人教A版（2019）选修二 第四章数列 章末检测卷

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数列章末检测卷（二）说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。 第I卷(选择题 共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（2022春·安徽宿州·高二安徽省宿州市第二中学校考期末）已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】设数列的公差为，根据，3，成等比数列得+可得答案．【详解】设数列的公差为，因为，3，成等比数列，所以，所以+，所以，故选：A.2．（2022春·广东江门·高二统考期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】已知和求通项公式：进行计算.【详解】当时，当时，故选：C3．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设数列是公比为q的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则公比为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据公比的定义求解即可．【详解】解：数列的连续4项为，所以公比．故选：C．4．（2022秋·新疆和田·高二校考期末）将正整数排成下表：则在表中数字出现在（    ）A．第行第列 B．第行第列C．第行第列 D．第行第列【答案】D【分析】找到每行的最后一个数的规律，写出通项公式，从而写出所在的行列【详解】因为每行的最后一个数分别是，，，，，可归纳出第行的最后一个数是，因为，，所以出现在第行，又，所以出现在第行第列．故选：D．5．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）在数列中，，，则数列前5项和（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据递推公式判断其为等差数列，表示出其通项公式，然后代入裂项相消可求【详解】为1为首项，2为公差的等差数列，，故故选：C6．（2022春·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地，求每天走的路程.”在这个问题中，此人前三天一共走的路程为（    ）A．192里 B．288里 C．336里 D．360里【答案】C【分析】利用等比数列的求和公式即可得到结果.【详解】记每天走的路程里数为，由题意可得是公比为的等比数列，由等比数列的求和公式可得，解得所以里故选:C7．（2022春·江苏连云港·高二期末）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（    ）A．28 B．26 C．24 D．20【答案】A【分析】根据题意利用等差等比中项公式得到方程组，解之即可；【详解】依题意，设这四个数分别为，则，解得或，所以这四个数为0、4、8、16或15、9、3、1，则这四个数的和为28．故选：A．8．（2022秋·河南开封·高二统考期末）已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据的关系求出的通项公式，继而求出的通项公式，再用裂项相消法求出，进而得解.【详解】因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（2022春·江苏常州·高二常州市第三中学校考期末）数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）A．已知，则使得成等比数列的充要条件为B．若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022C．若，则数列前5项的和最大D．设是等差数列的前项和，若，则【答案】CD【分析】对于A：利用等比中项求出，即可判断；对于B：由等差数列的性质求出即可判断；对于C：先判断出为等差数列，利用二次函数的性质即可判断出时，取得最大值；对于D：利用等差数列的分段和性质直接求解.【详解】对于A：因为，所以使得成等比数列等价于，即，解得：.故A错误；对于B：因为为等差数列，且，所以由等差数列的性质可得：，所以.故B错误；对于C：因为，所以，，所以为等差数列.所以的前项和为.由二次函数的性质可得：当时，取得最大值.故C正确；对于D：在等差数列中，设.因为，所以，且.由等差数列的分段和性质可知：也构成等差数列，所以，解得：，所以.故D正确.故选：CD10．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ）A．为递减数列 B．C．是数列中的最大项 D．【答案】AC【分析】根据题意先判断出数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A：利用公比的定义直接判断；对于B：由及前n项和的定义即可判断；对于C：前项积为的定义即可判断；对于D：先求出，由即可判断.【详解】由可得：和异号，即或.而，，可得和同号，且一个大于1，一个小于1.因为，所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.对于A：公比，因为，所以为减函数，所以为递减数列.故A正确；对于B：因为，所以，所以.故B错误；对于C：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以是数列中的最大项.故C正确；对于D：因为，所以，即.故D错误.故选：AC11．（2022秋·全国·高二期末）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是(    )A．数列的通项公式为B．C．数列的通项公式为D．的取值范围是【答案】BD【分析】根据已知条件可求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和，从而可求，利用裂项相消法可求，讨论数列的单调性，即可得出的范围.【详解】A：由可得，∴等比数列的公比，∴.由是与的等差中项，可得，即，解得，∴，∴A不正确；B：，∴B正确；C：，∴C不正确；D：，∴数列是递增数列，得，∴，∴D正确.故选：BD.12．（2022秋·山东日照·高二校联考期末）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，.已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（    ）A． B．数列是等比数列C．数列不是递增数列 D．数列的前n项和小于【答案】ABD【分析】根据欧拉函数定义可判断A；小于的正整数中所有不是2的倍数的整数都与互质，然后可判断B；由B中方法可得，然后由性质可判断C；由错位相减法可判断D.【详解】，，∴，A对；∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴为等比数列，B对；∵与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有个，∴，又∵，∴是递增数列，故C错误；，的前n项和为设，则，所以，，所以，所以数列的前n项和小于，故D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，已知，则____________．【答案】5【分析】在等差数列中，根据等差中项公式求解即可.【详解】解：由等差数列的性质得，，故答案为：5.14．（2022春·福建福州·高二校联考期末）已知数列,则________．【答案】【分析】根据等差与等比数列求和公式分组求和即可.【详解】解：数列，所以，，故答案为：15．（2022春·河南·高二校联考期末）若数列满足，且数列单调递减，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据，构造，两式相减变形分析讨论，然后根据数列为减数列，列出不等式解出即可.【详解】由得，，两式相减得，当时，，当时，，均不合题意，所以，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，数列单调递减等价于或， 解得．故答案为：.16．（2022春·陕西西安·高二统考期末）一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列的公和为2，前项和为，若，则___________.【答案】【分析】由题意可得，分组求和，从而可求出.【详解】，，．故答案为：.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（2022春·浙江金华·高二校联考期末）已知正项数列前项和为，且满足.(1)求；(2)令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）利用错位相减法求解得，参变分离即可求的范围.【详解】（1）因为，当时，有，两式相减得，移项合并同类项因式分解得，因为，所以有，在中，当得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故有（2）由（1）知，，，，由题意，对任意的，均有恒成立， ，即恒成立，设，所以，当时，，即 ；当时，，即，所以的最大值为， 所以.故的取值范围是.18．（2022春·湖北·高二校联考期末）数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用求解即，注意验证时是否符合；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以当时，，由此可得，所以，其中，所以当时，，不符合上式，所以.（2）由（1）得，，，可得，所以．19．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知等比数列的前n项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．(1)求数列，的通项和；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【分析】(1)结合已知条件，利用与之间的关系求的通项公式；将代入中可得到公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解.【详解】（1）因为是与2的等差中项，所以，即，则，当时，，从而，则等比数列的公比，故；因为，点在一次函数的图象上，所以，即等差数列的公差为2，从而.（2）由，得：...①...②①-②得，，从而.20．（2022春·江苏扬州·高二南师大二附中校联考期末）数列中，，，设．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和；(3)若，为数列的前n项和，求不超过的最大的整数．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)2022【分析】（1）将两边都加，证明是常数即可；（2）求出的通项，利用错位相减法求解即可；（3）先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解【详解】（1）将两边都加2n，得，所以，即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，所以，所以，①，②①－②得，整理得；（3）由（2）及题目条件，得，所以，所以,，所以不超过的最大的整数是202221．（2022秋·辽宁营口·高二统考期末）设数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式：(2)若，求数列和的前10项的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据和的关系即可相减求解是等比数列，进而可求通项，（2）由，可得的通项，进而根据分组求和即可求前10项的和.（1）由得:当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.（2）当为偶数时，当为奇数时，，所以数列和的前10项的和：22．（2022春·浙江金华·高二期末）已知各项均为正数的数列、满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列.(1)证明：数列为等差数列；(2)记，且数列的前项和为，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列；（2）由数列为等差数列求出，代入条件可求出，利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）由条件可得，且，又，，故，代入中，得时，有，即，所以数列为等差数列.（2）由（1）知数列为等差数列且，由，可得，由，所以，.数列是首项为，公差为的等差数列，得，即， 故，即，所以时，，且也符合上式，故 则，所以，而，所以.