|a＋b|＝＝2．]
3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______．
　[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝．]
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．
　[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，
所以a与b夹角的余弦值为＝＝．]

类型1　平面向量数量积的坐标运算
【例1】　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c．
(1)　[以A为坐标原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝．]
(2)[解]　①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a·(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．

数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．


1．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2
A　[由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5．]
类型2　向量模的坐标表示
【例2】　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　)
A．4 B．5 C．3 D．4
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
(1)D　[由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4．故选D．]
(2)[解]　①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5．
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或．
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1．
解得或
∴e＝或e＝．

求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝．


2．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．
[解]　(1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝．
(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b
＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，
∴|c|＝＝．
类型3　向量的夹角与垂直问题
【例3】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞)　　　　 B．∪
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．

设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
[提示]　

(1)B　[当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B．]
(2)[解]　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵点D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0． ①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0． ②
由①②可得
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，
综上，||＝，D(1,1)．

1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．
[解]　当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，
此时a与b方向相反，夹角为180°，
所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2．
由a与b不反向得k≠－，
所以k的取值范围是∪．
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
[解]　cos＝＝，
即＝，整理得3k2－8k－3＝0，
解得k＝－或3．

1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．


3．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
[解]　(1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
则·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝．
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
从而有即∴点C的坐标为(0,5)．
∴＝(－2,4)，||＝＝2，
故点C的坐标为(0,5)，矩形ABCD的对角线的长度为2．

1．已知向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．a·b＝2　　　　　　　 B．a∥b
C．b⊥(a＋b) D．|a|＝|b|
C　[因为向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，设b＝(x，y)，则解得所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．]
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝．又0≤θ≤π，∴θ＝．]
3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________．
－3　[a＋mb＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋mb)，
∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3．]
4．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
－2　[法一：a＋b＝(m＋1,3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]
5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R．
(1)若a⊥b，则x＝________；
(2)若a∥b，则|a－b|＝________．
(1)－1或3　(2)2或2　[(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3．
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2．
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2．
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2．
综上，|a－b|＝2或2．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a·a，|a|以及向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？
(2)若a⊥b，则a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)应满足什么条件？


向量的数量积与三角形的面积
在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图1所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？

图1
一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为
S＝|x1y2－x2y1|．
事实上，如图2所示，记t＝|OA|，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量．

图2
过B作OA的垂线BC．因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知
|BC|＝|a·|，
因此，△OAB的面积为
S＝|AO|×|BC|＝|AO|×|a·|
＝t×
＝|(－y1，x1)·(x2，y2)|
＝|x1y2－x2y1|．
由此也可以看出，如图3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为

图3
S＝|x1y2－x2y1|．
由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？