人教A版（2019）选修二 第四章数列 第四章 数列章末重点题型归纳

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第四章 数列章末重点题型归纳知识点1 数列及其有关概念1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．3.对数列概念的理解（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．（3）数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.知识点2 数列的分类知识点3 数列的表示方法1．列表法列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：2．图象法在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．3．通项公式法如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．4．递推公式法如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．注：常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2). (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2). (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 知识点4 数列的前n项和Sn与an的关系1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．数列的前项和和通项的关系：则特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．知识点5 数列的性质（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))数列的周期性.根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．知识点6 等差数列的有关概念1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列.2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.4.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .，，成等差数列.注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2. 知识点7 等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;(5)是等差数列⇔是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.知识点8 等差数列的性质（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．知识点9 等差数列的前n和公式注：（1）等差数列的前n和公式的推导对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．（2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5(　))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；知识点10 等差数列前n项和的性质（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；（2）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.等差数列中，,则,.注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.（5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；知识点11 等差数列的前n项和的最值(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．在等差数列{an}中，当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((为常数, ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解.注：当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．知识点12 等比数列有关概念1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．注：（1）等比数列通项公式的推导设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一　an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．方法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ．④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：知识点13 等比数列的通项公式与指数型函数的关系1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,01时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,01，a99a100－1>0，<0．给出下列结论：①01成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是________．题型十一 等差数列与等比数列的综合应用78．（2022·高二课时练习）已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（    ）A． B． C． D．79．（2022·高二单元测试）对于无穷数列，给出下列命题：①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列；②若等差数列满足，则是常数列；③若等比数列满足，则是常数列；④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列．其中正确的命题个数是（    ）．A．1 B．2 C．3 D．480．（2022春·陕西西安·高二西安市西光中学校考阶段练习）等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时_______81．（2022春·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考阶段练习）设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________．82．（2022春·四川内江·高二四川省内江市第二中学校考开学考试）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列（1）求数列通项公式（2）设，求数列的前项和题型十二 数列求和及应用（一）倒序相加法求和83．（2022春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ）A．230 B．115 C．110 D．10084．（2022·高二课时练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（    ）A．2023 B．2022 C．2021 D．202085．（2022秋·北京·高二北京市第十二中学校考阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前?项和的方法探求：若，则（    ）A．2018 B．4036 C．2019 D．403886．（2022·高二课时练习）已知为等比数列，且，若，求的值．（二)分组（并项）法求和87．（2022春·吉林松原·高二校考期末）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.88．（2022·全国·高二假期作业）（1）已知等差数列满足，，数列满足，.求，的通项公式；（2）在数列中，，，①求证：是等比数列；②求数列的前项和.89．（2022·全国·高二假期作业）已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．（三）裂项相消法求和90．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．91．（2022春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）已知数列为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和.92．（2022春·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为.(1)求{an}的通项公式；(2)若，求数列{}的前n项和Tn.93．（2022·全国·高二假期作业）设数列满足.(1)求的通项公式(2)记数列的前项和为，求（四）错位相减法求和94．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和_______.95．（2022春·广西梧州·高二校考期末）已知数列的首项，前项的和为.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.96．（2022秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知数列为单调递增的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.97．（2022春·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知数列(1)令，求证：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．98．（2022春·陕西西安·高二统考期末）已知数列，，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．题型十三 数列的综合应用99．（2022秋·辽宁·高二校联考期中）某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．(1)求和的值；(2)求证：数列为等比数列；(3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）100．（2022春·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标， A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计， A地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要杴伐掉万立方米的森林．设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量（例如）．(1)试写出数列的一个递推公式：(2)设，证明：数列是等比数列；(3)若到2030年末，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量最多是多少万立方米？（精确到1万立方米）参考数据：，，分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1