人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品第2课时导学案，共11页。学案主要包含了学习目标，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

3.2.2　第2课时 直线与双曲线的位置关系
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法．
2.会求直线和双曲线相交的弦长.
3.能够解决弦中点问题.
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【经典例题】
题型一 直线与双曲线的位置关系
点拨：直线与双曲线位置关系的判定方法
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，
1.在a≠0的情况下考查方程的判别式．
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
2.当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．　　　　
例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．







【跟踪训练】1若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，2)　　　　B．(1，2] C．(1，) D．(1，]

题型二 弦长问题
点拨：求弦长的两种方法
1.距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝·＝·|x1－x2|或
|AB|＝·＝·|y1－y2|.
注意：当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解．　　　
例2 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．






【跟踪训练】2 斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．
题型三 中点弦问题
点拨：中点弦问题解决方法
方法1：可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；
方法2：可以用点差法和中点坐标公式求解．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，
即kAB·＝.
例3 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为 ．


【跟踪训练】3 已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．


【当堂达标】
1.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　 　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2.过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________.
3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．








4.过点P(，5)且与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程.




5.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．




6.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．














【参考答案】
【经典例题】
例1 联立消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)
(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．
③即k＜－，或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
综上所述，当－＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1，或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k＜－，或k＞时，直线与双曲线没有公共点．
【跟踪训练】1 D 解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，].
例2 解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，
由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)题意可知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦长公式得
|AB|＝·＝·|x1－x2|＝6.

【跟踪训练】2 y＝2x± 解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，
得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0.
故x1＋x2＝－m，①
x1x2＝.②
由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.③
把①②代入③，解得m＝±.
∴直线l的方程为y＝2x±.
例3 2x－y－15＝0 解：设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则
x－4y＝4，①
x－4y＝4，②
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
∴＝＝2．
∴直线AB的斜率为2，
∴直线AB的方程为2x－y－15＝0．
【跟踪训练】3 ±1 解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.
则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．
又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.


【当堂达标】
1.C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，
∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－)，由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0．
当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝＝＝＝＝4，
解得k＝±，故这样的直线有3条．
2. 3 解析：双曲线的左焦点为(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0，由得8y2－12y＋9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝.
∴|AB|＝·＝＝3.
3. 解：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2 4.解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时仅有一个交点(，0)，满足条件．
若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入到双曲线方程，得
－＝1，所以25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－k)－7(5－k)2－7×25＝0.
当k＝时，方程无解，不满足条件．
当k＝－时，方程2×5x×10＝875有一解，满足条件．
当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件．
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝和y＝－x＋10.
5.解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴两式相减，得＝y－y，
∴＝.
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
∴kMN＝＝＝－.
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
6.解：(1)联立方程组消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，则解得－＜k＜，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.
∴实数k的值为±或0.