2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.2离散型随机变量的分布列对点练新人教B版选择性必修第二册

这是一份2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.2离散型随机变量的分布列对点练新人教B版选择性必修第二册，共6页。
4．2.2            离散型随机变量的分布列知识点一  求离散型随机变量的分布列1. 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．解　X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝×＝，第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝××＝，第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝×××＝，第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝××××＝.所以X的分布列是X12345P2．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．解　(1)随机变量X的取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.∴随机变量X的分布列为X3456P(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝.知识点二  离散型随机变量分布列的性质3. 随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak (k＝1,2，…，10)，则a的值为(　　)A．  B． C．110  D．55答案　B解析　∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝.4．若随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)A．  B． C．  D．答案　D解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a＝1，∴a＝.∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝.5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P0.51－2qq2则q＝________.答案　1－解析　由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，整理得q2－2q＋0.5＝0，解得q＝＝1±，又0≤1－2q≤1,0≤q2≤1，所以q＝1－.知识点三  两点分布6. 袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列．解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝.所以随机变量X的分布列为X01P7．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c 试求出离散型随机变量X的分布列．解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.检验：当c＝时，9c2－c＝9×2－＝>0,3－8c＝3－＝>0；当c＝时，9c2－c＝9×2－>0,3－8c＝3－<0(不适合，舍去)．故c＝.故所求分布列为X01P  一、选择题1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　)A.  B．C.  D．答案　C解析　C选项中，P(X＝1)＜0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，故C选项不是分布列．2．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么(　　)A．n＝3  B．n＝4C．n＝10  D．n＝9答案　C解析　由X＜4知X＝1,2,3，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＝，解得n＝10.3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X答案　A解析　A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，B，C，D中的随机变量X均服从两点分布．故选A.4．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　)X＝i0123P(X＝i)abA．  B． C．  D．答案　C解析　由分布列性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝.故选C.5．(多选)已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次为b－，b，b＋，其中a为整数，则a的值可能为(　　)A．2  B．1 C．0  D．－1答案　BCD解析　因为随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为b－，b，b＋，则由分布列的性质得b－＋b＋b＋＝1，故b＝，由解得－1≤a≤1，又a为整数，所以a为－1,0,1.故选BCD.二、填空题6．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：X123456P0.200.□50.100.100.1□0.20根据该表可知X取奇数值时的概率是________．答案　0.45解析　由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝2)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.10＋0.15＝0.45.7．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.答案　0.5解析　由分布列的性质，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.答案　解析　设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有个，总数为k个．∴分布列为ξ123PP＝P(ξ＝1)＝.三、解答题9．设随机变量X的概率分布P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.解　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.(2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)，∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.(3)当<X<时，只有X＝，，时满足，故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.10．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列．解　依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11.则有P(η＝5)＝＝，P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.所以η的分布列为η567891011P