人教A版高中数学选择性必修第二册第4章微专题1数列通项公式的求法课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第4章微专题1数列通项公式的求法课时学案，共6页。

微专题1　数列通项公式的求法 类型1　直接利用等差数列、等比数列的通项公式【例1】　已知数列{an}的各项均为正数，a1＝6，点An(an，an+1)在抛物线y2＝x＋1上，求数列{an}．[解]　∵点An(an，an+1)在抛物线y2＝x＋1上，∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是以1为公差的等差数列．∵a1＝6，∴an＝n＋5． 类型2　由Sn求通项公式【例2】　已知数列{2n-1an}的前n项和为Sn＝9－6n，求数列{an}的通项公式．[解]　当n＝1时，20a1＝S1＝9－6＝3，∴a1＝3．当n≥2时，2n-1an＝Sn－Sn－1＝9－6n－[9－6(n－1)]＝－6，∴an＝－32n-2，又a1＝3不符合上式，故an＝3，n=1，-32n-2，n≥2． 类型3　由递推关系求通项公式【例3】　在数列{an}中，an＝1，an＋1＝2an＋1，求an．[解]　∵an＋1＝2an＋1(n∈N*)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋1＝2n，即an＝22－1(n∈N*)． 类型4　由an与Sn的关系式求通项公式【例4】　数列{an}的前n项和Sn＝32an－3，求数列的通项公式．[解]　由Sn＝32an－3可得Sn＋1＝32an＋1－3，两式相减得an＋1＝32an＋1－32an，即an＋1＝3an，a1＝S1＝32a1－3，得a1＝6．所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式an＝2·3n． 类型5　构造法【例5】　数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an2，求数列{an}的通项公式．[解]　取以a1＝2为底的对数，得到log2an＋1＝log2an2，即log2an＋1＝2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝2bn，所以{bn}是以b1＝log2a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n-1，所以log2an＝2n-1，．微专题强化练(一)　数列通项公式的求法一、选择题1．数列1，－34，23，－58，35…的通项公式可能是(　　)A．an＝(－1)n-1n+12n　　　 B．an＝(－1)nn+12nC．an＝(－1)n-1n+12n D．an＝(－1)nn+12nC　[将数列1，－34，23，－58，35，…变为22，－34，46，－58，610，…，从而可知分母的规律为2n，分子的规律为n＋1，再结合正负的调节，可知其通项为an＝(－1)n-1n+12n．故选C．]2．已知a1＝2，an＋1＝n+1nan，则a2 024＝(　　)A．506 B．1 012C．2 024 D．4 048D　[由a1＝2，an＋1＝n+1nan可得an+1an＝n+1n，故a2 024＝a2 024a2 023·a2 023a2 022·…·a2a1·a1＝2 0242 023·2 0232 022·…·21·2＝4 048，故选D．]3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an，则a2 022＝(　　)A．22 022－2 B．22 023－2C．22 024－2 D．22 021－2B　[当n＝1时，S1＋2＝2a1，a1＝2，当n≥2时，Sn－1＋2(n－1)＝2an－1，Sn＋2n－Sn－1－2(n－1)＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋2，∴an＋2＝2(an－1＋2)，an+2an-1+2＝2，{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，以2为公比的等比数列．∴an＋2＝4·2n-1，an＝2n+1－2，a2 022＝22 023－2．故选B．]4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2 023＝(　　)A．2 0231 012 B．2 0232 024C．1 0122 023 D．1 0121 013A　[由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，各式相加得：an－a1＝2＋3＋…＋n，又a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn+12，∴1an＝2nn+1＝21n-1n+1，∴1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2 023＝2×1-12+12-13+13-14+…+12 023-12 024＝2×1-12 024＝2 0231 012．故选A．]5．(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列{an}，则(　　)A．a5＝15 B．a100＝5 000C．2an＋1＝an·an＋2 D．an＋1＝an＋n＋1AD　[由题设，an＝n2+n2，故a5＝25+52＝15，a100＝10 000+1002＝5 050，A正确，B错误；又2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝nn+1n+2n+34，显然2an＋1≠an·an＋2，C错误；an＋n＋1＝nn+12＋n＋1＝n+1n+22＝an＋1，D正确．故选AD．]二、填空题6．观察数列12，－16，(　　)，－120，130，(　　)…的特点，则括号中应填入的适当的数为________．112，－142　[由题可得数列的通项公式为an＝(－1)n+11nn+1，∴a3＝112，a6＝－142．]7．已知数列{an}为等比数列，且a5a6＝2，数列{bn}满足b1＝1，且bn+1bn＝an，则b11＝________．　32　[因为{an}是等比数列，于是有a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝2，而bn+1bn＝an，则有b11＝b1·b2b1·b3b2·…·b11b10＝b1a1a2a3·…·a10＝25＝32，所以b11＝32．]8．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n+1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．　an＝(2n－1)·3n　[由an＋1＝3an＋2·3n+1，得an+13n+1＝an3n＋2·3n+13n+1，∴an+13n+1－an3n＝2，即数列an3n是首项为1，公差为2的等差数列，∴an3n＝2n－1，得an＝(2n－1)·3n．]三、解答题9．在①Tn+1Tn＝n+2ann，②Sn＝n+23an这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．设首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且________．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{cn}的前n项和为an，令dn＝cn·12n，求数列{dn}的前n项和Mn．[解]　(1)选①：∵Tn+1Tn＝n+2ann，即an＋1＝n+2ann，∴an+1n+2＝ann，即an+1n+2n+1＝ann+1n，∴数列ann+1n是常数列，∴ann+1n＝a12×1＝1，故an＝n(n＋1)．选②：∵3Sn＝(n＋2)an，∴当n≥2时，3Sn－1＝(n＋1)an－1，则3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，即(n－1)an＝(n＋1)an－1，∴anan-1＝n+1n-1，∴an＝n+1n-1·nn-2·…·42·31·a1＝n(n＋1)，当n＝1时，a1＝2也满足，∴an＝n(n＋1)．(2)由(1)知当n≥2时，an－1＝(n－1)n，∴cn＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，又∵n＝1时，a1＝2＝2×1＝c1，符合上式，∴cn＝2n，∴dn＝2n·12n＝n·12n-1，∴Mn＝1·120＋2·121＋3·122＋…＋(n－1)·12n-2＋n·12n-1，而12Mn＝1·121＋2·122＋3·123＋…＋(n－1)·12n-1＋n·12n，两式相减得12Mn＝120＋121＋122＋…＋12n-2＋12n-1－n·12n＝1·1-12n1-12－n·12n＝2－2×12n－n·12n＝2－(2＋n)12n，∴Mn＝4－2(2＋n)12n＝4－n+22n-1．