高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课堂检测

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课时跟踪检测（二十四）  双曲线及其标准方程1．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：选C　方程＋＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．2．已知双曲线－＝1上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为(　　)A．7  B．23C．5或25  D．7或23解析：选D　设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23.3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1   B．－＝1C．－y2＝1  D．x2－＝1解析：选C　由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.4．双曲线－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)A．  B．1C．2  D．4解析：选B　不妨设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为右支上一点，|PF1|－|PF2|＝2，         ①|PF1|＋|PF2|＝2，         ②由①②解得：|PF1|＝＋，|PF2|＝－，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|＝2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1.5．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为(　　)A．－＝1　　　　　　　　 B．－＝1C．－＝1   D．－＝1解析：选B　因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－＝1.6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是________．解析：由题意可设双曲线方程为－＝1，由中点坐标公式可得P(，4)，∴－＝1，解得a2＝1，∴该双曲线的方程是x2－＝1.答案：x2－＝18．若椭圆＋＝1和双曲线x2－＝1有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则|PF1|2＋|PF2|2的值是________. 解析：因为椭圆＋＝1和双曲线x2－＝1有相同的焦点F1，F2，设P在双曲线的右支上，利用椭圆以及双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2×4＝8，                                                        ①|PF1|－|PF2|＝2×1＝2，         ②联立①②得|PF1|＝5，|PF2|＝3.所以|PF1|2＋|PF2|2＝34.答案：349．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.10．△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆的焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．1．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)A．m－s   B．(m－s)C．m2－s2   D．－解析：选A　如图所示，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则∴4xy＝4(m－s)．∴xy＝m－s.2．[多选]关于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，m∈R所表示的曲线C的形状，下列说法正确的是(　　)A．∀m∈(1,3)，曲线C为一个椭圆B．∀m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)，曲线C是双曲线C．∀m∈R，曲线C一定不是直线D．∃m∈(1,3)使曲线C不是椭圆解析：选BD　对于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)·(3－m)，①当m＝1时，方程为2y2＝0，即y＝0，表示x轴；②当m＝3时，方程为2x2＝0，即x＝0，表示y轴；③当m≠1，且m≠3时，方程为＋＝1，若3－m＝m－1，即m＝2，则方程为x2＋y2＝1，表示一个单位圆；若(3－m)(m－1)<0，即m>3或m<1，则方程表示双曲线；若(3－m)(m－1)>0且3－m≠m－1，即1<m<3，且m≠2，则方程表示椭圆．综上可得，当m＝1或m＝3时，方程表示直线；当m＝2时，方程表示圆；当1<m<3且m≠2时，方程表示椭圆；当m>3或m<1时，方程表示双曲线．结合选项可知选B、D.3．若F1，F2是双曲线C：x2－＝1(y≠0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝______，△PF1F2的面积S△PF1F2＝_______. 解析：根据双曲线的定义，若|PF1|＝6，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2⇒|PF2|＝4或8，因为y≠0，而只有当P点落在x轴上时才会有|PF2|＝4，故舍掉．所以|PF2|＝8.因为三角形PF1F2是直角三角形，故S△PF1F2＝×6×8＝24.答案：8　244．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．解： 如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2). 由题意知|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x，y)，因为kBC＝－，BC中点D(－4，)，所以直线lPD：y－＝(x＋4)．          ①又|PB|－|PA|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线右支上．则双曲线方程为－＝1(x≥2)．          ②联立①②两式，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为(8,5)．因此kPA＝＝. 故炮击的方向角为北偏东30°.5.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时不等式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.