数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线复习练习题

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线复习练习题，共6页。
1．双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1的虚轴长为( )
A．eq \r(3)B．2eq \r(3)
C．3D．6
2．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1B．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,25)＝1
C．eq \f(y2,25)－eq \f(x2,16)＝1D．eq \f(y2,16)－eq \f(x2,25)＝1
3．若双曲线经过点 (6，eq \r(3))，且它的两条渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，则双曲线的离心率是( )
A.eq \f(\r(10),3)B．eq \f(10,3)
C．eq \r(10)D．10
4．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4
5．(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，则下列关于双曲线C的结论正确的是( )
A．实轴长为6
B．焦点坐标为(0，5)，(0，－5)
C．离心率为eq \f(5,3)
D．渐近线方程为3x±4y＝0
6．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1的一条渐近线为eq \r(3)x＋y＝0，则C的焦距为________．
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：2x＋y－3＝0平行，则双曲线C的离心率是________．
8．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝eq \r(5)，且过点M(－2，2eq \r(3)).
(1)求a，b的值；
(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(eq \r(3)，2eq \r(5))的双曲线的标准方程．
[提能力]
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，4] B．[4，＋∞)
C．(1，2] D．[2，＋∞)
10．(多选)已知双曲线eq \f(x2,3)－y2＝m2(m≠0)，则不因m的值改变而改变的是 ( )
A．焦距B．离心率
C．顶点坐标D．渐近线方程
11．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右焦点F2到一条渐近线的距离是eq \f(\r(5),2)a，则其离心率的值是________；若点P是双曲线C上一点，满足|PF1||PF2|＝12，|PF1|＋|PF2|＝8，则双曲线C的方程为________________．
12．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两条曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．
[培优生]
13．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后(F2，A，B在同一直线上)，满足AB⊥AD，∠ABC＝eq \f(3π,4)，则( )
A．eq \f(|AF2|,|BF2|)＝eq \r(2)＋1
B．eq \f(|AF2|,|BF2|)＝eq \r(2)－1
C．该双曲线的离心率的平方为5＋2eq \r(2)
D．该双曲线的离心率的平方为5－2eq \r(2)
课时作业(二十六) 双曲线的简单几何性质(1)
1．解析：因为b2＝9，所以b＝3，所以双曲线的虚轴长为2b＝6.
答案：D
2．解析：双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，
可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：eq \f(y2,16)－eq \f(x2,25)＝1.
答案：D
3．解析：双曲线经过点 (6，eq \r(3))，且它的两条渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，
设双曲线方程为：eq \f(x2,9)－y2＝λ(λ≠0)，(6，eq \r(3))代入得：eq \f(36,9)－3＝λ，λ＝1.所以双曲线方程为：eq \f(x2,9)－y2＝1.a＝3，b＝1，c＝eq \r(10).∴双曲线C的离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),3).
答案：A
4．解析；令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，
∴c＝4，a2＝b2＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)×16＝8.
答案：A
5．解析：双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，a＝3，b＝4，c＝eq \r(9＋16)＝5，焦点在x轴．
对选项A，实轴长为2a＝6，故A正确；
对选项B，焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，故B错误；
对选项C，离心率为eq \f(5,3)，故C正确；
对选项D，渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，即4x±3y＝0，故D错误．
答案：AC
6．解析：双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1的渐近线为y＝±eq \f(\r(3),a)x，
由于双曲线的一条渐近线为eq \r(3)x＋y＝0⇒y＝－eq \r(3)x，
故eq \f(\r(3),a)＝eq \r(3)⇒a＝1.
c2＝a2＋b2＝1＋3＝4⇒c＝2.
C的焦距为2c＝4.
答案：4
7．解析：由题意可得双曲线C的一条渐近线方程为y＝－eq \f(b,a)x，则－eq \f(b,a)＝－2，即eq \f(b,a)＝2，
则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)，
故双曲线C的离心率e＝eq \r(\f(b2,a2)＋1)＝eq \r(5).
答案：eq \r(5)
8．解析：(1)因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5)，所以b2＝4a2.
又因为点M(－2，2eq \r(3))在双曲线C上，所以eq \f(4,a2)－eq \f(12,b2)＝1.
联立上述方程，解得a2＝1，b2＝4，即a＝1，b＝2.
(2)设所求双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0)，
由双曲线经过点P(eq \r(3)，2eq \r(5))，得3－eq \f(20,4)＝λ，即λ＝－2.
所以双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝－2，其标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,2)＝1.
9．解析：因为|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
又|PF2|≥c－a，即a≥c－a，eq \f(c,a)≤2，所以离心率e∈(1，2].
答案：C
10．解析：∵双曲线eq \f(x2,3)－y2＝m2(m≠0)，
∴eq \f(x2,3m2)－eq \f(y2,m2)＝1，c＝2eq \r(m2)
该双曲线焦距为：4eq \r(m2)，
离心率为：eq \f(2\r(m2),\r(3m2))＝eq \f(2\r(3),3)，
顶点坐标为(eq \r(3m2)，0)和(－eq \r(3m2)，0)，
渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3)x,3)，
不因m的值改变而改变的是离心率与渐近线方程．
答案：BD
11．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即ay±bx＝0，
焦点到渐近线的距离d＝eq \f(|±bc|,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b＝eq \f(\r(5),2)a，
又a2＋b2＝c2，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)a))eq \s\up12(2)＝a2＋eq \f(5,4)a2＝eq \f(9,4)a2＝c2，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(9,4)，e∈(1，＋∞)，∴e＝eq \f(3,2).
双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a，即||PF1|－|PF2||＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|＝82－4×12＝16，即(2a)2＝4a2＝16，解得：a2＝4，由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(9,4)，解得：c2＝9，b2＝5.
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
答案：eq \f(3,2) eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
12．解析：(1)由题知c＝eq \r(13)，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))
解得a＝7，m＝3，则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2eq \r(13)，
所以cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(102＋42－（2\r(13)）2,2×10×4)＝eq \f(4,5).
13．解析：易知F1、A、D共线，F1、B、C共线，如图，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，则m－n＝2a.因为AB⊥AD，∠ABC＝eq \f(3π,4)，所以∠ABF1＝eq \f(π,4)，则|AB|＝m，则|BF2|＝|AB|－|AF2|＝m－n，|BF1|＝eq \r(2)m，又因为|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，所以m＝2eq \r(2)a，则n＝(2eq \r(2)－2)a，eq \f(|AF2|,|BF2|)＝eq \f(n,m－n)＝eq \r(2)－1.在△AF1F2中，m2＋n2＝(2c)2，即(20－8eq \r(2))a2＝4c2，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝5－2eq \r(2).
答案：BD