2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.5正态分布对点练新人教B版选择性必修第二册

这是一份2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.5正态分布对点练新人教B版选择性必修第二册，共7页。
4．2.5    正态分布知识点一  正态分布的有关概念1. 一次教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙三科总体的平均数不相同答案　A解析　由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，所以σ甲<σ乙<σ丙，又σ是标准差，所以甲科总体的标准差最小．故选A.2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率约为(　　)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈95.44%)A．4.56%  B．13.59% C．27.18%  D．31.74%答案　B解析　由已知得μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]≈×(95.44%－68.26%)＝×27.18%＝13.59%.知识点二  正态分布的性质3. 已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于(　　)A．0.1  B．0.2 C．0.3  D．0.4答案　A解析　因为P(X＞2)＋P(0≤X≤2)＋P(－2≤X≤0)＋P(X＜－2)＝1，P(X＞2)＝P(X＜－2)，P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X＞2)＝[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1.4．设随机变量X～N(1,22)，则D等于(　　)A．4  B．2 C．  D．1答案　D解析　因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.知识点三  正态分布的应用5. 已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有(　　)(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544)A．4093件  B．4772件 C．6827件  D．8185件答案　D解析　由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544，而质量在[98,102]内的产品的概率为P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率约为0.6826＋＝0.8185，据此估计质量在[98,104]内的产品的数量约为10000×0.8185＝8185.故选D.6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.9544.解　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)≈0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)≈100×0.6826＝68.26.知识点四  标准正态分布7. 以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.026，则P(|ξ|<1.96)＝________.答案　0.948解析　∵ξ～N(0,1)∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.948.8．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间ξ(单位：min)服从正态分布N(50,102)；第二条路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间服从正态分布N(60,42)．问：如果有65 min时间可以利用，应走哪一条路线？解　①若走第一条路线，ξ～N(50,102)，及时赶到汽车站的概率为P(ξ≤65)＝Φ＝Φ(1.5)．②若走第二条路线，ξ～N(60,42)，及时赶到汽车站的概率为P(ξ≤65)＝Φ＝Φ(1.25)．根据标准正态分布曲线的轴对称性可知：走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线，故应走第一条路线．  一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为(　　)A．1  B．－1 C．0  D．不确定答案　C解析　均值即为其对称轴，∴μ＝0.2. 如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3答案　D解析　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝在x＝0处取最大值，故σ＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，所以0<σ1<σ2＝1<σ3.故选D.3．若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，且P(X<1)＝0.8413，则P(－1<X<0)等于(　　)A．0.6587  B．0.8413 C．0.1587  D．0.3413答案　D解析　∵X～N(0,1)，∴P(－1<X<0)＝P(0<X<1)＝Φ(1)－Φ(0)＝0.8413－0.5＝0.3413.故P(－1<X<0)＝0.3413.故选D.4．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为(　　)A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不可出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂答案　C解析　∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．5．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100,102)，则下列选项正确的是(　　)(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.9974)A．E(X)＝100  B．D(X)＝100C．P(X≥90)＝0.8413  D．P(X≤120)＝0.9987答案　ABC解析　∵随机变量X服从正态分布N(100,102)，∴正态曲线关于x＝100对称，根据题意可得，P(90<x<110)≈0.6826，P(80<x<120)≈0.9544，∴P(x≥90)≈0.5＋×0.6826＝0.8413，故C正确；P(x≤120)≈0.5＋×0.9544＝0.9772，故D错误．而A，B都正确．故选ABC.二、填空题6．已知变量ξ～N(μ，σ2)，则下列变量：①ξ；②ξ－μ；③；④.其中服从标准正态分布的是________．答案　④解析　设Z＝，则E(Z)＝E＝0，D(Z)＝＝，∴Z＝～N(0,1)．同理可得①②③不服从标准正态分布．7．若随机变量ξ～N(10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a，a∈(0,0.5)，则ξ在(－∞，15)上的概率等于______．答案　＋a解析　P(10<ξ<15)＝P(5<ξ<10)＝a，故P(－∞<ξ≤5)＝(1－2a)＝－a，所以ξ在(－∞，15)上的概率等于－a＋a＋a＝＋a.8．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.84，则P(2<X<4)等于________．答案　0.68解析　由正态分布的特征可知P(X>4)＝1－P(X≤4)＝1－0.84＝0.16，又μ＝3，所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.16，P(2<X<4)＝1－0.16－0.16＝0.68.9．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．答案　10解析　由题意，知P(ξ>110)＝＝0.2，故该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10.三、解答题10．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P.利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．参考数据：≈，0.773419≈0.0076.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)＝0.7734.解　(1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.(2)①由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N(9,1.78)，σ＝＝≈.∴P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75)＝0.7734.②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.2266，可得Z～B(20,0.2266)，P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)＝1－0.773420－C×0.2266×0.773419＝1－(0.7734＋20×0.2266)×0.773419≈0.9597.∴Z的数学期望E(Z)＝20×0.2266＝4.532.