数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课时练习
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双曲线专题
一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）
- 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A. B. C. D.
- 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
- 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得弦长为2，则C的离心率为
A. 2 B. C. D.
- 已知双曲线C： 的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A. B. C. D.
- 已知，是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A. B. 4 C. D.
- 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
A. B. C. 3 D. 2
二、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知双曲线C：及直线l：．
若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．
- 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为．
求双曲线C的方程；
若直线l：与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
在的条件下，线段AB的垂直平分线与y轴交于，求m的取值范围．
- 已知曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
求曲线C的方程；
当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值；
若作出直线，使点R在直线m上的射影S满足当点P在曲线C上运动时，求t的取值范围【参考公式：若为双曲线右支上的点，F为右焦点，则为离心率】
- 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ若直线l：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且l与的两个交点A和B满足其中O为原点，求k的取值范围．
- 已知双曲线的两条渐近线分别为．
求双曲线E的离心率；
如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线于两点B分别在第一，四象限，且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由。
双曲线专题
一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）
- 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：双曲线两焦点间的距离为4，，
当焦点在x轴上时，
可得：，解得：，
方程表示双曲线，
，可得：，
解得：，即n的取值范围是：．
当焦点在y轴上时，
可得：，解得：，
无解．
故选：A．
由已知可得，利用，解得，又，从而可求n的取值范围．
本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
- 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件根据题意，由双曲线的标准方程分析可得方程表示双曲线时m的取值范围，进而由充分必要条件的定义分析可得答案
【解答】
解：根据题意，方程表示双曲线，
则有，
解可得，
要求方程表示双曲线的一个充分不必要条件，
即要求的是的真子集；
依次分析选项：A符合条件，
故选A．
- 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得弦长为2，则C的离心率为
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，点到线的距离公式的应用，考查计算能力．
通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：不妨设双曲线C：的一条渐近线为：，
圆的圆心，半径为2，
双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：，
解得：，可得，即．
故选A．
- 已知双曲线C： 的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
解：椭圆的焦点坐标，
则双曲线的焦点坐标为，可得，
双曲线C：的一条渐近线方程为，
可得，即，可得，解得，，
所求的双曲线方程为：．
故选：B．
- 已知，是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】解：因为为等边三角形，不妨设，
A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则，，，
由，则，
在中应用余弦定理得：，
得，则．
故选：A．
由双曲线的定义，可得，，，，再在中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
- 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
A. B. C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键，难度较大．
根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【解答】
解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为，，半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，，，
椭圆和双曲线的离心率分别为，，
，
由余弦定理可得，
在椭圆中，化简为即，
即，
在双曲线中，化简为即，
即，
联立得，，
由柯西不等式得，
即，
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，，，
椭圆和双曲线的离心率分别为，
，
由余弦定理可得，
由，得，
，
令，
当时，，
，
即的最大值为，
法3：设，，则，
则，
则，
由正弦定理得，
即．
故选A．
二、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知双曲线C：及直线l：．
若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求AB的长．
【答案】解：由得，
双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程有两个不同的实数根，
，解得且．
所以若C与l有两个不同交点，k的取值范围是
设交点，，
由得，即，
解得：．
且
．
【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
联立直线与双曲线方程，利用方程有两解，求出k的范围．
设交点，，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
- 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为．
求双曲线C的方程；
若直线l：与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
在的条件下，线段AB的垂直平分线与y轴交于，求m的取值范围．
【答案】解：设双曲线方程为．
由已知得：，，再由，
，
双曲线方程为；
设，，将代入，得
由题意知
解得．
当时，l 与双曲线左支有两个交点
由得：，
，
的中点P的坐标为
设直线的方程为：，
将P点坐标代入直线的方程，得．
，
所以m的取值范围是．
【解析】本题主要考查了双曲线的标准方程以及直线与双曲线的关系考查了学生综合分析问题和运算的能力，是难题．
设出双曲线的标准方程，由已知得a和c的值，进而求得b，则双曲线方程可得；
设，，把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据判别式和韦达定理求得k的范围即可；
利用根与系数的关系以及中点坐标公式，和P点在直线上，得出关于k的不等式，求解即可．
- 已知曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
求曲线C的方程；
当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值；
若作出直线，使点R在直线m上的射影S满足当点P在曲线C上运动时，求t的取值范围【参考公式：若为双曲线右支上的点，F为右焦点，则为离心率】
【答案】解：设双曲线的方程为，
由题意可得，，
由，解得，，，
即有曲线C的方程是；
由知，曲线C的右焦点F的坐标为，若弦PQ的斜率存在，
则弦PQ的方程为：，代入双曲线方程得：
，
设点， ，，
由，可得，显然成立；
，，
解得，
点R到y轴距离：，
而当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离为．
所以点R到y轴距离的最小值为2．
点R在直线m上的射影S满足，，
到直线m：的距离为
由焦半径公式，
可得
将代入，得：，
，且，
．
【解析】设双曲线的方程为，运用离心率公式和渐近线方程、结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求方程；
设PQ的方程代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合不等式的解法和性质，即可得到所求最小值；
运用向量垂直的条件和双曲线的焦半径公式，解方程和不等式，即可得到所求范围．
本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线的方程联立，韦达定理和中点坐标公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
- 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ若直线l：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且l与的两个交点A和B满足其中O为原点，求k的取值范围．
【答案】解：Ⅰ设双曲线的方程为，则，再由得．
故C的方程为．
将代入得
由直线l与椭圆恒有两个不同的交点得，
即
将代入得．
由直线l与双曲线恒有两个不同的交点A，B得
即且
设，则，．
由得，
而
．
于是，即．
解此不等式得或
由、、得或．
故k的取值范围为．
【解析】Ⅰ设出双曲线的标准方程，然后结合椭圆的顶点与焦点易得双曲线的焦点与顶点，即求得双曲线的c与a，再由求得，则双曲线方程解决；
Ⅱ把直线方程分别与椭圆方程、双曲线方程联立，不妨消y得x的方程，则它们均为一元二次方程且判别式大于零，由此得出k的取值范围；再结合一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出，，进而把转化为k的不等式，求出k的又一取值范围，最后求k的交集即可．
- 已知双曲线的两条渐近线分别为．
求双曲线E的离心率；
如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线于两点B分别在第一，四象限，且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由。
【答案】解：因为双曲线E的渐近线分别为：，：，
所以．
所以．
故，
从而双曲线E的离心率．
由知，双曲线E的方程为．
设直线l与x轴相交于点C，
当轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则，，
所以，
因此，解得，此时双曲线E的方程为．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为也满足条件．
设直线l的方程为，依题意，得或；
则，记，，
由得，同理得，
由得：
，即．
由得：，
因为，
所以，
又因为，
所以，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为．
【解析】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．
依题意，可知，易知，从而可求双曲线E的离心率；
由知，双曲线E的方程为，设直线l与x轴相交于点C，分轴与直线l不与x轴垂直讨论，当轴时，易求双曲线E的方程当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为，与双曲线E的方程联立，利用由可证得：双曲线E的方程为，从而可得答案．
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