人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品第1课时课后作业题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品第1课时课后作业题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题


1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是( )


A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－(－1)n


C．an＝1＋(－1)nD．an＝1－cs nπ


C [经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．]


2．已知数列－1，eq \f(1,4)，－eq \f(1,9)，…，(－1)neq \f(1,n2)，…，则它的第5项为( )


A．eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)


C．eq \f(1,25) D．－eq \f(1,25)


D [易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·eq \f(1,n2)，当n＝5时，该项为(－1)5·eq \f(1,52)＝－eq \f(1,25).]


3．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,2n－1)，按项的变化趋势，该数列是( )


A．递增数列B．递减数列


C．摆动数列D．常数列


B [∵an＋1－an＝eq \f(n＋1,2n＋1)－eq \f(n,2n－1)＝eq \f(－1,2n＋12n－1)＜0，


∴an＋1＜an.故该数列是递减数列．]


4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )


A．103B．108eq \f(1,8)


C．103eq \f(1,8)D．108


D [把an＝－2n2＋29n＋3看成二次函数，对称轴为n＝eq \f(29,4)＝7eq \f(1,4)，∴n＝7时a7最大，最大项的值是a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.]


5．已知数列的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n＋1n为奇数，,2n－2n为偶数，))则a2a3等于( )


A．20B．28


C．0D．12


A [a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.]


二、填空题


6．已知数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…，则它的第10项是________．


eq \f(20,21) [根据数列的前几项，可归纳an＝eq \f(2n,2n＋1).所以第10项a10＝eq \f(2×10,2×10＋1)＝eq \f(20,21).]


7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．


9 [由an＝19－2n>0，得n

∵n∈N*，∴n≤9.]


8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.


2 [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝a＋m＝2，,a2＝a2＋m＝4，))∴a2－a＝2，


∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1.


又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，


∴a3＝(－1)3＋3＝2.]


三、解答题


9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：


(1)eq \f(4,5)，eq \f(1,2)，eq \f(4,11)，eq \f(2,7)，…；


(2)1，3，6，10，15，…；


(3)7，77，777，….


[解] (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即eq \f(4,5)，eq \f(4,8)，eq \f(4,11)，eq \f(4,14)，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝eq \f(4,3n＋2).


(2)注意6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即eq \f(1×2,2)，eq \f(2×3,2)，eq \f(3×4,2)，eq \f(4×5,2)，eq \f(5×6,2)，…，因而有an＝eq \f(nn＋1,2).


(3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，因而有an＝eq \f(7,9)(10n－1)．


10．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).


(1)求这个数列的第10项；


(2)eq \f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？


(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．


[解] 设f(n)＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)


＝eq \f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq \f(3n－2,3n＋1).


(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝eq \f(28,31).


(2)令eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(98,101)，得9n＝300.


此方程无正整数解，所以eq \f(98,101)不是该数列中的项．


(3)证明：∵an＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq \f(3,3n＋1)，


又n∈N*，


∴0

即数列中的各项都在区间(0，1)内．





11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是( )


A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数


B．数列的项数一定是无限的


C．数列的通项公式的形式是唯一的


D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式


BCD [结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．]


12．(多选题)已知数列{an}满足：an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－an－3，n≤7,an－6，n＞7))(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的可能取值是( )


A．2 B．eq \f(9,4) C．eq \f(11,4) D．3


BC [根据题意，an＝f(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－an－3，n≤7,an－6，n＞7))，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a＞0，,a＞1，,3－a×7－3＜a8－6，))据此有：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜3，,a＞1，,a＞2或a＜－9，))综上可得2＜a＜3，故应选BC.]


13．(一题两空)根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点．





21 n2－n＋1 [观察图形可知，第5个图形有5×4＋1＝21个点，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]


14．(一题两空)如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.





图1 图2


2 eq \r(n) [因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1，(i＝1，2，3，…)为直角三角形，∴OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，OA4＝eq \r(4)＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝eq \r(n).]





15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n2－21n,2)(n∈N*)．


(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？


(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？


[解] (1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．


令an＝1，得eq \f(n2－21n,2)＝1，


而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．


(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，


则有an＝an＋1，即eq \f(n2－21n,2)＝eq \f(n＋12－21n＋1,2).


解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．