人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试导学案

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1．(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1
B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数，,0，n为偶数))
C．an＝2sin eq \f(nπ,2)
D．an＝cs(n－1)π＋1
答案 ABD
解析 对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin eq \f(nπ,2)不合题意，故选ABD.
2．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则( )
A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3n
C．an＝4n－8 D．an＝2n
答案 AC
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S3＝3a1＋3d＝0，,a4＝a1＋3d＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－4，,d＝4，))
∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝－4n＋2n(n－1)＝2n2－6n.
3．在等差数列{an}中，a2 000＝lg27，a2 022＝lg2eq \f(1,7)，则a2 011等于( )
A．0 B．7 C．1 D．49
答案 A
解析 因为数列{an}是等差数列，所以由等差数列的性质可知2a2 011＝a2 000＋a2 022＝lg27＋lg2eq \f(1,7)＝lg21＝0，故a2 011＝0.
4．在等差数列{an}中，若a1 009＋a1 010＋a1 011＋a1 012＝18，则该数列的前2 020项的和为( )
A．18 126 B．9 072
C．9 090 D．12 084
答案 C
解析 ∵a1＋a2 020＝a1 009＋a1 012＝a1 010＋a1 011，而a1 009＋a1 010＋a1 011＋a1 012＝18，∴a1＋a2 020＝9，
∴S2 020＝eq \f(1,2)(a1＋a2 020)×2 020＝9 090.
5．(多选)已知首项为正数的数列{an}为等差数列，且(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)<0，则( )
A．S12>0 B. a6>0
C．S13>0 D. a6＋a7>0
答案 ABD
解析 由等差数列的性质可得(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)
＝2(a6＋a7)(3a7)＝6(a6＋a7)a7<0，
故可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＋a7>0，,a7<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＋a7<0，,a7>0，))
因为首项为正数的数列{an}为等差数列，
若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＋a7>0，,a7<0，))
所以a6>0>a7，
所以S12＝eq \f(a1＋a12,2)×12＝eq \f(a6＋a7,2)×12>0，
S13＝eq \f(a1＋a13,2)×13＝13a7<0.
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则d＝________， a6＝________.
答案 2 13
解析 设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴d＝2，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
7．数列{an}满足an＋1＝eq \f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由an＋1＝eq \f(1,1－an)，
得an＝1－eq \f(1,an＋1)，
∵a8＝2，
∴a7＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
a6＝1－eq \f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq \f(1,a6)＝2，
…，
∴{an}是以3为周期的数列，
∴a1＝a7＝eq \f(1,2).
8．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片________块．
答案 570
解析 根据题意可知，每一层所铺瓦片由上至下依次构成一个等差数列．设数列为{an}，
则a1＝21，d＝1，n＝19，
∴S19＝eq \f(19×21＋21＋18,2)＝570，
即该斜面共铺了570块瓦片．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－13n＋1.
(1)求数列的通项公式；
(2)求Sn的最大或最小值．
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－11，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－13n＋1)－[(n－1)2－13(n－1)＋1]＝2n－14，
所以数列{an}的通项公式是
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－11，n＝1，,2n－14，n≥2，n∈N*.))
(2)因为Sn＝n2－13n＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(13,2)))2－eq \f(165,4)，
其图象是以n＝eq \f(13,2)为对称轴，
开口向上的抛物线上的一些孤立的点，
又因为n∈N*，
所以Sn的最小值为S6＝S7＝－41.
10．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．
解 (1)因为a1＋a2＋a3＝12，a1＋a3＝2a2，
所以3a2＝12，解得a2＝4.
因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，解得d＝2.
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，n∈N*.
(2)由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n，n∈N*.
11．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 020>0，S2 021<0，则下列说法正确的是( )
A．S1 010最大
B．|a1 010|>|a1 011|
C．a1 011>0
D. 数列中绝对值最小的项为a1 011
答案 ABD
解析 ∵S2 020>0，S2 021<0，
∴eq \f(2 020a1＋a2 020,2)＝eq \f(2 020a1 010＋a1 011,2)>0，
eq \f(2 021a1＋a2 021,2)＝2 021a1 011<0，
∴a1 010＋a1 011>0，a1 011<0，
可得a1 010>0，a1 011<0，|a1 010|>|a1 011|，故A，B都正确，C错误，
由等差数列的单调性即可得出：
此数列中绝对值最小的项为a1 011，故D正确．
12．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( )
A．1.5尺 B．2.5尺
C．3.5尺 D．4.5尺
答案 D
解析 ∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，
其晷长依次成等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d，
根据题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S9＝49.5，,a1＋a3＋a5＝10.5))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a1＋36d＝49.5，,3a1＋6d＝10.5))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1.5，,d＝1，))
∴立秋的晷长为a4＝1.5＋3＝4.5.
13．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．
答案 20
解析 该物体经过t秒降落到地面．
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．
所以4.90t＋eq \f(1,2)t(t－1)×9.80＝1 960，
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
14．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋1,n＋3)，则eq \f(a2＋a20,b7＋b15)＝________；若eq \f(an,bn)的值为正整数，则n＝________.
答案 eq \f(8,3) 1或3
解析 在等差数列中，eq \f(a2＋a20,b7＋b15)＝eq \f(a1＋a21,b1＋b21)
＝eq \f(\f(a1＋a21,2)×21,\f(b1＋b21,2)×21)＝eq \f(S21,T21)，
∵eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋1,n＋3)，
∴eq \f(S21,T21)＝eq \f(3×21＋1,21＋3)＝eq \f(8,3).
∵eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(6n－2,2n＋2)＝eq \f(3n－1,n＋1)＝3 － eq \f(4,n＋1)为正整数，
∴n ＝ 1或3.
15．(多选)如果一个实数数列{an}满足条件：aeq \\al(2,n＋1)－an＝d(d为常数，n∈N*)，则这一数列为“伪等差数列”，d称“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论：其中正确的结论是( )
A．对于任意的首项a1，若d<0，则这一数列必为有穷数列
B．当d>0，a1>0时，这一数列必为单调递增数列
C．这一数列可以是周期数列
D．若这一数列的首项为1，伪公差为3，－eq \r(5)可以是这一数列中的一项
答案 CD
解析 A项，当a1＝eq \f(1,2)，d＝－eq \f(1,4)，an>0时，
依题意，an＝eq \f(1,2)，故错误；
B项，当d>0，a1>0时，∵an＋1＝±eq \r(an＋d)，
∴这一数列不是单调递增数列，故错误；
C项，易知当伪公差d＝0，an＝1时，这一数列是周期数列，故正确；
D项，∵a1＝1，d＝3，
∴a2＝±eq \r(a1＋d)＝±2，
∴当a2＝2时，a3＝±eq \r(a2＋d)＝±eq \r(5)，故正确．
16．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解 (1)由题意知，(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
解得d＝2或d＝－5(舍去)．
所以Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝n＋n(n－1)＝n2.
(2)由(1)知，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，
由m，k∈N*知，2m＋k－1>k＋1>1，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋k－1＝13，,k＋1＝5，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,k＝4.))