高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第二课时课堂检测

第2课时　等差数列前n项和的应用

课后·训练提升

基础巩固

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也一定是常数的是(　　)

A.S7 B.S8 

C.S13 D.S15

答案:C

解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意可知a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,

又S13==13a7,故S13一定是常数.

2.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布.现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为(　　)

A.55 B.52 C.39 D.26

答案:B

解析:由题意可得{an}为等差数列,设其公差为d.a1=5,S30=30×5+d=390,解得d=,故a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52.

3.在数列{an}中,若an=43-3n,则Sn取得最大值时,n等于(　　)

A.13 B.14 

C.15 D.14或15

答案:B

解析:当n≥2时,an-an-1=43-3n-[43-3(n-1)]=-3,当n=1时,a1=40,即{an}是以40为首项,-3为公差的等差数列,故Sn==-n2+n=-,则当n=14时,Sn取得最大值.

4.已知数列{an}中,a1=1,Sn=n2-n,设bn=,则数列{bn}的前n项和为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:A

解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n-=3n-2,当n=1时,a1=3×1-2=1,符合上式,故an=3n-2,则bn=.

设Tn为数列{bn}的前n项和,则Tn==.

5.已知等差数列{an}中,a1=11,前7项的和S7=35,则前n项和Sn中(　　)

A.前6项和最大 B.前7项和最大

C.前6项和最小 D.前7项和最小

答案:A

解析:由题意知S7==35,则a7=-1,因为a1=11,所以公差d==-2,即an=-2n+13,则a6>0,a7<0,故前6项和最大.

6.(多选题)设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0,且S6=S9,则(　　)

A.d>0 

B.a8=0

C.S7或S8为Sn的最大值 

D.S5>S6

答案:BC

解析:因为Sn=na1+d,所以Sn=n2+n,则Sn是关于n(n∈N*)的一个二次函数,又a1>0,且S6=S9,则二次函数图象的对称轴为直线n=,开口向下,则d<0,故A错误;

因为n为整数,所以当n∈N*,且n≤7时,Sn单调递增,当n∈N*,且n≥8时,Sn单调递减,所以S5<S6,故D错误;

当n=7或n=8时,Sn最大,故C正确;

由S7=S8,得a8=0,故B正确.

7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为　　　　　. 

答案:4或5

解析:设等差数列{an}的公差为d,

由解得

则a5=a1+4d=0,即S4=S5同时最大.故n=4或n=5.

8.在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是　　　　　.

答案:S5

解析:在等差数列{an}中,由于a3+a8>0,S9<0,

则a5+a6=a3+a8>0,S9==9a5<0,

即a5<0,a6>0,故S1,S2,…,S9中最小的是S5.

9.已知等差数列{an}满足a1+a3+a5=24,an=an-2-2(n≥3).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.

解:(1)因为a1+a3+a5=24,

所以3a3=24,得a3=8.

设{an}的公差为d,

因为an=an-2-2,即an-an-2=2d=-2,

所以d=-1,an=a3+(n-3)d=11-n.

(2)由(1)可知an=11-n,则|an|=|11-n|,

当n≤11时,Sn=(10+11-n)=;

当n>11时,Sn=S11+|a12+…+an|=55+=55++110.

综上所述,Sn=

10.设{an}是等差数列,a1=-10,且(a3+8)2=(a2+10)·(a4+6).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),得(2d-2)2=d(3d-4),

解得d=2,

故an=-10+2(n-1)=2n-12.

(2)由(1)知an=2n-12,

则Sn=×n=n2-11n=,故当n=5或n=6时,Sn取得最小值-30.

11.已知数列{an}满足a1=1,(n+1)an+1-nan=n+1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若Sn为数列的前n项和,求证:≤Sn<2.

(1)解由于(n+1)an+1-nan=n+1,

取n=1,2,3,…,n-1,得2a2-a1=2,

3a3-2a2=3,

4a4-3a3=4,

……

nan-(n-1)an-1=n,

累加得nan=1+2+…+n=,

故an=.

(2)证明由(1)得,=4,

则Sn=4=2-.

因为Sn随着n的增大而增大,所以Sn≥S1=.

又Sn<2,所以≤Sn<2.

能力提升

1.已知点(n,an)在函数y=9-2x的图象上,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)

A.-14 B.-16 

C.14 D.16

答案:D

解析:根据题意,得an=9-2n,令an=9-2n≥0,解得n≤,

故当n=4时,Sn取最大值,且最大值为S4==16.

2.已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,则+…+等于(　　)

A. B. 

C. D.

答案:C

解析:由于点P(an,an+1)在直线y=x+1上,则an+1-an=1,即{an}为等差数列,其中首项a1=1,公差为1,得an=n,即数列{an}的前n项和Sn=,

则=2,

故+…+=21-+…+=2.

3.已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值,且-1<<0,则使得Sn>0成立的n的最小值是(　　)

A.11 B.12 C.21 D.22

答案:D

解析:由题意,可得等差数列{an}的公差d>0.

因为-1<<0,所以a12>0,a11<0,即a11+a12>0,

则S22==11(a11+a12)>0,S21=21a11<0.

故使得Sn>0成立的n的最小值是22.

4.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0,a7<0,则(　　)

A.a6<0

B.-<d<-3

C.当Sn<0时,n的最小值为13

D.数列中的最小项为第8项

答案:BC

解析:依题意得a3=a1+2d=12,a1=12-2d,S12=×12=6(a6+a7)>0,

而a7<0,所以a6>0,a1>0,d<0,A选项错误;

由

解得-<d<-3,B选项正确;

因为S13=×13=13a7<0,而S12>0,所以当Sn<0时,n的最小值为13,C选项正确;

由上述分析可知,当n≤6,且n∈N*时,an>0,当n≥7,且n∈N*时,an<0;当n≤12,且n∈N*时,Sn>0,当n≥13,且n∈N*时,Sn<0,故当7≤n≤12,且n∈N*时,an<0,Sn>0,<0,|an|单调递增,Sn为正数且单调递减,得数列中的最小项为第7项.D选项错误.

5.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,则满足Sn<0的n的最大值为　　　　　. 

答案:19

解析:因为a10<0,a11>0,且a11>|a10|,

所以a11>-a10,a1+a20=a10+a11>0,所以S20=>0.

又a10+a10<0,所以S19==19a10<0,

故满足Sn<0的n的最大值为19.

6.某山村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用11万元,以后每年支出费用增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额).

(1)求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值;

(2)计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值.

解:(1)由题意可知,每年的支出费用组成首项为11,公差为2的等差数列,故前n年的总支出费用为11n+×2=n2+10n,则f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64,n∈N*.f(n)=-(n-13)2+105,故当n=13时,f(n)取得最大值105,即前13年的纯利润总和最大,且最大值为105万元.

(2)由(1)知,前n年的年平均纯利润为=-+26,

由于n+≥2=16,当且仅当n=,即n=8时,等号成立,

则≤-16+26=10,即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元.

7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数y=x2+x的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列的前n项和为Tn,不等式Tn>loga(1-a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围.

解:(1)由于点(n,Sn)在函数f(x)=x2+x的图象上,则Sn=n2+n.①

当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1),②

由①-②,得an=n.

当n=1时,a1=S1=1,符合上式.故an=n.

(2)由(1)得,

则Tn=+…+

=.

Tn+1-Tn=>0,即数列{Tn}单调递增,故数列{Tn}中的最小项为T1=.

要使不等式Tn>loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要loga(1-a),即loga(1-a)<logaa.

解得0<a<,即实数a的取值范围为.