人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品第2课时学案设计

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2.了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3.根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
重点难点
1.理解直线与双曲线的位置关系(重点).
2.会求解有关弦长问题(难点)．
课前预习 自主梳理
双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．
等轴双曲线
(1) 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为_x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝eq \r(2).
∴|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \f(2,3)eq \r(102).
【类题通法】1.直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
2.求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1(a＞0)．
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝eq \r(2).
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.
双曲线的几何性质
【点睛】
1．渐近线是标志双曲线位置的一个量，它确定着双曲线张口的大小．随着x越来越大或x越来越小，双曲线与渐近线的距离越来越小，趋近于0，但是永远不会相交．
2．双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．
问题2 如图所示，已知定点B(a,−ℎ)，BC⊥x于点C, M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E, OE与MD相交于点P, 求点P的轨迹方程.
【师生活动】
1．双曲线有哪些几何性质？


2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？


3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？

自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条．( )
(2)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．( )
(3)当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切．( )
(4)直线与双曲线有相交、相切、相离三种位置关系．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
【解析】 (1)错误．过A(1,0)作直线l与双曲线只有一个公共点，这样的直线可作3条．两条平行于渐近线，一条与双曲线相切．
(2)正确．计算可知，直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点，分别是(eq \r(2)，eq \r(2))和(－eq \r(2)，－eq \r(2))．
(3)正确．当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线可能相交．
(4)正确．通过画图易知直线和双曲线只有相交、相切、相离三种位置关系．
2.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.
【详解】双曲线的焦点为，离心率，
故椭圆的焦点为，离心率，即.
解得，故椭圆标准方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
3.已知双曲线的一条渐近线斜率大于1,则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线标准方程的概念和渐近线的公式，可得答案.
【详解】是双曲线，，
又的一条渐近线斜率大于1，，得，
故选：B.
4.设，分别为双曲线的左､右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可得，化简得到，代入公式，即可得到答案；
【详解】，
，
，，
故选：A.
5.双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】∵（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），
双曲线的两条渐近线方程为yx，yx，
∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．
∵，
∴点P是线段F1Q的中点，且PF1⊥OP，
∴过F1的直线PQ的斜率kPQ，
∴过F1的直线PQ的方程为：y（x+c），
解方程组，得P（，），
∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a，
∵tan∠QOF2，∴cs∠QOF2，
由余弦定理，得cs∠QOF21，
即e2﹣e﹣2＝0，
解得e＝2，或e＝﹣1（舍）
故选：C．
点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要对向量的基本定理理解的特别透彻，从而确定出有关中点的结论，之后借助于等腰三角形的特征，得到倾斜角的大小，之后得到其系数的关系，从而求得结果.
新课导学
学习探究
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题．
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)．
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，．
设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为，
因为直径是实轴，所以，又，两点都在双曲线上，所以
由方程②得（负值舍去）．代入方程①得
，
化简得
③
解方程③得
（负值舍去）
因此所求双曲线得方程为．
环节二 观察分析，感知概念
例5动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．
解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合
．
由此得
．
将上式两边平方，并化简得
．
即
．
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线（图3.2-11）．
环节三 抽象概括，形成概念
思考
将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？
若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，
则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义．
环节四 辨析理解 深化概念（弦长问题）
例6如图3.2-12，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求．
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，，所以直线的方程为
①
由，消去，得
．
解方程得，．
将，的值分别代入①得，，，
于是，，两点的坐标分别为，．
所以．
规律总结
双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
环节五 概念应用，巩固内化
例7 求证：双曲线的焦点到渐近线的距离为．
证明：双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离
．
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)双曲线的第二定义．
(2)判断直线与双曲线的位置关系．
(3)弦长公式及中点弦问题．
2．方法归纳：定义法、数形结合．
3．常见误区：
判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论．代数计算中的运算失误．
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第127页 习题3.2 第3,4,8,9,13题
备用练习
1.设点F是双曲线的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线两焦点间的距离的比为，则双曲线的渐近线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出点F到渐近线的距离，根据条件建立比例关系，可求出a、b的关系，进而可得到结论．
【详解】双曲线的一条渐近线为，即，
右焦点到渐近线的距离，
因为点F到渐近线的距离与双曲线两焦点间的距离的比为，所以，即，
所以，则，即，
故双曲线的渐近线方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据距离关系求出a，b的关系是解决本题的关键，属于基础题.
2.已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题解析：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2
∴ ，解得m=3n
对椭圆mx2+ny2=1可知，
∴
考点：本题考查求离心率
点评：解决本题的关键是利用基本性质，找出m与n的关系
3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，
因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，
则，
由椭圆和双曲线的定义可得，
两式相加得，两边同时除以得，
所以，
故选：B
4.已知双曲线C：，直线与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的焦距为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】求双曲线的渐近线，由条件求出坐标，根据条件求，再求双曲线的焦距.
【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，双曲线的半焦距为，
双曲线的渐近线为和，
不妨设直线与的交点为，则点的坐标为，
则直线与的交点为，则点的坐标为，
因为为等边三角形，，
所以，
所以，
所以双曲线C的焦距，
故选：D.

5.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上且位于第一象限内的一点，直线PO交双曲线C的左支于点A，直线交双曲线C的右支于另一点B，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义以及对称性可推得以及四边形时平行四边形，进而在 中利用余弦定理可得到a,c之间的关系式，求得答案.
【详解】由双曲线定义可知： ，而，
故，
由双曲线的对称性可知，而,
故四边形为平行四边形，故由得: ,
在 中，，
即，即 ，
则 ，
故选：B.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：x轴、y轴_ 对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率
e＝eq \f(c,a)且e＞1
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x