选修第二册第四章数列小结 第一课时梳理知识，构建网络（教案）

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课堂教学设计学科： 姓名：课题：梳理知识，构建网络课型： 课时教学目标（1）通过对几类典型问题的探究，进一步巩固等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式等核心知识，能熟练应用这些知识解决一些具体的数列问题，发展运算求解、数学建模素养.（2）通过对本章内容的系统回顾与梳理，弄清本章知识的发生发展过程，准确把握数列与函数、等差数列与一次函数、等比数列与指数函数之间的区别与联系，在此基础上建构本章知识网络，发展数学抽象、直观想象素养.（3）通过一些具体的问题情境与数学活动，进一步体会函数与方程、特殊与一般、转化与化归、分类与整合等数学思想，并能熟练应用这些数学思想方法解决一些具体的数列问题，发展逻辑推理素养.教学重点和难点（1）教学重点：数列核心知识的结构梳理.（2）教学难点：数列核心知识的结构梳理.教学资源和教学方法教学过程教学环节师生活动设计意图教师个人二次备课环节一自主研学，温故知新【课前作业】第一部分：阅读思考阅读教科书第53～54页“小结”部分，思考并回答第54页的问题1~7.第二部分：自主建构填表：表4.5 - 1核心知识等差数列等比数列定义通项公式图象特征前n项和公式常用性质第三部分：基础练习1.已知数列an的前n项和Sn=n2+n+32.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列Snn中的项取最小值时n的值.2.在等比数列an中，a4−a3=18，且2a2是3a1与a3的等差中项，数列bn满足bn=1+2log3an.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bn是等差数列；（3）求数列anbn的前n项和Tn.3.已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且an的公差为d.（1）设cn=a4n−2n∈N∗，求数列cn的公差（用d表示）；（2）若S5=25，S100=25，求S15；（3）若SnTn=3n+275n+9，求a4b4的值.环节二互动探究，动态生成引导语 在前面的学习中，我们已经学习了数列的概念与表示，等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式与主要性质，以及数学归纳法，并能应用这些知识解决一些简单的问题，课前我们又完成了课前作业.本节课我们以教科书“小结”第二部分“回顾与思考”中的问题1～7为线索，以课前作业中的基础练习为载体，着重对数列核心知识、思想方法进行深度解析，并通过整合梳理，构建本章知识网络.例1 已知数列an的前n项和Sn=n2+n+32.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列Snn中的项取最小值时n的值.师生活动 先请学生利用实物投影仪展示并讲解解答过程，然后教师引导全班学生对他们的讲解进行评价、补充，通过讨论，形成以下解题思路：解 （1）当n=1时，a1=S1=34，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n+32−n−12−n−1−32=2n.综上所述，an=34， n=1，2n， n≥2.（2）令bn=Snn，则bn=n2+n+32n.思路1：bn=n2+n+32n=n+32n+1，由于n∈N∗ ，根据函数fx=x+32x+1的图象可知，当n=6时，bn取最小值.思路2：设bn最小，则bn≤bn−1bn≤bn+1n≥2，即n2−n−32≤0，n2−n−32≥0，解得−1+1292≤n≤1+1292，可以判断5kan2=an−kan+kn>k四项间的关系若p+q=s+t，则ap+aq=as+at.若p+q=s+t，则apaq=asat.子数列问题am+k，am+2k，am+3k，⋯成等差数列.am+k，am+2k，am+3k，⋯成等比数列.分段和问题Sm，S2m−Sm，S3m−S2m，…成等差数列.Sm，S2m−Sm，S3m−S2m，…成等比数列.数列的运算kan+b，kan±lbn均为等差数列.kanl，anbn，anbn均为等比数列.通过例1及问题1～3，让学生深刻理解数列概念的本质，准确把握数列与函数的共性与差异，体会数列的通项公式、前n项和公式以及递推公式各自的作用，弄清它们之间的相互关系，形成如图4.5 - 1所示的知识结构图.设计例2第（2）问以及问题4的主要意图是让学生进一步巩固等差数列、等比数列的概念及其证明;设计问题5的主要意图是让学生准确把握等差数列、等比数列的代数特征（通项公式特点）与几何特征（图象特点）;设计例2第（1）问以及追问2的主要意图是让学生理解掌握“基本量”的思想，熟练掌握“知三求二”这一类型的问题的求解方法；设计问题6的主要意图是让学生进一步巩固“倒序相加”“首尾配对”与“错位相减”三种常用的求和方法，特别是“错位相减”，学生不容易掌握，因此设计例2第（3）问的目的是让学生在具体操作中领悟并掌握这一方法.问题7的设计意图是对等差数列、等比数列的核心知识进行梳理，通过画知识结构图、填写对比表实现知识体系的自主建构.通过例3与问题8，9，感悟“等差中项”与“算术平均数”和“等比中项”与“几何平均数”之间的内在联系，掌握等差数列、等比数列的一些常用性质，并能运用这些性质简化数列中的有关运算，提高解题效率与准确性，深化对等差数列、等比数列这两类特殊数列本质特征的认识，明确等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式以及性质之间的关系，并在知识结构图4.5 - 2的基础上形成如图4.5 - 3所示的知识结构图.环节三整合梳理，有效建构引导语 数学归纳法是高中数学一种重要的思维方法，其本质是将无限个步骤化为有限个步骤.本章学习数学归纳法不仅可以解决与正整数有关的命题的证明，而且为我们提供了一种探究未知结论的思维方法，即观察—归纳—猜想—证明，更重要的是为等差数列、等比数列的通项公式的推导提供了理论支撑，从而保证了等差数列、等比数列知识体系的严谨性与完备性.问题10 结合本节课的学习，你认为前面所得到的知识结构图4.5 - 3还需作怎样的完善？师生活动 学生对核心知识结构图4.5 - 3进行补充、完善，师生共同评价，通过师生共同探讨得到如图4.5 - 4所示的全章核心知识结构图.进一步梳理本章知识脉络，将数学归纳法纳入已有的核心知识结构，从而构建本章较为完整的核心知识结构图.环节四课堂小结，反思升华问题11 本节课，我们以课前一组训练题为载体，对本章主要知识、思想方法进行了回顾与梳理，构建了本章知识网络.请你谈谈：（1）通过对数列知识的梳理，你解决了哪些疑难点？你还有什么疑难点？（2）通过对数列所蕴含的思想方法的回顾，你认为本章应掌握哪些数学思想方法？（3）通过对数列知识体系的建构，你能说出数列的研究路径吗？师生活动 学生回顾，自主发言，教师点评，并对学生所提出的疑惑进行解答，使学生在认知上得到进一步升华.注意收集学生中存在的倾向性问题，为后续教学的改进提供依据.引导学生对本节课的学习进行自我反思与评价，促进学生的认知升华；收集学生中普遍存在的问题，以改进后续教学.环节五目标检测，检验效果1.下列命题不正确的是（ ）.A.若数列an为等比数列，则anan+1为等比数列.B.若a与b的等差中项和等比中项相等，则a=b.C.若数列an任意相邻三项an−1，an，an+1满足an2=an−1an+1n≥2，则数列an是等比数列.D.若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为常数列.检测目标 本题主要检测学生对等差数列、等比数列概念的理解情况，测评学生运用特殊与一般的数学思想进行逻辑推理的能力.2.设Sn是等差数列an的前n项和，若a7a5=913，则S13S9=（ ）.A.1 B.-1 C.2 D.12检测目标 本题主要检测学生对等差数列的通项公式、性质与前n项和公式的掌握情况，测评学生运用转化与化归的数学思想进行逻辑推理和运算求解的能力.3.已知数列an的前n项和Sn=2n+λ，若数列an是等比数列，则常数λ = .检测目标 本题主要检测学生对等比数列的通项公式、前n项和公式以及数列的通项an与前n项和Sn之间的关系的掌握情况，测评学生运用函数与方程的数学思想进行运算求解的能力.4.已知数列an为公差不为零的等差数列，a3=7，且a1，a2，a6成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2an，求数列anbn的前n项和Tn.检测目标 本题主要检测学生对等差数列的概念、通项公式与前n项和公式的掌握情况，测评学生运用函数与方程、转化与化归的数学思想进行逻辑推理和运算求解的能力.师生活动 第1题直接让学生口头作答，第2、3、4题先让学生独立完成，同时每个组请一个学生在黑板上板书解答过程，然后全班师生对黑板上的解答过程进行评析，并针对学生解答过程中存在的典型错误组织全班学生进行辨析，澄清学习中存在的疑难点.设置本组检测题的主要目的是评价学生对本章主要知识、思想方法、关键能力的掌握情况，绝大多数学生应该能完成第2题与第4题的第（1）问，第1题和第3题要求学生能准确理解等差（比）数列的有关概念与性质，学生可能会因对本章一些核心知识的理解与掌握不到位而出现种种错误，需要教师引导学生加强辨析；第4题第（2）问对学生来说可能仍是一个难点，主要表现在计算方面，需要师生针对学生板书中存在的主要问题进行剖析，找出症结所在.环节六分层作业，应用迁移1.基础性作业（1）必做题：教科书第54~55页复习参考题4第2、3、4题，（2）选做题：教科书第55页复习参考题4第6、7题，2.拓展性作业借鉴数列的核心知识结构图，课后用自己的方式进一步构建本章的知识结构图.复习参考题4第2、3（3）题主要评价学生对数列通项公式的理解情况以及观察、归纳、猜想能力；第3（1）题主要评价学生对判断数列单调性的掌握情况与逻辑推理能力；第4（1）题主要评价学生对等差中项、等比中项概念的掌握情况以及逻辑推理能力；第3（2）、4（2）、6、7题主要评价学生对等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的掌握情况与运算求解能力；设计拓展性作业的目的是让学生进一步整合梳理，形成较为具体的、富有个性的知识网络结构图，发展学生数学抽象素养.作业设计板书设计教学反思