高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念第二课时巩固练习

第2课时　数列的递推公式及前n项和

课后·训练提升

基础巩固

1.已知数列{an}满足a1=-,an=1-(n>1),则a4等于(　　)

A. B. 

C.- D.

答案:C

解析:由题意可知a2=1-=5,a3=1-,a4=1-=-.

2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2,则(　　)

A.an=2n+1 B.an=-2n+1

C.an=-2n-1 D.an=2n-1

答案:B

解析:由an=Sn-Sn-1(n≥2),得an=1-2n,当n=1时,S1=a1=-1,符合上式.故an=-2n+1.

3.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于(　　)

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

答案:C

解析:由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,即a1=-3.故a10=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2)=4a2+2a1=4×(-6)+2×(-3)=-30.

4.在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　)

A. B. C.2 D.3

答案:A

解析:由题意得a2=ma3+1,即3=5m+1,

故m=.

5.数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=若an=,则n的值等于(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

答案:C

解析:因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3=,a4=1+a2=3,

a5=,a6=1+a3=,a7=,a8=1+a4=4,a9=,所以n=9.

6.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学中都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2 022项的和为(　　)

A.1 348 B.673 

C.1 346 D.2 019

答案:A

解析:由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以2的余数,可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,故{an}具有周期性,且周期为3,一个周期中的三项和为1+1+0=2.

因为2022=674×3,所以数列{an}的前2022项的和为674×2=1348.

7.已知数列{an}满足an+1·(1-an)=1,且a1=-,则a2 022等于(　　)

A.3 B.- C. D.

答案:A

解析:∵an+1·(1-an)=1,且a1=-,

∴a2=,a3=3,a4=-,∴数列{an}具有周期性,且周期T=3.

∵2022=674×3,

∴a2022=a3=3.

8.已知数列{an}满足anan+1=3n,且a1=1,则数列{an}的前9项和S9=(　　)

A.160 B.241 

C.243 D.484

答案:B

解析:∵anan+1=3n,∴当n≥2时,an-1an=3n-1,两式相除得=3.

∵a1=1,∴a3=3,a5=9,a7=27,a9=81.

由anan+1=3n,得a1a2=3,∴a2=3,a4=9,a6=27,a8=81,∴S9=1+2×(3+9+27+81)=241.

9.设数列{an}满足a1=3,Sn=2an+1,n≥2,则a5=　　　　　. 

答案:16

解析:由Sn=2an+1,n≥2,Sn-1=2an-1+1,n≥3,两式相减,得an=2an-2an-1,an=2an-1,n≥3.

当n=2时,3+a2=2a2+1,a2=2.

故a5=24=16.

10.已知Sn是数列{an}的前n项和,且log3(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. 

答案:an=

解析:∵log3(Sn+1)=n+1,

∴Sn+1=3n+1.

当n=1时,a1+1=9,解得a1=8;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-1-3n+1=2×3n,

当n=1时,a1=8不满足上式,

故an=

11.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)·an-1(n≥2),且a1=1,则=　　　　　;

a100=　　　　　. 

答案:　5 050

解析:由(n-1)an=(n+1)an-1,

得(n≥2),

则a100=a1··…·=1××…×=5050.

12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+qn,其中p,q均为正数,且a2=3,a4=13.

(1)求p,q的值;

(2)求an+3与an的递推公式.

解:(1)由题意可得a2=pa1+q,

即p+q=3,

a4=pa3+3q=p(pa2+2q)+3q=p2a2+2pq+3q,即3p2+2pq+3q=13.

由

因为p,q均为正数,所以p=1,q=2.

(2)由(1)知an+1=an+2n,则an+2=an+1+2(n+1)=(an+2n)+2(n+1)=an+4n+2.

故an+3=an+2+2(n+2)=an+6n+6.

能力提升

1.(多选题)已知函数f(x)=若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),n∈N*,则下列说法正确的是(　　)

A.该数列具有周期性且周期为3

B.该数列不具有周期性

C.a2 021+a2 022=1

D.a2 021+a2 022=

答案:BC

解析:∵a2=f-1=;a3=f-1=;a4=f;

a5=f=2×-1=;a6=f=2×-1=;……

∴从a3开始数列{an}具有周期性且周期为3,但数列{an}并不具有周期性,故A错误,B正确.而a2021+a2022=a5+a6=1,∴C正确,D错误.故选BC.

2.九连环是中国的一种古老的智力游戏,环环相扣,趣味无穷.如图所示,它主要由九个圆环及框架组成,每个圆环都连有一个直杆,各直杆在后一个圆环内穿过,九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定,圆环在框架上可以解下或者套上.九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为f(n)(n≤9,且n∈N*),已知f(1)=1,f(2)=1,且通过该规则可得f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为(　　)

A.7 B.16 C.19 D.21

答案:B

解析:由题意可知f(3)=f(2)+2f(1)+1=1+2+1=4,f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7,

f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16.

3.由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn=,则b6的值是(　　)

A.9 B.17 C.33 D.65

答案:C

解析:∵bn=,∴b2==a2=3,b3==a3=5,b4==a5=9,b5==a9=17,b6==a17=33.

4.已知数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an等于(　　)

A.2n-1 B.n2 

C. D.

答案:D

解析:设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n2,Tn-1=(n-1)2(n≥2),故当n≥2时,an=.

5.设数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2,则an=　　　　　. 

答案:(2n-1)×3n-1

解析:由题意,数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2,当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2,两式相减,得an=n2-(n-1)2=2n-1,

解得an=(2n-1)×3n-1(n≥2),当n=1时,a1=1符合上式,故an=(2n-1)×3n-1.

6.我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N*)求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么a40=　　　　　,第8个5是该数列的第　　　　　项. 

答案:5　640

解析:由题意可知,a5=a10=a20=a40=a80=a160=a320=a640=…=5.

故第8个5是该数列的第640项.

7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前6项并归纳出数列{an}的通项公式.

解:由于a1=3,an+1=2an+1,

则a2=2×3+1=7,a3=2×7+1=15,a4=2×15+1=31,a5=2×31+1=63,a6=2×63+1=127.

由a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127,

可以看出,给每一项均加上1,就变成了a1+1=22,a2+1=23,a3+1=24,a4+1=25,a5+1=26,a6+1=27,

故可猜想出an+1=2n+1,即an=2n+1-1.

8.已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=若a4=4,求m所有可能的取值.

解:若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,

若a2为奇数,则3a2+1=1,a2=0(舍去),

若a2为偶数,则=1,a2=2,

若a1为奇数,则3a1+1=2,a1=(舍去),

若a1为偶数,则=2,a1=4;

若a3为偶数,则=4,a3=8,

若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去),

若a2为偶数,则=8,a2=16,

若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5,

若a1为偶数,则=16,a1=32.

故m所有可能的取值为4,5,32.