人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线习题，共6页。
1．已知点(1，1)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，则C的焦点到其准线的距离为( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,2)
C．1D．2
2．顶点在原点，准线方程为x＝eq \f(3,4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)xB．y2＝－eq \f(3,2)x
C．y2＝3xD．y2＝－3x
3．已知抛物线x2＝4y上一点M与焦点间的距离是3，则点M的纵坐标为( )
A．1B．2
C．3D．4
4．如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，那么水下降1m后，水面宽为( )
A．2eq \r(2)mB．2eq \r(3)m
C．2eq \r(5)mD．2eq \r(6)m
5．(多选)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．焦点坐标为(0，1)
B．焦点坐标为(0，eq \f(1,16))
C．准线方程为y＝－eq \f(1,16)
D．准线方程为y＝－1
6．已知某抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点(6，6)，则该抛物线的标准方程是________．
7．已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的焦点F与椭圆W：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,24)＝1的右焦点重合．
(1)求椭圆W的离心率；
(2)求抛物线C的方程；
(3)设A是抛物线C上一点，且|AF|＝6，求点A的坐标．
[提能力]
9.
如图，公园里的一条顶点为O的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为a，b(a0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则( )
A．p＝1
B．准线方程为x＝－1
C．当|QF|＝4时△QOF的面积为eq \r(3)
D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点Q到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2
11．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，C上的一点M在l上的射影为N，已知线段FN的垂直平分线方程为x－eq \r(3)y＋3＝0，则p＝________；|MF|＝________．
12．花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，点P距抛物
线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m)
[培优生]
13．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2，1)，B(－2，4)，点P是满足λ＝eq \f(1,2)的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为__________________；若点Q为抛物线E：y2＝4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则eq \f(1,2)|PB|＋|PQ|＋|QH|的最小值为________．
课时作业(二十八) 抛物线及其标准方程
1．解析：由点(1，1)在抛物线上，易知1＝2p，p＝eq \f(1,2)，故焦点到其准线的距离为eq \f(1,2).
答案：B
2．解析：由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)，所以p＝eq \f(3,2)，所以抛物线的标准方程为y2＝－3x.
答案：D
3．解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0，1)，准线方程为y＝－1，
因为抛物线x2＝4y上一点M与焦点间的距离是3，
所以yM＋1＝3，得yM＝2，即点M的纵坐标为2.
答案：B
4．解析：
如图，以拱顶为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，则该拋物线方程为x2＝－2py(p>0)，依题意点M(2，－2)在其上，所以4＝－2p×(－2)，p＝1，拋物线方程为x2＝－2y.设N(x0，－3)，则x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝－2·(－3)，|x0|＝eq \r(6)，所以水面宽为2eq \r(6)m.
答案：D
5．解析：由y＝4x2，得x2＝eq \f(1,4)y，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq \f(1,16).
答案：BC
6．解析：因为点(6，6)位于第一象限，所以抛物线的开口向右或者开口向上，所以不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px或x2＝2py(p>0)，
将点(6，6)分别代入上述方程均得到p＝3，
所以抛物线的标准方程是y2＝6x或x2＝6y.
答案：y2＝6x或x2＝6y
7．解析：由题意，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线l：4x－3y＋11＝0的垂线，此时d1＋d2取得最小值，
由点到直线的距离公式可得eq \f(|4×1＋11|,\r(42＋（－3）2))＝3，
即d1＋d2的最小值为3.
答案：3
8．解析：(1)由题意可知，a＝5，c＝eq \r(25－24)＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,5).
(2)椭圆W：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,24)＝1的右焦点为(1，0)，
故抛物线C的焦点F为(1，0).
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(3)设A的坐标为(x0，y0)，|AF|＝x0＋1＝6，解得x0＝5，y0＝±2eq \r(5).
故A的坐标为(5，±2eq \r(5)).
9．解析：由题以抛物线的顶点为原点，建立如图坐标系，
可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b，b))，设抛物线方程为y2＝2px，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝pa,b2＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b))))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＝\r(2)－1,a＝p))，
得eq \f(b,a)＝eq \r(2)＋1.
答案：D
10．解析：Q到焦点的距离等于Q到准线的距离，Q到焦点距离最小时，Q到准线的距离最小，
即Q为原点时，Q到焦点的距离最小为1，也即eq \f(p,2)＝1，p＝2，抛物线的准线方程为x＝－1，A选项错误，B选项正确．
抛物线方程为y2＝4x，
对于C选项，|QF|＝4，
则xQ＝3，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(Q)) ＝4×3＝12，
|yQ|＝2eq \r(3)，
S△QOF＝eq \f(1,2)×|OF|×|yQ|＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(3)＝eq \r(3)，C选项正确．
对于D选项，直线l2为抛物线的准线，所以Q到l2的距离等于Q到焦点F的距离．
所以Q到直线l2和直线l1的距离之和的最小值为“F到直线l1的距离”，焦点F(1，0)，则最小值为eq \f(|4＋6|,\r(42＋（－3）2))＝2，D选项正确．
答案：BCD
11．解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线l：x＝－eq \f(p,2)，设点M(x0，y0)，则Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，y0))，
线段FN的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y0,2)))，由抛物线定义知：|MN|＝|MF|，即点M在线段FN的垂直平分线上，
因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(3)·\f(y0,2)＋3＝0,x0－\r(3)y0＋3＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3,y0＝2\r(3)))，而y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝2px0，则有p＝2，|MF|＝x0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)))＝4，所以p＝2，|MF|＝4.
答案：2 4
12．解析：
如图所示，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).
依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝eq \f(1,2).
故得抛物线方程为x2＝－y.
又点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝eq \r(2)，
即|AB|＝eq \r(2)m，
则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝(eq \r(2)＋1) m，
因此所求水池的直径为2(1＋eq \r(2)) m，约为5m，
即水池的直径至少应设计为5m．
13．解析：设点P(x，y)，∵λ＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2)⇒eq \f(\r(（x＋2）2＋（y－1）2),\r(（x＋2）2＋（y－4）2))＝eq \f(1,2)⇒(x＋2)2＋y2＝4.
抛物线的焦点为点F，由题意知F(1，0)，|QH|＝|QF|－1，
∵|PA|＝eq \f(1,2)|PB|，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|PB|＋|PQ|＋|QH|))eq \s\d7(min)＝(|PA|＋|PQ|＋|QF|－1)min＝|AF|－1＝eq \r(（－2－1）2＋12)－1＝eq \r(10)－1.
答案：(x＋2)2＋y2＝4 eq \r(10)－1