高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题，共11页。试卷主要包含了设a＝，b＝，c＝，则·c＝，))等内容，欢迎下载使用。

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
1.设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．12 B．0 C．－3 D．－11
2．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，则a·b的值为________．

知识点二　平面向量的模与夹角
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)
A. B．2 C．4 D．12
4．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为(　　)
A．－ B．0 C．3 D.
5．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角的余弦值为(　　)
A. B．－ C. D．－
6．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则|a－b|＝________.
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
知识点三　数量积的应用
8.已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
9．已知在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3，2)，则·＝________.

10．如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．

11．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
12．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
13．设a＝(－3，m)，b＝(4,3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的范围是(　　)
A．m>4 B．m<4
C．m<4且m≠ D．m<4且m≠－
易错分析　本题错误的根本原因是误认为两个向量的夹角为钝角与数量积小于零等价，应排除夹角为π时的m值，条件的转化一定要等价．


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知向量a＝(4，－3)，b＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影向量的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(1，cosθ)，且a⊥b，其中θ∈，则sinθ－cosθ等于(　　)
A．－ B. C. D.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，) B．[1，]
C．[1,2] D．[，2]
4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a，b的夹角为(　　)
A.－θ B．θ－
C．θ＋ D．θ
5．(多选)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R，则下列说法正确的是(　　)
A．当λ＝－时，|c|最小
B．当|c|最小时，b⊥c
C．当λ＝1时，a与c的夹角最小
D．当a与c的夹角最小时，a＝c
二、填空题
6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
7．已知向量＝(1,7)，＝(5,1)(O为坐标原点)，设M是直线y＝x上的一点，那么·的最小值是________．
8．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，则k的值为________．
三、解答题
9．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．
10．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．
(1)求向量b＋c的模的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．





6．3.5　平面向量数量积的坐标表示


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
1.设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．12 B．0 C．－3 D．－11
答案　C
解析　∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
2．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，则a·b的值为________．
答案　0
解析　解法一：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∵2a＋b＝2(x1，y1)＋(x2，y2)＝(2x1＋x2,2y1＋y2)，
a－2b＝(x1，y1)－2(x2，y2)＝(x1－2x2，y1－2y2)，
∴
由①③得x1＝－1，x2＝－2；由②④得y1＝2，y2＝－1.
∴a＝(－1,2)，b＝(－2，－1)．
∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.
解法二：由得
两式相加，得5a＝(－8,6)＋(3,4)＝(－5,10)，
∴a＝(－1,2)．
将a＝(－1,2)代入2a＋b＝(－4,3)，得b＝(－2，－1)．
∴a·b＝(－1,2)·(－2，－1)＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.

知识点二　平面向量的模与夹角
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)
A. B．2 C．4 D．12
答案　B
解析　由a＝(2,0)，得|a|＝2，又|b|＝1，所以a·b＝2×1×cos60°＝1，故|a＋2b|＝＝2.
4．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为(　　)
A．－ B．0 C．3 D.
答案　C
解析　∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，
∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
5．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角的余弦值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝＝.
6．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则|a－b|＝________.
答案　2
解析　|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－2a·b.又因为a＋b＝(，1)，所以(a＋b)2＝4，即a2＋2a·b＋b2＝4，所以a·b＝0，故|a－b|＝＝2.
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解　(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，
∴ ＝2，∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cosθ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
知识点三　数量积的应用
8.已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
答案　C
解析　设点P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．
9．已知在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3，2)，则·＝________.
答案　3
解析　设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，所以·＝(－1，2)·(1,2)＝－1＋4＝3.

10．如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．

答案　
解析　依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，则＝(cosθ，sinθ)，＝(1,1)．因为⊥，所以·＝0，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝.所以＝.
11．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
答案　－2
解析　建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－，0)，M(0,2)，∴＝(0,1)，＝(－，－2)，∴·＝－2.


12．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
解　设向量b＝(x，y)．
根据题意，得·＝0，||＝||.
∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，
∴|a|＝|b|，a·b＝0.
又a＝，即
解得或
∴b＝或b＝.

　课时易错点
易错点　对向量的数量积与夹角的关系理解不透致误
13．设a＝(－3，m)，b＝(4,3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的范围是(　　)
A．m>4 B．m<4
C．m<4且m≠ D．m<4且m≠－
易错分析　本题错误的根本原因是误认为两个向量的夹角为钝角与数量积小于零等价，应排除夹角为π时的m值，条件的转化一定要等价．
答案　D
正解　a＝(－3，m)，b＝(4,3)，当a与b的夹角是钝角时，a·b<0，①且a与b不平行，②由①得，－3×4＋3m<0，解得m<4，由②得，－3×3－4m≠0，解得m≠－，综上，实数m的范围是m<4且m≠－.


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．已知向量a＝(4，－3)，b＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影向量的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设与向量a同方向的单位向量为e，向量b在a方向上的投影向量为c.∵|a|＝5，∴e＝，
∴c＝e＝－e＝.故选D.
2．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(1，cosθ)，且a⊥b，其中θ∈，则sinθ－cosθ等于(　　)
A．－ B. C. D.
答案　D
解析　依题意，知a·b＝0，即sinθ＋2cosθ＝0.又sin2θ＋cos2θ＝1，且θ∈，∴cosθ＝－，∴sinθ＝，∴sinθ－cosθ＝.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，) B．[1，]
C．[1,2] D．[，2]
答案　D
解析　|a＋b|＝＝.
∵θ∈，∴cosθ∈[0,1]，∴|a＋b|∈[，2]．
4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a，b的夹角为(　　)
A.－θ B．θ－
C．θ＋ D．θ
答案　A
解析　解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为－θ.

解法二：cos〈a，b〉＝＝＝－sinθ＝cos，∵θ∈，∴－θ∈.
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝－θ.
5．(多选)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R，则下列说法正确的是(　　)
A．当λ＝－时，|c|最小
B．当|c|最小时，b⊥c
C．当λ＝1时，a与c的夹角最小
D．当a与c的夹角最小时，a＝c
答案　ABD
解析　由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，得c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝252＋4，当λ＝－时，|c|最小，故A正确；当|c|最小时，c＝，b·c＝0，所以b⊥c，故B正确；设向量a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，要使向量a与c的夹角最小，则cosθ最大，由于θ∈[0，π]，所以cosθ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，c＝(1,2)．所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c，故C错误，D正确．故选ABD.
二、填空题
6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
答案　2
解析　c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，又因为cosα＝，
cosθ＝，由题意知＝，
即＝，解得m＝2.
7．已知向量＝(1,7)，＝(5,1)(O为坐标原点)，设M是直线y＝x上的一点，那么·的最小值是________．
答案　－8
解析　设M，则＝，＝，·＝(1－x)(5－x)＋＝(x－4)2－8.当x＝4时，·取得最小值－8.
8．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，则k的值为________．
答案　－或或
解析　①当∠A＝90°时，⊥，∴·＝2×1＋3k＝0，解得k＝－.
②当∠B＝90°时，⊥，∵＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，解得k＝.
③当∠C＝90°时，⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，即k2－3k－1＝0，解得k＝.
三、解答题
9．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．
证明　假设m，n的夹角能为60°，则cos60°＝.
∴m·n＝|m||n|.①
又a＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.
∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②
|m||n|＝·＝k2＋1.③
由①②③，得2k＝(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0.
∵该方程无整数解．
∴m，n的夹角不能为60°.
10．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．
(1)求向量b＋c的模的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．
解　(1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，
则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．
因为－1≤cosβ≤1，所以0≤|b＋c|2≤4，
即0≤|b＋c|≤2.
当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，
所以向量b＋c的模的最大值为2.
(2)若α＝，则a＝.
又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)得
a·(b＋c)＝·(cosβ－1，sinβ)
＝cosβ＋sinβ－.
因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1，
所以sinβ＝1－cosβ，
平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0，解得cosβ＝0或cosβ＝1.
经检验cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．