A级——基础过关练
1．(2022年河北模拟)在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
【答案】B 【解析】由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13.
2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【答案】A 【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知，偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.
3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
【答案】D 【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
4．(2023年河南联考)在等差数列{an}中，a2＋a9＝11，a4＋a10＝14，则a6＋a11＝( )
A．15 B．16
C．17 D．25
【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得a2＋a9＋a6＋a11＝(a2＋a6)＋(a9＋a11)＝2a4＋2a10＝2(a4＋a10)，∴11＋a6＋a11＝2×14，即a6＋a11＝17.
5．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
【答案】C 【解析】设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100.
6．(多选)(2023年佛山期末)下列命题中错误的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a－3，b－3，c－3成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c成等差数列
【答案】BCD 【解析】若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，由b＝ eq \f(a＋c,2)得b－3＝ eq \f(a＋c,2)－3＝ eq \f(1,2)(a－3＋c－3)，所以a－3，b－3，c－3成等差数列，故A正确；由b＝ eq \f(a＋c,2)得b2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4)(a2＋2ac＋c2)≠ eq \f(1,2)(a2＋c2)，故B错误；由b＝ eq \f(a＋c,2)得2b＝2 eq \s\up6(\f(a＋c,2))≠ eq \f(2a＋2c,2)，故C错误；由b＝ eq \f(a＋c,2)得lg2b＝lg2(a＋c)－1≠ eq \f(1,2)(lg2a＋lg2c)，故D错误．故选BCD.
7．(2022年浙江模拟)已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n,an)))是等差数列，则( )
A．a3＋a6＝2a4B．a3＋a6＝a4＋a5
C． eq \f(1,a3)＋ eq \f(1,a6)＝ eq \f(2,a4)D． eq \f(1,a3)＋ eq \f(1,a6)＝ eq \f(1,a4)＋ eq \f(1,a5)
【答案】C 【解析】设 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n,an)))的公差为d，由题意得 eq \f(4,a4)＝ eq \f(3,a3)＋d， eq \f(5,a5)＝ eq \f(3,a3)＋2d， eq \f(6,a6)＝ eq \f(3,a3)＋3d，所以 eq \f(1,a3)＋ eq \f(1,a6)＝ eq \f(1,a3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a3)＋\f(1,2)d))＝ eq \f(1,2)× eq \f(4,a4)＝ eq \f(2,a4)，C正确；a6＝ eq \f(2a3,da3＋1)，a4＝ eq \f(4a3,da3＋3)，不满足a3＋a6＝2a4，A错误；a5＝ eq \f(5a3,2a3d＋3)，a3＋a6≠a4＋a5，B错误； eq \f(1,a3)＋ eq \f(1,a6)＝ eq \f(3,2a3)＋ eq \f(1,2)d， eq \f(1,a4)＋ eq \f(1,a5)＝ eq \f(27,20a3)＋ eq \f(13d,20)，故D错误．故选C.
8．若正项等差数列{an}满足a3a5＝4，则a4的最小值为________．
【答案】2 【解析】∵an>0，∴a3a5≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a3＋a5,2))) eq \s\up12(2)＝a42(当且仅当a3＝a5＝2时取等号)，即a42≥4，解得a4≥2，即a4的最小值为2.
9．(2023年甘肃开学考试)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是________升．
【答案】 eq \f(67,66) 【解析】设所构成的等差数列为{an}，其公差为d，由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))所以a5＝a1＋4d＝ eq \f(13,22)＋4× eq \f(7,66)＝ eq \f(67,66)，即第5节竹子的容积为 eq \f(67,66)升．
10．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
解：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94，,(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18，))
整理得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a2＋10d2＝47，,8d2＝18，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝±\f(7,2)，,d＝±\f(3,2)．))
故所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
B级——能力提升练
11．在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋lg25
【答案】B 【解析】∵在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，∴a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则lg2(2a1·2a2·…·2a10)＝lg22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.
12．(多选)(2022年山东二模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是( )
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】ABC 【解析】设从冬至到夏至的晷长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，解得d＝－10，∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确；春分的晷长为a7＝75，由题意及等差数列的性质知，秋分的晷长为75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；立冬和立春的晷长相同，为a4＝105，即为一丈五寸，故C正确；立春的晷长为a4＝105，立秋的晷长和立夏的相等，即为a10＝45，故D不正确．
13．(2022年上海模拟)如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．
【答案】19 【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又因为{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列，且sin A＝3sin C，则角B的值为________，tan C的值为________．
【答案】 eq \f(π,3) eq \f(\r(3),5) 【解析】因为角A，B，C成等差数列，可知A＋C＝2B，由A＋B＋C＝π得B＝ eq \f(π,3).因为B＝ eq \f(π,3)，所以A＋C＝ eq \f(2π,3).因为sin A＝3sin C，故sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－C))＝3sin C，即 eq \f(\r(3),2)·cs C＋ eq \f(1,2)sin C＝3sin C，即 eq \f(\r(3),2)cs C＝ eq \f(5,2)sin C，得tan C＝ eq \f(\r(3),5).
15．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 eq \f(85,9)，求这5个数．
解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5，,(a－2d)2＋(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＋(a＋2d)2＝\f(85,9)，))
即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9)，))解得a＝1，d＝± eq \f(2,3).
当d＝ eq \f(2,3)时，这5个数分别是－ eq \f(1,3)， eq \f(1,3)，1， eq \f(5,3)， eq \f(7,3)；
当d＝－ eq \f(2,3)时，这5个数分别是 eq \f(7,3)， eq \f(5,3)，1， eq \f(1,3)，－ eq \f(1,3).
综上，5个数分别为－ eq \f(1,3)， eq \f(1,3)，1， eq \f(5,3)， eq \f(7,3)或 eq \f(7,3)， eq \f(5,3)，1， eq \f(1,3)，－ eq \f(1,3).