人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试学案设计

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1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…，是等比数列，则实数a满足( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
答案 D
解析 由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…，是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 3S3－3S2＝3a3＝a4－a3⇒a4＝4a3⇒q＝4.
3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝18，则a8等于( )
A．192 B．2 187
C．192或2 187 D.eq \f(3,64)
答案 A
解析 由题意得an＝a1qn－1，a1>0，q>0,3＝a2＝a1q，
18＝a3＋a4＝a1q2＋a1q3＝a1q(q＋q2)＝3(q＋q2)，
∴0＝q2＋q－6＝(q＋3)(q－2)，
∴q＝2，a1＝eq \f(3,q)＝eq \f(3,2)，
∴a8＝a1q7＝eq \f(3,2)×27＝3×26＝3×64＝192.
4．(多选)在等比数列{an}中，如果a3和a5是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，那么a2a4a6的值为( )
A．8 B．－8 C．16 D．－16
答案 AB
解析 因为a3和a5是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，
所以a3a5＝4，
即aeq \\al(2,4)＝4，
所以a4＝±2，故a2a4a6＝aeq \\al(3,4)＝(±2)3＝±8.
5．在等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85eq \f(1,4)，所有偶数项之和为170eq \f(1,2)，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为( )
A．580 B．585 C．590 D．595
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则由题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(S偶,S奇)＝q＝2，,S奇＝\f(a1[1－q25],1－q2)＝85\f(1,4)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))
∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)
＝a1q2·eq \f(1－q12,1－q3)＝585.
6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________，an＝________.
答案 －1 2·3n－1(n∈N*)
解析 由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．
又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.
∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1，
n＝1时，a1＝S1＝3－1＝2满足上式，
∴an＝2·3n－1，n∈N*.
7．若{an}是等比数列，其中a3，a7是方程2x2－3kx＋5＝0的两个根，且(a3＋a7)2＝2a2a8＋11，则k的值为_______________________．
答案 ±eq \f(8,3)
解析 由根与系数的关系可知a3a7＝eq \f(5,2)，a3＋a7＝eq \f(3,2)k，所以(a3＋a7)2＝2a2a8＋11＝2a3a7＋11＝16，所以a3＋a7＝±4＝eq \f(3k,2)，k＝±eq \f(8,3).
8．已知首项为eq \f(3,2)的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.
答案 (－1)n－1×eq \f(3,2n)(n∈N*)
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，
于是q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).
又{an}不是递减数列且a1＝eq \f(3,2)，
所以q＝－eq \f(1,2).
故等比数列{an}的通项公式为
an＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝(－1)n－1×eq \f(3,2n)(n∈N*)．
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求数列{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
解 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝3，,q＝0))(舍去)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝1，,q＝2.))
因此数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.故S3＝21或－6.
10．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和公式．
解 (1)设数列{an}的公差为d，则
方法一 a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12.
又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n，n∈N*.
方法二 ∵a1＋a3＝2a2，
∴a2＝4.又a1＝2，
∴d＝4－2＝2.
∴an＝2n，n∈N*.
(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得
Sn＝2·3＋4·32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，①
3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1，②
①－②得
－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1
＝3(3n－1)－2n·3n＋1，
∴Sn＝eq \f(31－3n,2)＋n·3n＋1，n∈N*.
11．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．16 B．26 C．30 D．80
答案 C
解析 由题意得q>0且q≠1，因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．
设S2n＝x(x>0)，则2，x－2,14－x成等比数列，(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6.
由S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，可得(6－2)×(S4n－14)＝(14－6)2，解得S4n＝30.
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，若首项为－1，且满足an＋1＝Sn－1，则Sn＝________.
答案 1－2n
解析 因为an＋1＝Sn－1，
所以Sn＋1－Sn＝Sn－1，即Sn＋1＝2Sn－1，
所以Sn＋1－1＝2(Sn－1)．
又S1＝a1＝－1，
所以数列{Sn－1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，
所以Sn－1＝(－2)·2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n.
13．在等比数列{an}中，若a1＝eq \f(1,2)，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
答案 －2 2n－1－eq \f(1,2)
解析 ∵q3＝eq \f(a4,a1)＝－8，∴q＝－2，∴an＝eq \f(1,2)×(－2)n－1，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝eq \f(1,2)＋1＋2＋…＋2n－2＝eq \f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq \f(1,2).
14．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝eq \f(1,2)，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案 1－eq \f(1,2n)
解析 令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，
又an＝f(n)，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(fn＋1,fn)＝f(1)＝a1＝eq \f(1,2)，
∴数列{an}是以eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，
∴Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝1－eq \f(1,2n).
15．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a7)的值为________．
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 在由正数组成的等比数列{an}中，a3a4a5＝3π，所以aeq \\al(3,4)＝3π，a4＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a7＝lg3(a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7)＝lg3aeq \\al(7,4)＝7lg3a4＝＝eq \f(7π,3).所以sin(lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a7)＝sin eq \f(7π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
16．在数列{an}中，若an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,an－1＋\f(1,2)，n≥2，))求数列{an}的前n项和．
解 当n＝1时，S1＝a1＝1.
当n≥2时，若a＝0，有an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,\f(1,2)，n≥2，))
则Sn＝1＋eq \f(1,2)(n－1)＝eq \f(n＋1,2).
若a＝1，有an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,\f(3,2)，n≥2，))
则Sn＝1＋eq \f(3,2)(n－1)＝eq \f(3n－1,2).
若a≠0且a≠1，
则Sn＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋a2))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋an－1))
＝1＋eq \f(1,2)(n－1)＋(a＋a2＋…＋an－1)＝eq \f(n＋1,2)＋eq \f(a－an,1－a).
综上所述，Sn＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,\f(n＋1,2)，a＝0且n≥2，n∈N*，,\f(3n－1,2)，a＝1且n≥2，n∈N*，,\f(n＋1,2)＋\f(a－an,1－a)，a≠0且a≠1且n≥2，n∈N*.))