人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第2课时课时练习

第四章　4.2　4.2.1　第2课时

A级——基础过关练

1．(2022年河北模拟)在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　)

A．－12 B．－13

C．12 D．13

【答案】B　【解析】由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13.

2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)

A．10 B．20

C．30 D．40

【答案】A　【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知，偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.

3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．1或2

【答案】D　【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.

4．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝(　　)

A．20　　 B．25

C．10　 D．15

【答案】D　【解析】由等差数列的性质可得a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.

5．(2022年上海期末)已知数列{an}是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为(　　)

①{2an＋1}；②{an＋1－an}；③{3|an|}．

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C　【解析】由题意得，an－an－1＝d，所以①2an＋1－(2an－1＋1)＝2(an－an－1)＝2d，所以{2an＋1}为等差数列；②an＋1－an－(an－an－1)＝an＋1－2an＋an－1＝0，所以{an＋1－an}为等差数列；③当an＝2－n时，{3|an|}显然不是等差数列．故选C．

6．(多选)(2021年佛山期末)下列命题中错误的是(　　)

A．若a，b，c成等差数列，则a－3，b－3，c－3成等差数列

B．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列

C．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列

D．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列

【答案】BCD　【解析】若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c.由b＝得b－3＝－3＝(a－3＋c－3)，所以a－3，b－3，c－3成等差数列，故A正确；由b＝得b2＝＝(a2＋2ac＋c2)≠(a2＋c2)，故B错误；由b＝得2b＝2≠，故C错误；由b＝得log2b＝log2(a＋c)－1≠(log2a＋log2c)，故D错误．故选BCD．

7．(2022年浙江模拟)已知数列是等差数列，则(　　)

A．a3＋a6＝2a4 B．a3＋a6＝a4＋a5

C．＋＝ D．＋＝＋

【答案】C　【解析】设的公差为d，由题意得＝＋d，＝＋2d，＝＋3d，所以＋＝＋＝×＝，C正确；a6＝，a4＝，不满足a3＋a6＝2a4，A错误；a5＝，a3＋a6≠a4＋a5，B错误；＋＝＋d，＋＝＋，故D错误．故选C．

8．已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________．

【答案】15　【解析】∵a3＋a15＝6，又∵a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a3＋a15)＝15.

9．某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．

【答案】23.2　【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米时，每增加1千米，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4千米处的车费，公差d＝1.2.那么当出租车行至14千米处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．

10．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．

解：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则

整理得解得

故所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.

B级——能力提升练

11．在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)

A．10　　 B．20

C．40　　 D．2＋log25

【答案】B　【解析】∵在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，∴a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.

12．(多选)(2022年山东二模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　)

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．立冬的晷长为一丈五寸

D．立春的晷长比立秋的晷长短

【答案】ABC　【解析】设从冬至到夏至的晷长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，解得d＝－10，∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确；春分的晷长为a7＝75，由题意及等差数列的性质知，秋分的晷长为75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；立冬和立春的晷长相同，为a4＝105，即为一丈五寸，故C正确；立春的晷长为a4＝105，立秋的晷长和立夏的相等，即为a10＝45，故D不正确．

13．(2022年上海模拟)如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．

【答案】19　【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又因为{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列，且sinA＝3sinC，则角B的值为________，tanC的值为________．

【答案】　【解析】因为角A，B，C成等差数列，可知A＋C＝2B，由A＋B＋C＝π得B＝.因为B＝，所以A＋C＝.因为sin A＝3sin C，故sin＝3sin C，即·cos C＋sin C＝3sin C，即cos C＝sin C，得tan C＝.

15．在△ABC中，三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，求证：△ABC为正三角形．

证明：∵，，成等差数列，

∴＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b.

又∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，

∴＝b，故(－)2＝0，

∴a＝b＝c，故△ABC为正三角形．