高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第一课时同步达标检测题

4.3　等比数列

4.3.1　等比数列的概念

第1课时　等比数列的概念及通项公式

课后·训练提升

基础巩固

1.在等比数列{an}中,若a2 022=8a2 021,则公比q的值为(　　)

A.2 B.3 

C.4 D.8

答案:D

解析:由等比数列的定义,知q==8.

2.在等比数列{an}中,若|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则通项公式为an等于(　　)

A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 

C.(-2)n D.-(-2)n

答案:A

解析:设等比数列{an}的公比为q,由a5=-8a2,知=-8=q3,得q=-2,因为a5>a2,所以a5>0,a2<0,即a1=>0,所以a1=1,故an=(-2)n-1.

3.若正数a,b,c组成等比数列,则log2a,log2b,log2c一定是(　　)

A.等差数列

B.既是等差数列又是等比数列

C.等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列

答案:A

解析:由题意得b2=ac(a,b,c>0),则log2b2=log2ac,即2log2b=log2a+log2c,

故log2a,log2b,log2c成等差数列.

4.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　)

A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9

C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9

答案:B

解析:根据题意,得b2=(-1)×(-9)=9,且b与首项-1同号,即b=-3,且a,c必同号.

故ac=b2=9.

5.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于(　　)

A.9 B.10 C.11 D.12

答案:C

解析:在等比数列{an}中,∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=q10=q10.

∵am=a1qm-1=qm-1,∴m-1=10,∴m=11.

6.(多选题)下列说法中,正确的是(　　)

A.等比数列中的每一项都不可以为0

B.等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞)

C.若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1

D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列

答案:AC

解析:对于A,因为等比数列中的各项都不为0,所以A正确;对于B,因为等比数列的公比不为0,所以B不正确;对于C,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以C正确;对于D,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以D不正确.故选AC.

7.已知等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

答案:B

解析:根据题意,得an=(n+8)d,且=a1·a2k,

即[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,

解得k=-2(舍去)或k=4.

8.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=　　　　　,d=　　　　　. 

答案:　-1

解析:∵a2,a3,a7成等比数列,∴=a2a7,

∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即2d+3a1=0.①

又2a1+a2=1,∴3a1+d=1.②

由①②解得a1=,d=-1.

9.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　. 

答案:64

解析:设等比数列{an}的公比为q,

由

解得

故a1a2…an=q1+2+…+(n-1)=8n×,于是当n=3或n=4时,a1a2…an取得最大值26=64.

10.已知数列{an}为等比数列,且an>0,满足a3=4,a5,3a4,a6构成等差数列,数列{bn}满足bn=log2an+log2an+1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.

解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意,得a5+a6=6a4⇒q+q2=6,解得q=2或q=-3(舍).由a3=4,得a1=1,故an=a1qn-1=2n-1.

(2)因为bn=log2an+log2an+1=n-1+n=2n-1,

所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,

Sn==n2.

11.已知数列{an},{bn}满足a1=0,a2=1,an+2=,bn=an+1-an.

(1)求证:{bn}是等比数列;

(2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明根据题意,得b1=a2-a1=1,

且bn=an+1-an≠0.

∵an+2=,

∴=-,

∴{bn}是公比为-的等比数列.

(2)解由(1)知公比q=-,

故bn=1×.

能力提升

1.如图所示,在“三角形数阵”中,每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,设第i行第j列的数为aij(i,j∈N*),则a53的值为(　　)

……

A. B. 

C. D.

答案:C

解析:因为第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×.

又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,故a53=.

2.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于(　　)

A. B.

C. D.以上都不对

答案:B

解析:不妨设是x2-mx+2=0的根,则m=,其另一个根为4,对方程x2-nx+2=0,设其根为x1,x2(x1<x2),则x1x2=2,等比数列为,x1,x2,4.

设其公比为q,可得q3==8,q=2,则x1=1,x2=2,可得n=x1+x2=1+2=3,故.

同理,若x=是方程x2-nx+2=0的根,则,故选B.

3.若{an}为公比大于1的等比数列,a3=2,a2+a4=,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 

答案:an=2×3n-3

解析:设等比数列{an}的公比为q,

且q>1,则a2=,a4=a3q=2q,

即+2q=,解得q1=(舍去)或q2=3.

由q=3,知a1=,故an=×3n-1=2×3n-3.

4.若k,2k+2,3k+3是等比数列的前三项,则第四项为　　　　　. 

答案:-

解析:因为k,2k+2,3k+3成等比数列,所以k(3k+3)=(2k+2)2,解得k=-4或k=-1(舍去),所以公比q=,即该等比数列的前三项依次为-4,-6,-9,所以第四项为-9×=-.

5.若数列{an}的前n项和为Sn,且an=2Sn-3,则数列{an}的通项公式是　　　　　.

答案:an=3×(-1)n-1

解析:令n=1,得a1=2a1-3,解得a1=3.

由an=2Sn-3,得an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得an-an-1=2an(n≥2),

即an=-an-1(n≥2),则an≠0,=-1(n≥2).

故{an}是公比为-1的等比数列,an=3×(-1)n-1.

6.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+1=qSn+1,其中q>0.若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式.

解:由Sn+1=qSn+1①,可知当n≥2时,Sn=qSn-1+1②,由①-②,可得an+1=qan,

当n=1时,S2=qS1+1,

即a1+a2=qa1+1,解得a2=q≠0,

则an≠0,=q(n≥2).

因为=q,所以{an}是公比为q的等比数列.

根据2a2,a3,a2+2成等差数列,

由等差数列的性质,可得2a2+a2+2=2a3,

即2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-,

由q>0可知,q=2,故an=2n-1.

7.设数列{an}的首项a1=a≠,且an+1=

设bn=a2n-1-,n=1,2,3,….

(1)求a2,a3;

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.

解:(1)根据题意,可知a2=a1+=a+,a3=a2=a+.

(2)因为a4=a3+a+,

所以a5=a4=a+,

所以b1=a1-=a-,

b2=a3-,

b3=a5-.

猜想:数列{bn}是公比为的等比数列.

证明如下:

因为bn+1=a2n+1-a2n--bn,

且b1=a1-=a-≠0,bn≠0,所以,

故数列{bn}是首项为a-,公比为的等比数列.