数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精练

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精练，共7页。
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离B．相切
C．相交D．相切或相交
2．加斯帕尔·蒙日(图1)是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图2).则椭圆C：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的蒙日圆的半径为( )
A．3B．4
C．5D．6
3．已知斜率为1的直线l过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.eq \f(20,7)B．eq \f(22,7)
C．eq \f(24,7)D．eq \f(26,7)
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的上下顶点分别为A，B，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C交于D点，则直线BD的斜率kBD为( )
A．eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(\r(5),2)D．eq \f(3,2)
5．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，短轴长等于2，焦距为2eq \r(3)，过焦点F1作x轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1
B．椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),4)
C．|PQ|＝eq \f(1,2)
D．|PF2|＝eq \f(7,2)
6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋eq \r(3)y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
7．已知椭圆方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，则以A(1，1)为中点的弦MN所在的直线方程为________．
8．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－eq \f(1,4).
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线y＝eq \f(1,2)(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，|AB|＝eq \f(\r(35),2)，求椭圆C的标准方程．
[提能力]
9．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的点P到直线x＋2y－9＝0的最短距离为( )
A．eq \r(5)B．eq \f(7\r(5),5)
C．eq \f(9\r(5),5)D．eq \f(13\r(5),5)
10．(多选)已知A，B，C是椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上三点，且A(A在第一象限)，B关于原点对称，AB⊥AC，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为－eq \f(1,2)，则( )
A．椭圆M的离心率为eq \f(\r(2),2)
B．椭圆M的离心率为eq \f(1,4)
C．eq \f(|AE|,|AD|)＝eq \f(1,2)
D．eq \f(|AE|,|AD|)＝eq \f(1,3)
11．如图，已知椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1的左右顶点分别为A、B，点P是圆O：x2＋y2＝8上不同于A、B两点的一动点，直线PB与椭圆交于点Q，则直线QA与直线QB的斜率之积kQA·kQB＝________，若已知直线PA的斜率kPA＝eq \f(3,2)，则直线QA的斜率kQA＝________．
12．平面直角坐标系xOy中，点F1(－1，0)，F2(1，0)，点M满足|MF1|＋|MF2|＝2eq \r(2).记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|·|BF1|＝eq \f(11,4)，求|AB|.
[培优生]
13．已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(3,4)
C．eq \f(3,5)D．eq \f(5,7)
课时作业(二十四) 直线与椭圆的位置关系
1．解析：把x＋y－3＝0代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，得eq \f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－642)，
与直线方程x＋eq \r(3)y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8eq \r(3)(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝eq \r(7)，
所以椭圆的长轴长为2eq \r(7).
答案：2eq \r(7)
7．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)＝1 ①
eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＝1 ②
①－②得eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,9)＝－eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)，
所以k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(4（x1＋x2）,9（y1＋y2）)＝－eq \f(4×2,9×2)＝－eq \f(4,9).
所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(4,9)(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
答案：4x＋9y－13＝0
8．解析：(1)由题意可知，椭圆上顶点的坐标为(0，b)，左右顶点的坐标分别为(－a，0)、(a，0)，
∴eq \f(b,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))＝－eq \f(1,4)，即a2＝4b2，则a＝2b.
又a2＝b2＋c2，∴c＝eq \r(3)b，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1,y＝\f(1,2)（x＋1）))得：2x2＋2x＋1－4b2＝0，
∴Δ＝32b2－4＞0，x1＋x2＝－1，x1x2＝eq \f(1－4b2,2)，
∴|AB|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))|x1－x2|＝eq \f(\r(5),2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(\r(5),2)eq \r(8b2－1)＝eq \f(\r(35),2)，
解得eq \r(8b2－1)＝eq \r(7)，∴b2＝1，满足Δ＞0，
∴a2＝4，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
9．解析：设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为x＋2y＋b＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＋b＝0，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2y＝x＋b，,3x2＋4y2＝12，))⇒4x2＋2bx＋b2－12＝0，所以Δ＝(2b)2－4×4(b2－12)＝0⇒b＝±4,
所以椭圆上点P到直线x＋2y－9＝0的最短距离为d＝eq \f(|－9－（－4）|,\r(12＋22))＝eq \r(5).
答案：A
10．解析：设A(x0，y0)，C(x1，y1)，E(x0，m)，则B(－x0，－y0)，
eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,a2)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2)＝1，eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1，两式相减并化简得－eq \f(b2,a2)＝eq \f(y1－（－y0）,x1－（－x0）)·eq \f(y1－y0,x1－x0)，即kCA·kCB＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)，则A正确；∵kAB＝eq \f(y0,x0)，AB⊥AC，∴kCA＝－eq \f(x0,y0)，又∵kCA·kCB＝－eq \f(1,2)，∴kCB＝eq \f(y0,2x0)，即kCB＝kEB＝eq \f(m＋y0,2x0)＝eq \f(y0,2x0)，解得m＝0，则点E在x轴上，且为AD的中点，即eq \f(|AE|,|AD|)＝eq \f(1,2)，则C正确．
答案：AC
11．解析：设Q(x，y)，A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)，
∴kQA·kQB＝eq \f(y,x＋2\r(2))·eq \f(y,x－2\r(2))＝eq \f(y2,x2－8)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,8))),x2－8)＝－eq \f(1,2)；
∵点P在圆O：x2＋y2＝8上，∴kPA·kPB＝－1⇔kPA·kQB＝－1，
又kQA·kQB＝－eq \f(1,2).
∴eq \f(kPA,kQA)＝2⇒kQA＝eq \f(\f(3,2),2)＝eq \f(3,4).
答案：－eq \f(1,2) eq \f(3,4)
12．解析：(1)因为|F1F2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2eq \r(2)＞|F1F2|，
所以C是以点F1，F2为左右焦点的椭圆．
于是a＝eq \r(2)，c＝1，故b＝1，因此C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)当l垂直于x轴时，|AF2|＝|BF2|＝eq \f(\r(2),2)，|AF1|·|BF1|＝eq \f(9,2)≠eq \f(11,4)，舍去．
当l不垂直于x轴时，可设l：y＝k(x－1)，
代入eq \f(x2,2)＋y2＝1可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
因为Δ＝8(1＋k2)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－2,1＋2k2).
因为－eq \r(2)≤x1≤eq \r(2)，
所以|AF1|＝eq \r(（x1＋1）2＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＝eq \r(（x1＋1）2＋1－\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2))＝eq \f(\r(2),2)(x1＋2).
同理|BF1|＝eq \f(\r(2),2)(x2＋2).因此|AF1|·|BF1|＝eq \f(x1x2,2)＋x1＋x2＋2＝eq \f(1＋9k2,1＋2k2).
由eq \f(1＋9k2,1＋2k2)＝eq \f(11,4)可得k2＝eq \f(1,2)，x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)＝1，
于是|AF1|＋|BF1|＝eq \f(\r(2),2)(x1＋x2＋4)＝eq \f(5\r(2),2).
根据椭圆定义可知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4eq \r(2)，于是|AB|＝eq \f(3\r(2),2).
13．解析：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a－c)；(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a＋c)；(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a.综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c).∴由题意可得4a＝7×2(a－c)，即5a＝7c，得eq \f(c,a)＝eq \f(5,7).
∴椭圆的离心率为eq \f(5,7).