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    广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列4.2.1等差数列的概念第二课时等差数列的性质训练提升新人教版选择性必修第二册

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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第二课时当堂达标检测题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第二课时当堂达标检测题,共5页。试卷主要包含了下列说法中正确的是,5D等内容,欢迎下载使用。


    第2课时 等差数列的性质

    课后·训练提升

    基础巩固

    1.下列说法中正确的是(  )

    A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列

    B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列

    C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列

    D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列

    答案:C

    解析:因为a,b,c成等差数列,则2b=a+c,

    所以2b+4=a+c+4,

    即2(b+2)=(a+2)+(c+2),

    所以a+2,b+2,c+2成等差数列.

    2.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9等于(  )

    A.39 B.20 

    C.19.5 D.33

    答案:D

    解析:由题意知,a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列,即a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=33.

    3.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱(‘钱’是古代的一种重量单位),令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱.”这个问题中,甲所得为(  )

    A. B. C. D.

    答案:B

    解析:根据题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可得a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,             

    a-2d+a-d=a+a+d+a+2d, 

    联立①②解得a=1,d=-,则甲所得为1-.

    4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把100个面包分给5人,使每人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份的量为(  )

    A. B. C. D.

    答案:C

    解析:易得中间的一份为20个面包,设最小的一份的量为a1个面包,公差为d(d>0),根据题意,有[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得a1=.故最小的一份的量为个,故选C.

    5.已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为(  )

    A. B.± C.- D.-

    答案:D

    解析:由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,即a7=.

    则tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.

    6.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为     . 

    答案:8

    解析:根据题意,由a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,可得a6=16,故a7-a8=(2a7-a8)=(a6+a8-a8)=a6=8.

    7.在等差数列{an}中,已知a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=     . 

    答案:

    解析:由题意,知a1,a99是方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a99=10.

    因为{an}是等差数列,所以a50==5,故a50+a20+a80=a50=×5=.

    8.mn,两个等差数列m,a1,a2,nm,b1,b2,b3,n的公差分别为d1d2,则的值为     . 

    答案:

    解析:n-m=3d1,得d1=(n-m).

    n-m=4d2,得d2=(n-m).

    .

    9.在等差数列{an}中,若a1+a2++a5=30,a6+a7++a10=80,求a11+a12++a15.

    :(方法一)由等差数列的性质,得

    a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.

    则(a1+a2++a5)+(a11+a12++a15)=2(a6+a7++a10).

    a11+a12++a15=2(a6+a7++a10)-(a1+a2++a5)=2×80-30=130.

    (方法二)由于数列{an}是等差数列,则a1+a2++a5,a6+a7++a10,a11+a12++a15也成等差数列,即30,80,a11+a12++a15成等差数列,可得30+(a11+a12++a15)=2×80,故a11+a12++a15=130.

    10.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图.甲调查表明:从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.

    请根据提供的信息,求:

    (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.

    (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.

    (3)哪一年的规模最大?请说明理由.

    :由题图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10.

    从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},cn=anbn.

    (1)由a1=1,a6=2,得

    解得a2=1.2;

    b1=30,b6=10,得

    解得b2=26.

    c2=a2b2=1.2×26=31.2.

    即第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数为31.2万.

    (2)c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30,即到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.

    (3)an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8,

    bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6),

    cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6).

    cn看作关于n的二次函数,

    二次函数图象的对称轴为直线n=,

    n=2时,cn最大,即第2年的规模最大.

    能力提升

    1.(多选题)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法,正确的是(  )

    A.数列{an}是递增数列

    B.数列{nan}是递增数列

    C.数列是递增数列

    D.数列{an+3nd}是递增数列

    答案:AD

    解析:在等差数列{an}中,d>0,数列{an}为递增数列,A正确;

    an=dn+b,则nan=dn2+bn,当b<0时,数列{nan}可能是先减后增,B错误;

    +d.b>0时,数列为递减数列,C错误;

    an+3nd=4dn+b,d>0,数列{an+3nd}是递增数列,故D正确.应选AD.

    2.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于(  )

    A.1 B. 

    C. D.

    答案:C

    解析:设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列,则a1+a4=a2+a3=2,

    设此等差数列的公差为d,则2a1+3d=2,

    a1=,得d=,

    a2=,a3=+1=,a4=,故|m-n|=|a1a4-a2a3|==.

    3.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点()在直线x-y-=0上,则数列{an}的通项公式为an=     . 

    答案:3n2

    解析:由题意知(n≥2),

    即{}是首项为,公差为的等差数列.

    +(n-1)=n,故an=3n2.

    4.已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an=     . 

    答案:n2

    解析:由题意可得+1=0,

    =1,

    即数列是以1为公差的等差数列,且首项为1,

    故该数列的通项公式为=n,得an=n2.

    5.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3,则数列{an}的通项公式为       . 

    答案:an=2n-

    解析:由题意得an+1+an=4n-3, 

    an+2+an+1=4n+1, 

    -,得an+2-an=4.

    由于{an}是等差数列,设公差为d,即d=2.

    因为a1+a2=1,

    所以a1+a1+d=1,

    a1=-.

    an=2n-.

    6.已知{an}是等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入3个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:

    (1)原数列的第12项是新数列的第几项?

    (2)新数列的第29项是原数列的第几项?

    :因为在等差数列{an}中,a1=2,a2=3,公差d=a2-a1=3-2=1,

    所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1.

    设新等差数列为{bn},公差为d',根据题意,知b1=2,b5=3,

    d'=,

    bn=2+(n-1)×.

    (1)a12=12+1=13,令=13,得n=45,

    故原数列的第12项是新数列的第45项.

    (2)b29==9,令n+1=9,得n=8,

    故新数列的第29项是原数列的第8项.

    7.已知数列{an}的所有项均为正数,且a1=1,an+1-=an+.

    (1)数列{}是否为等差数列?请说明理由.

    (2)求an.

    :(1)数列{}是等差数列.

    理由如下:an+1-=an+,

    an+1-an=,

    ()·()=.

    数列{an}的所有项均为正数,

    ≠0,

    =1,

    数列{}是等差数列,公差为1.

    (2)由(1)知{}是等差数列,且公差d=1,

    +(n-1)×d=1+(n-1)×1=n,即an=n2.

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