人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线复习练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线复习练习题，共5页。
1．双曲线eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于( )
A．9B．17
C．18D．34
2．双曲线y2－x2＝1的焦点坐标是( )
A．(±1，0) B．(0，±1)
C．(±eq \r(2)，0) D．(0，±eq \r(2))
3．以F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)为焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是( )
A．eq \f(x2,2)－y2＝1B．eq \f(x2,3)－y2＝1
C．eq \f(x2,4)－y2＝1D．x2－eq \f(y2,2)＝1
4．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1与双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,5)＝1有共同的焦点，则m＝( )
A．14B．9
C．4D．2
5．(多选)若α∈(0，π)，方程x2＋y2csα＝1表示的曲线可以是( )
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
6．设A(0，－eq \r(5))，B(0，eq \r(5))，|PA|－|PB|＝4，则动点P的轨迹方程为________．
7．已知方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,m＋1)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
8．已知双曲线与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
[提能力]
9．(多选)已知双曲线E：eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线E有相同焦点的是( )
A．eq \f(x2,2m＋n)＋eq \f(y2,m)＝1
B．eq \f(y2,2m＋n)＋eq \f(x2,m)＝1
C．eq \f(x2,2m＋n)＋eq \f(y2,m)＝－1
D．eq \f(y2,2m＋n)＋eq \f(x2,m)＝－1
10．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，|F1F2|＝10，点M是双曲线左支上的一点，若|OM|＝eq \r(a2＋b2)，4|MF1|＝3|MF2|，则双曲线的标准方程是( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1B．eq \f(x2,21)－eq \f(y2,4)＝1
C．x2－eq \f(y2,24)＝1D．eq \f(x2,24)－y2＝1
11．已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2，∠F1AF2＝45°，则△F1AF2的面积为________；延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积为________．
12．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
[培优生]
13.
光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C′：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
课时作业(二十五) 双曲线及其标准方程
1．解析：由eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1，得a＝8，
设点P与双曲线另一个焦点的距离为d(d＞0)，由定义|d－1|＝2a＝16，得d＝17.
答案：B
2．解析：由c2＝1＋1＝2，所以c＝eq \r(2)，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0，±eq \r(2)).
答案：D
3．解析：由题意得双曲线焦点在x轴上且c＝eq \r(3)，
设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则有a2＋b2＝c2＝3，eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1，解得a2＝2，b2＝1，
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,2)－y2＝1.
答案：A
4．解析：设椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1半焦距为c，则c2＝25－16＝9，而椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1与双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,5)＝1有共同的焦点，
则在双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,5)＝1中，c2＝m＋5，即有m＋5＝9，解得m＝4，
所以m＝4.
答案：C
5．解析：当α＝eq \f(π,2)，即csα＝0时，x2＝1，得x＝±1表示垂直x轴的直线，故A正确；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，0＜csα＜1，方程x2＋y2csα＝1表示椭圆，故C正确；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，－1＜csα＜0，方程x2＋y2csα＝1表示双曲线，故D正确．
答案：ACD
6．解析：因为|PA|－|PB|＝4＜2eq \r(5)，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为2a＝4，2c＝2eq \r(5)，所以a＝2，c＝eq \r(5)，b2＝c2－a2＝1，所以动点P的轨迹方程为eq \f(y2,4)－x2＝1(y≥2).
答案：eq \f(y2,4)－x2＝1(y≥2)
7．解析：由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2).
答案：(－∞，－2)
8．解析：因为椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(eq \r(15)，4)或(－eq \r(15)，4)，
设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝5，))
所以所求的双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1.
9．解析：由题设，当m＞n＞0时双曲线的焦点坐标为(±eq \r(m＋n)，0)，当m＜n＜0时双曲线的焦点坐标为(0，±eq \r(－m－n))，
A：显然m＜n＜0不合要求，此时m＞n＞0，则椭圆焦点为(±eq \r(m＋n)，0)，符合要求；
B：显然m＜n＜0不合要求，此时m＞n＞0，则椭圆焦点为(0，±eq \r(m＋n))，不合要求；
C：显然m＞n＞0不合要求，此时m＜n＜0，则椭圆焦点为(±eq \r(－m－n)，0)，不合要求；
D：显然m＞n＞0不合要求，此时m＜n＜0，则椭圆焦点为(0，±eq \r(－m－n))，符合要求．
答案：AD
10．解析：由题意知：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦距为2c＝10，∴a2＋b2＝c2＝25，
∵|OM|＝eq \r(a2＋b2)＝5＝|OF1|＝|OF2|，∴MF1⊥MF2.
∵4|MF1|＝3|MF2|，不妨设|MF1|＝3k，|MF2|＝4k，
由双曲线的定义可得：|MF2|－|MF1|＝k＝2a，∴|MF1|＝6a，|MF2|＝8a，
由勾股定理可得：|MF1|2＋|MF2|2＝(6a)2＋(8a)2＝100a2＝|F1F2|2＝100，解得：a2＝1，∴b2＝24，双曲线方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
答案：C
11．解析：由双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1可得a＝1，
由双曲线的定义可得：|AF1|－|AF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝4，
所以△F1AF2的面积为eq \f(1,2)·|AF1|·|AF2|·sin45°＝eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
因为|BF1|＝|BF2|＋2a＝2＋|BF2|，|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝|BF2|＋2，
所以|BF1|＝|AB|，所以△ABF1是等腰直角三角形，所以|BF1|＝|AB|＝eq \f(\r(2),2)|AF1|＝2eq \r(2)，
所以△F1AB的面积为eq \f(1,2)|BF1|·|AB|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
答案：2eq \r(2) 4
12．解析：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝eq \f(y,x＋a)，kAC＝eq \f(y,x－a).由题意，得eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝m，即eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,ma2)＝1(y≠0).当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m