人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课后测评

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课后测评，共6页。
1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2eq \r(5))在抛物线上，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2xB．y2＝－4x
C．y2＝2xD．y2＝4x
2．已知抛物线C：y＝x2，过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有( )条
A．0B．1
C．2D．3
3．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,6)D．eq \f(1,8)
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(12,5)xB．y2＝eq \f(24,5)x
C．y2＝12xD．y2＝6x
5．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝－8x
C．x2＝8yD．x2＝－8y
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＝5，则|AB|＝________．
8．已知抛物线E关于x轴对称，并且经过点(1，－2).
(1)求抛物线E的标准方程，并写出该抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若经过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线E于A、B两点，求|AB|.
[提能力]
9．若正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是( )
A．48eq \r(3)B．24eq \r(3)
C．eq \f(16\r(3),9)D．46eq \r(3)
10．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为eq \r(3)且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝2
11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于点A、B，线段AB的中点M的纵坐标为1，则直线AB的斜率k为________；线段AB的长度为________．
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的横坐标等于椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1的离心率．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[培优生]
13．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝6xD．y2＝12x
课时作业(二十九) 抛物线的简单几何性质(1)
1．解析：根据题意设出抛物线的方程y2＝mx(m≠0)，
因为点(－5，2eq \r(5))在抛物线上，所以有20＝－5m，解得m＝－4，
所以抛物线的方程是：y2＝－4x.
答案：B
2．解析：抛物线C：y＝x2的对称轴为y轴，直线x＝1过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，
设过点P(1，0)与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y＝x2))消去y并整理得：
x2－kx＋k＝0，则Δ＝k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4，
因此，过点P(1，0)与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，所以过点P(1，0)与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条．
答案：D
3．解析：线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
答案：A
4．解析：因为直线l的方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，即y＝2x－p，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝2x－p，))消去y，
得4x2－6px＋p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(3p,2)，
又因为弦AB的中点到抛物线的准线的距离为3，所以|AB|＝6，
而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，
故eq \f(3p,2)＝6－p，解得p＝eq \f(12,5)，所以抛物线的方程为y2＝eq \f(24,5)x.
答案：B
5．解析：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
依题意得y＝eq \f(p,2)，代入x2＝2py，或y＝－eq \f(p,2)代入x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4，
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
答案：CD
6．解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
答案：0或1
7．解析：由题意可得F(1，0)，设A(m，n)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1＝5,n2＝4m))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4,n＝±4))，
由抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，即A(4，4)，
则直线l的方程为4x－3y－4＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y－4＝0,y2＝4x))，
整理得y2－3y－4＝0，
解得y＝－1或y＝4，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1))，
故|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(1,4)＋4＋2＝eq \f(25,4).
答案：eq \f(25,4)
8．解析：(1)因抛物线E关于x轴对称，则设抛物线E的方程为y2＝2px(p≠0)，
依题意，(－2)2＝2p×1，解得p＝2，
所以抛物线E的标准方程为：y2＝4x，其焦点(1，0)，准线方程x＝－1.
(2)由(1)知，直线l的方程为：y＝eq \r(3)(x－1)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x－1），,y2＝4x))消去y并整理得：3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝eq \f(1,3)，x2＝3，即点A、B的横坐标为eq \f(1,3)，3，所以|AB|＝eq \r(1＋（\r(3)）2)·|x1－x2|＝eq \f(16,3).
9．解析：设三角形其中一个顶点为(x，2eq \r(x))，
因为三角形是正三角形，
所以eq \f(2\r(x),x)＝tan30°＝eq \f(\r(3),3)，即eq \f(4,x)＝eq \f(1,3)，
解得x＝12，
所以三角形的两个顶点为(12，4eq \r(3))，(12，－4eq \r(3))，
所以三角形的面积为
S＝eq \f(1,2)×12×(4eq \r(3)＋4eq \r(3))＝48eq \r(3).
答案：A
10．解析：因为直线l的斜率为eq \r(3)，且|AF|＝4，所以A的纵坐标为2eq \r(3)，横坐标为2＋eq \f(p,2)，所以(2eq \r(3))2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(p,2)))，因为p>0，解得p＝2，故A正确；因为F(1，0)，所以直线l：y＝eq \r(3)x－eq \r(3)，令x＝－1，所以y＝－2eq \r(3)，则D(－1，－2eq \r(3))，又因为A(3，2eq \r(3))，则AD的中点为(1，0)即为F(1，0)，故B正确；
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝\r(3)x－\r(3)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝2\r(3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3),y＝－\f(2\r(3),3)))，即A(3，2eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2\r(3),3)))，则|BD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(3)＋\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(8,3)，|BF|＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3)，因此|BD|＝2|BF|，故C正确；D错误．
答案：ABC
11．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，若k＝0，则直线l与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，k≠0，则直线l的方程为y＝k(x－1).
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，联立直线与抛物线方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))
可得y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,4)－1))，即ky2－4y－4k＝0，
则y1＋y2＝eq \f(4,k)＝2，
∴k＝2，则直线l的方程为y＝2(x－1)，
联立直线与抛物线方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2（x－1），,y2＝4x，))
消去y得x2－3x＋1＝0，
∴x1＋x2＝3，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝5.
答案：2 5
12．解析：(1)由椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1，可得
e＝eq \r(1－\f(15,16))＝eq \f(1,4)，故Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
(2)由题可设直线l的方程为x＝my＋1，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1,y2＝x))，得y2－my－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝（－m）2＋4>0,y1y2＝－1))，
又y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝x1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝x2，故x1x2＝y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝1，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－1＋1＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，即OA⊥OB，
故原点在以线段AB为直径的圆上．
13．解析：
根据题意，过A作AN垂直于准线，垂足为N，过B作BH垂直于准线，垂足为H，如图所示：
因为|BC|＝3|BF|，|BF|＝|BH|，
又MF∥BH，|MF|＝p，
则cs∠HBC＝eq \f(1,3)＝cs∠MFC＝eq \f(|MF|,|CF|)＝eq \f(p,|CF|)，
故可得|CF|＝3p，
又△CAN∽△CFM，|AF|＝|AN|＝3，
则eq \f(|MF|,|AN|)＝eq \f(|CF|,|CF|＋|FA|)，
即eq \f(p,3)＝eq \f(3p,3p＋3)，解得p＝2，
故抛物线方程为：y2＝4x.
答案：B