人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第一课时当堂达标检测题

4.2.2　等差数列的前n项和公式

第1课时　等差数列的前n项和公式

课后·训练提升

基础巩固

1.在等差数列{an}中,若a2=1,a4=5,则数列{an}的前5项和S5等于(　　)

A.7 B.15 

C.20 D.25

答案:B

解析:设等差数列{an}的公差为d,则有

故S5=5a1+d=15.

2.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+5n,则公差d等于(　　)

A.1 B.2 C.5 D.10

答案:B

解析:∵a1=S1=6,a1+a2=S2=14,∴a2=8,

∴d=a2-a1=2.

3.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公差d等于(　　)

A.- B.- C. D.

答案:A

解析:因为S10=10a1+d=70,a1=10,

所以d=-.

4.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1),Sn是数列{an}的前n项和,a2,a2 021是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点,则S2 022的值为(　　)

A.6 066 B.12 

C.2 020 D.6 060

答案:A

解析:∵数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1),

∴数列{an}为等差数列,

又a2,a2021是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点,

即a2,a2021是方程x2-6x+5=0的两个根,

∴a2+a2021=6,

∴S2022==6066.

5.已知{an}是公差d=1的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10等于(　　)

A. B. C.10 D.12

答案:B

解析:由题意,可知S8=8a1+d=8a1+28,S4=4a1+d=4a1+6.因为S8=4S4,即8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=a1+9d=.

6.在等差数列{an}和{bn}中,若a1+b100=100,b1+a100=100,则数列{an+bn}的前100项和为(　　)

A.0 B.100 C.1 000 D.10 000

答案:D

解析:数列{an+bn}的前100项和为=50(a1+a100+b1+b100)

=50×200=10000.

7.在等差数列{an}中,如果a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,那么此数列的前20项和为(　　)

A.160 B.180 C.200 D.220

答案:B

解析:由题意可知a1+a2+a3=3a2=-24,得a2=-8,由a18+a19+a20=3a19=78,得a19=26,于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180.

8.已知{an}是等差数列,Sn是它的前n项和.若S4=20,a4=8,则S8=　　　　　. 

答案:72

解析:设等差数列{an}的公差为d,

则由解得a1=d=2,

故S8=8×2+×2=72.

9.已知数列{an}满足a1=50,an+1=an+2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)已知数列{bn}的前n项和为an,若bm=50,求正整数m的值.

解:(1)当n≥2时,

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=2(n-1)+2(n-2)+…+2×2+2×1+50=2×+50=n2-n+50,

又a1=50=12-1+50,故{an}的通项公式为an=n2-n+50.

(2)b1=a1=50,当n≥2时,bn=an-an-1=n2-n+50-[(n-1)2-(n-1)+50]=2n-2,

即bn=

当m≥2时,令bm=50,得2m-2=50,解得m=26.

又b1=50,故正整数m的值为1或26.

10.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.

(1)求a及k的值;

(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.

(1)解:设等差数列{an}的公差为d,

则a1=a,a2=4,a3=3a,

由已知有a+3a=8,得a1=a=2,d=4-2=2,

故Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.

由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.

(2)证明:由(1)得Sn==n(n+1),

则bn==n+1,

故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,且b1=2,

即{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,

故Tn=.

能力提升

1.(多选题)已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若Sn=S13-n(n∈N*,且n<13),则下列结论正确的为(　　)

A.S13=0  B.a7=0

C.{an}为递增数列 D.a13=0

答案:AB

解析:对B,由题意,Sn=S13-n,令n=7,有S7=S6⇒S7-S6=0⇒a7=0,故B正确.

对A,S13==13a7=0,故A正确.

对C,当an=0时满足Sn=S13-n=0,故{an}为递增数列不一定正确.故C错误.

对D,由A,B项,可设当an=7-n时满足Sn=S13-n,但a13=-6.故D错误.

故AB正确.

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n等于(　　)

A.12 B.14 C.16 D.18

答案:B

解析:因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,

S4=a1+a2+a3+a4=40,

所以4(a1+an)=120,a1+an=30.

由Sn==210,得n=14.

3.在等差数列{an}中,若an=2n+3,其前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),则a-b+c=　　　　　. 

答案:-3

解析:因为an=2n+3,所以a1=5,Sn==n2+4n,与Sn=an2+bn+c比较,得a=1,b=4,c=0,故a-b+c=-3.

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=　　　　　. 

答案:100

解析:因为A,B,C三点共线(该直线不过原点O),所以a1+a200=1,

所以S200==100.

5.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,则使得为整数的n的个数是　　　　　. 

答案:5

解析:由等差数列的性质,知=7+,若∈Z,则n-2只能取-1,1,3,11,33这5个数,故满足题意的n有5个.

6.已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=an-.

(1)证明:{an}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明:当n=1时,a1=S1=a1-,

解得a1=3或a1=-1(舍去).

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+2an-3)-+2an-1-3),得4an=+2an-2an-1,

即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.

因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2).

故{an}是以3为首项,2为公差的等差数列.

(2)解:由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1.

7.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0.

∵a3+a4=a2+a5=22,且a3a4=117,

∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.

又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13.

则解得即an=4n-3.

(2)由(1)知,∵Sn=n×1+×4=2n2-n,

∴bn=.

∴b1=,b2=,b3=.

∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,

∴2c2+c=0,∴c=-或c=0(舍去).

经检验,c=-符合题意,即c=-.