数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品第1课时学案

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学习目标
1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．
2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
重点难点
重点：掌握双曲线的简单几何性质
难点：理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．
课前预习 自主梳理
预习课本P121～126，思考并完成以下问题
1．双曲线有哪些几何性质？
2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？
3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？
知识点一 双曲线的几何性质
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的形状相同．( )
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( )
(3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．( )
(4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( )
2.已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
3.双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且线段的中点在另一条渐近线上．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
5.双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（ ）
A．8B．4C．2D．8
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：(1)双曲线的标准方程是什么？（2）前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？
类比椭圆的几何性质的研究，
你认为应该研究双曲线 ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？
探究1：类比椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的几何性质，
借助eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)探讨双曲线几何性质。
探究要求：要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲。
设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评。
活动成果：
（1）
（2）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)。
（3）线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长。

环节二 观察分析，感知概念
1．范围
问题2：观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？
类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是(图3.2-7)．
下面利用双曲线的方程求出它的范围．
由方程①可得
，
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即
，．
所以或，．
这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域．
2．对称性
问题3：观察双曲线的形状，你能从图上看出双曲线具有怎样的对称性？哪些点比较特殊？
类比研究椭圆对称性的方法容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
顶点
问题4：什么是双曲线的顶点？
类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，．因为轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．
问题5：双曲线的对称轴与双曲线有几个交点？这说明它有几个顶点？这与椭圆有何异同？
令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把，两点画在轴上（图3.2-8)．
线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长．
环节三 抽象概括，形成概念
渐近线
探究2:渐近线的发现与论证。
利用信息技术画出双曲线和两条直线（图3.2-9）．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？
可以发现，点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于0．
实际上，经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形（图3.2-8)，矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交．
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
结论：双曲线的渐近线方程为，即；
双曲线的渐近线方程为，即．
方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0，反过来，若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为．
在双曲线中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
探究过程：（1）借助几何画板，感性认识一个具体的双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1与直线 eq \f(x,3)－eq \f(y,2)＝0的渐近特性；
（2）理论推导双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与直线eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0的位置关系，并直观演示两者无限接近，但永不相交的特性。
设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合教师的启发诱导，说明双曲线上的点越来越接近于直线y＝eq \f(b,a)x；采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征。
活动成果：（1）双曲线的渐近线的定义。
（2）双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0。
（3）画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。
环节四 辨析理解 深化概念
离心率
探究3：离心率的几何意义。
探究过程：借助几何画板感性认识渐近线、e、双曲线张口关系并证明。
设计意图：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识。
活动成果：e越大，开口就越大。
学生独立完成焦点在y轴上的双曲线的几何性质、完善表格：
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率．因为，所以双曲线的离心率．
问题6：观察图，我们发现，不同双曲线的开阔程度不同，你能用适当的量定量刻画双曲线的开阔程度吗？
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？
双曲线的离心率，离心率越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口”越大．
环节五 概念应用，巩固内化
例3求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．
解：
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第124页 练习 第1，2，3,4题
第126页 练习 第1，2，3题
第127页 习题3.2 第3,4,8,9,13题
备用练习
1.已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
2.若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
3.已知双曲线，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
4.双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1( ,0)，F2( ,0)
F1(0， )，F2(0， )
焦距
|F1F2|＝
范围
x≤ 或 x≥ ，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤ 或 y≥ ，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴： ；对称中心：
顶点
A1( ,0)，A2( ,0)
A1(0， )，A2(0， )
轴
实轴：线段 ，长：eq \a\vs4\al(2a)；
虚轴：线段 ，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈( )
渐近线
y＝
y＝
椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
x≥a或x≤－a，y∈R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，0e＝eq \f(c,a)，e>1
图形
方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
离心率
e＝eq \f(c,a)(e>1)
e＝eq \f(c,a)(e>1)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x