2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.3二项分布与超几何分布对点练新人教B版选择性必修第二册

这是一份2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.3二项分布与超几何分布对点练新人教B版选择性必修第二册，共8页。
4.2.3　二项分布与超几何分布知识点一  独立重复试验的判断1. 下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标．其中是独立重复试验的是(　　)A．①  B．② C．③  D．④答案　D解析　①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验.知识点二  独立重复试验的概率2. 任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(　　)A．  B． C．  D．答案　B解析　抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C×2×＝.3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于(　　)A．C×2×  B．C×2×C．2×  D．2×答案　C解析　{X＝3}表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率是2×.知识点三  二项分布4. 已知随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝________.答案　解析　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.所以P(X＝3)＝C×3×5－3＝.5．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警；(4)3台都报警；(5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警．解　令X为在发生险情时3台报警器中报警的台数，那么X～B(3，0.9)，则它的分布列为P(X＝k)＝C0.9k(1－0.9)3－k(k＝0,1,2,3)．(1)3台都未报警的概率为P(X＝0)＝C×0.90×0.13＝0.001.(2)恰有1台报警的概率为P(X＝1)＝C×0.91×0.12＝0.027.(3)恰有2台报警的概率为P(X＝2)＝C×0.92×0.1＝0.243.(4)3台都报警的概率为P(X＝3)＝C×0.93×0.10＝0.729.(5)至少有2台报警的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.243＋0.729＝0.972.(6)至少有1台报警的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999.6．甲、乙两队参加某知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．解　(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝C×3＝，P(ξ＝1)＝C××2＝，P(ξ＝2)＝C×2×＝，P(ξ＝3)＝C×3＝，所以ξ的分布列为ξ0123P(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件是独立的，由上表可知，甲队得2分，其概率P(ξ＝2)＝，乙队得1分，其概率为P＝××＋××＋××＝.根据独立事件概率公式得P(C)＝×＝.知识点四  超几何分布7. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是(　　)A．P(X＝2)  B．P(X＝3)C．P(X≤2)  D．P(X≤3)答案　B解析　C表示从5名“三好生”中选3名，从而P(X＝3)＝.8．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解　(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名，代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.(2)根据题意，知X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X123P  一、选择题1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)A．0.648  B．0.432 C．0.36  D．0.312答案　A解析　根据独立重复试验公式，得该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋0.63＝0.648.2．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　)A．  B． C．  D．答案　A解析　设所求概率为P，则1－(1－P)4＝，得P＝.3．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是(　　)A.  B． C．  D．C×0.55答案　D解析　本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白球3次的概率为C×0.53×(1－0.5)5－3＝C×0.55.4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)A．10%  B．20% C．30%  D．40%答案　B解析　设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.5．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列说法正确的是(　　)A．答对0题和答对3题的概率相同，都为B．答对1题的概率为C．答对2题的概率为D．合格的概率为答案　CD解析　对于A，答对0题的概率为P0＝＝，答对3题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确．二、填空题6．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝__________.答案　解析　＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2⇒p＝，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－(1－p)3＝.7．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________(用式子表示)．答案　解析　设抽取的二级品的台数为X，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝.所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝.8．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止．设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝________，P(X>5)＝________.答案　　解析　X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．则P(X＝5)＝C×2×2×＝.P(X>5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)－P(X＝5)＝1－C×3×0－C×2×1×－＝.三、解答题9．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．解　(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9,50×0.006×10＝3.所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布，则P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝.所以随机变量ξ的分布列为ξ012P10．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．解　依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)＝C×2×2＝.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列为ξ024P