第02讲 复数的几何意义 -高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

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第2讲 复数的几何意义

知识点1 复平面、实轴、虚轴与复数的对应
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

知识点2 复数的几何意义

注：复数的几何意义

这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．


知识点3 复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
注：(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小．
(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离．






考点一 复数与复平面内点的关系
解题方略：
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．　
【例1】在复平面上，与点相对应的的复数为（       ）
A． B． C． D．
【解析】在复平面上，点相对应的的复数为.故选：D.


变式1：已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为(　　)
A．(0，－1)　　　　　　　 B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
【解析】复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．故选A.



【例2】复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．故选C.

变式1：若复数为纯虚数，则复数在复平面所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限
【解析】∵复数﹣4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数,
∴实部﹣4＝0①，虚部a＋2≠0②，由①②解得a＝2.
故对应的点为(4，－2)位于第四象限.
故选：C.

变式2：若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，
∴解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．故选A.

变式3：已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
【解析】由题意得解得a＝－1.
故z＝－1＋i.故选A.

变式4：若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
【解析】因为z＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以解得a<－1.故选B.

变式5：复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
【解析】∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x>3.
答案：(3，＋∞)


变式6：当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】∵，
∴，，
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D.

变式7：“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，
因为Ü，
因此，“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充分不必要条件.
故选：A.

变式8：设a，b∈R，i为虚数单位，则“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】由题意知，“ab>0”可推出或当a>0，b>0时，a－bi对应的点位于复平面上第四象限，当a<0，b<0时，a－bi对应的点位于复平面上第二象限，反之成立．所以“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的必要不充分条件．故选B.

变式9：复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
【解析】由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.


【例3】复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则=（ ）
A．1 B．
C．1或 D．0
【解析】复数在复平面内对应的点为，
因为复数i(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，
所以，
故选：A.

变式1：若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝(　　)
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
【解析】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝得 ＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.故选D.

变式2：在复平面内，复数z所对应的点在射线上，且，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】设，∵，∴，解得，∴，
故选：A.

变式3：求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
(3)求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
(4)如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内，
则解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，
则
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
(3)点Z在x轴上，
所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
(4)因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，
故a＝－2或a＝±.
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.

【例4】复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
答案：5

【例5】i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
【解析】因为z1＝2－3i对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应点的坐标为(－2,3)，对应的复数为z2＝－2＋3i.



考点二 复数的模
解题方略：
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．　　　
【例6】已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
【解析】∵z＝1＋2i，∴|z|＝ ＝.

变式1：已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，则.故选：B.



变式2：求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
【解析】∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，
∴|z1|＝ ＝10，
|z2|＝ ＝.
∵10>，∴|z1|>|z2|.

变式3：已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】，
则有，，解得，
则，，故．
故选：C

变式4：若复数是纯虚数，则等于（       ）
A．0 B．2 C．0或2 D．
【解析】因为复数是纯虚数，则需要，解得，所以，∴．
故选：B


变式5：若复数为纯虚数，则（ ）
A． B．13 C．10 D．
【解析】复数为纯虚数，故需要

故选：A


变式6：i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.
【解析】由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.
答案：1　

变式7：复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线上，则（ ）
A． B．2 C． D．10
【解析】复数()在复平面内所对应的点的坐标是，则有，解得，即，所以.故选：A


变式8：复数z满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，，
所以，
所以，解得：，，
所以.
故选：C

变式9：已知复数z满足且，则复数z的虚部为（       ）
A． B． C． D．
【解析】设复数，
因为，可得，即，
又由，可得，即，
两式相减可得，解得，
即复数z的虚部为.
故选：D

【例7】设复数，，且，则实数的取值范围是（       ）
A．或 B． C． D．
【解析】因为复数，，且，
所以，
解得，
故选：C


变式1：已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
【解析】由|z|＝ ≤2，解得－≤m≤.
答案：

变式2：已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
【解析】|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.


变式3：已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【解析】设，由，推出，则，
于是可看成以为圆心，半径为的圆上运动，，
意为A到的距离，距离最大值为3，所以.
故选：D.

【例8】已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？
【解析】(1)|z1|＝|＋i|＝ ＝2，
|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则点Z的坐标为(x，y)．
由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，
所以Z到原点的距离为2.
所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
变式1：已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
【解析】由模的计算公式得 ＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8

变式2：设复数在复平面上对应的点为且满足，则（       ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：B


变式3：已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.

变式4：已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点Z的轨迹为___________．
【解析】设复数，因为，根据复数的几何意义知，表示点到的距离和为2，而，故点Z的轨迹为以为端点的线段．
故答案为：以为端点的线段


考点三 复数与复平面内向量的关系
解题方略：
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　　　　
【例9】向量a＝(－2,1)所对应的复数是(　　)
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
【解析】向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.故选D.

变式1：若＝(0，－3)，则对应的复数为(　　)
A．0 B．－3 C．－3i D．3
【解析】由复数的几何意义可知对应的复数为－3i.故选C.

变式2：复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（ ）
A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i
【解析】∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）
∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）
对应的向量＝﹣3﹣4i
故选：A．

变式3：设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　　)
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
【解析】因为由已知＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.

变式4：向量对应的复数是，向量对应的复数是，则＋对应的复数是（ ）
A． B． C．0 D．
【解析】由题意可知：，，
∴＋＝＋=(0,0)．
∴＋对应的复数是0.
故选：C

变式5：在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋80i　　　　　　　 B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
【解析】两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2，3)，则C(2,4)．故其对应的复数为2＋4i.故选C


变式6：在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
【解析】①由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

变式7：在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)
A．2 B．－2i
C.－3i D．3＋i
【解析】复数对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i.故选B.

变式8：复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（       ）
A． B． C． D．
【解析】复数在复平面内对应的点为，因为，则，
将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，
因此，所求复数为.
故选：C.


变式9：已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________．
【解析】由复数的几何意义可知，＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得解得
∴x＋y＝5.
答案：5


练习一 复数与复平面内点的关系
1、【多选】下列命题中，正确的是（ ）
A．复数的模总是非负数
B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应
C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限
D．相等的向量对应着相等的复数
【解析】设复数，
对于A，，故A正确．
对于B，复数对应的向量为，
且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，
故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．
对于B，复数对应的向量为，
且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，
故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．
对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，
故C错．
对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．
故选：ABD．

2、在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解析】复数对应的点的坐标为
由题干得到
故选：D.


3、复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】复数在复平面内对应的点的坐标为，
故复数在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D



4、在复平面内表示复数的点在直线上，则实数的值为___________．
【解析】因为对应的点的坐标为，
因为复数表示的点在直线上，
所以，解之得：．
故答案为：.
5、若复数为纯虚数，则复数在复平面所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限
【解析】∵复数﹣4＋(a＋2)i(a∈R)是纯虚数,
∴实部﹣4＝0①，虚部a＋2≠0②，由①②解得a＝2.
故对应的点为(4，－2)位于第四象限.
故选：C.

6、【多选】设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（       ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
【解析】由，得，
对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，
对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，
对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，
故选：AC



练习二 复数的模
1、已知复数，则复数的模为（ ）
A． B．1 C． D．
【解析】因为复数，所以.故选：C

2、若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的模为（       ）
A． B． C． D．3
【解析】因为复数z满足，所以复数z的模为，
故选：A

3、复数的模为________．
【解析】复数的模为.故答案为：.

4、若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解析】因为复数是纯虚数，
所以，
∴.
故选：C.

5、下列命题中，正确的是（ ）
A．的虚部是 B．是纯虚数
C． D．
【解析】A：复数的虚部为4，故A错误；
B：复数不是纯虚数，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确.
故选：D

6、下列命题中，真命题是（ ）．
A．虚数所对应的点在虚轴上
B．“”是“复数是纯虚数”的充分非必要条件
C．若，则
D．“”是“”的必要非充分条件
【解析】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错；
表示纯虚数的条件是且，因此B错；
时，也有，C错；
时有，但时也有，D正确．
故选：D．

7、【多选】已知，，，则（       ）
A．的虚部是 B．
C． D．对应的点在第二象限
【解析】由复数相等可得解得所以，
的虚部是2，所以A选项错误；
，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
对应的点在虚轴上，所以D选项不正确.
故选：BC.

8、已知，则“”是“z为纯虚数”的（       ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解析】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；
z为纯虚数，故必要性成立；
故答案选：B


9、已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，
由得
所以，解得
∴．
故选：A．

10、【多选】满足及的复数可以是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，， ，，错误；
对于B，，，，错误；
C. ，，，正确；
D. ，，，正确.
故选：CD.




练习三 复数与复平面内向量的关系
1、在复平面内，已知平行四边形的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，则点B对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由平行四边形OABC知，，得点B对应的复数为.
故选：A


2、设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；
(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
【解析】(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，则有log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1.
所以m＝4或m＝－1；
因为所以m＝4，
此时z＝i，＝(0,1)，||＝1，
(2)因为的终点Z在第二象限内，则有

所以m∈.


3、已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
【解析】(1)因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，　
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或.