人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀第1课时当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀第1课时当堂检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题


1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝( )


A．138 B．135 C．95 D．23


C [∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a4＝4，,a3＋a5＝10，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝2，,a1＋3d＝5，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－4，,d＝3，))


∴S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)×d＝－40＋135＝95.]


2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝( )


A．99B．33


C．198D．66


D [因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则


S11＝eq \f(11a1＋a11,2)＝11a6＝11×6＝66，故选D.]


3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )


A．765B．665


C．763D．663


B [由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n－1)×7<100，


∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq \f(1,2)×14×13×7＝665.]


4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )


A．9B．10


C．19D．29


B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．


∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).


当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]


5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布．现在一月(按30天计算)共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17的值为( )


A．55B．52


C．39D．26


B [由题意可得{an}为等差数列，a1＝5，∴S30＝30×5＋eq \f(30×29,2)d＝390，


解得d＝eq \f(16,29)，


∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d＝4a1＋58d＝4×5＋58×eq \f(16,29)＝52.]


二、填空题


6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．


27 [由a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq \f(1,2)的等差数列，故S9＝9a1＋eq \f(9×9－1,2)×eq \f(1,2)＝9＋18＝27.]


7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________.


－10 [设该等差数列的公差为d，


根据题中的条件可得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×2＋\f(3×2,2)·d))＝2×2＋d＋4×2＋eq \f(4×3,2)·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.]


8．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________．


304 [因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40⇒d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40－8n，n≤5，,8n－40，n＞5，))所以前12项之和为eq \f(5×32＋0,2)＋eq \f(7×8＋56,2)＝80＋224＝304.]


三、解答题


9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.


(1)求数列的通项公式；


(2)若Sn＝242，求n.


[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝12，,d＝2，))


∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.


(2)由Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，


得方程242＝12n＋eq \f(nn－1,2)×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.


10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时求n的值．


[解] 法一：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a8＝a1＋7d＝1，,S16＝16a1＋\f(16×15,2)d＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝15，,d＝－2，))则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值．


法二：因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以当n＝8时，Sn取得最大值．





11．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是( )


A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项


B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0


C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0


D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列


ABD [显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确．


又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确．


而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．]


12．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2 019＞0，S2 020＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则下列判断正确的是( )


A．a1 010＞0B．a1 011＞0


C．|a1 010|＞|a1 011|D．k的值为1 010


AD [由等差数列{an}，可得S2 019＝eq \f(2 019a1＋a2 019,2)＞0，S2 020＝eq \f(2 020a1＋a2 020,2)＜0，


即：a1＋a2 019＞0，a1＋a2 020＜0，可得：2a1 010＞0，a1 010＋a1 011＜0，


∴a1 010＞0，a1 011＜0，∴A正确B错误．又等差数列{an}为递减数列，


且a1 010＋a1 011＜0，∴|a1 010|＜|a1 011|，∴C错误．


而对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为1 010.故D正确．故选AD.]


13．(一题两空)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则d＝________，a5＝________.


－2 －1 [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋d＝6a1＋\f(6×5,2)d，,a1＋3d＝1，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝7，,d＝－2，))所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.]


14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．


2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为


S＝9×20＋eq \f(9×8,2)×20＋10×20＋eq \f(10×9,2)×20＝2 000(米)．]





15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.


(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；


(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；


(3){Sn}有多少项大于零？


[解] (1)Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝12n＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．





(2)Sn＝－n2＋13n＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(13,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(169,4)，n∈N*，


∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．


{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.


(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．