数学必修 第二册7.1 复数的概念优秀测试题

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第1讲 数系的扩充和复数的概念

知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.

知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．

知识点3 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：








考点一 复数的有关概念
解题方略：
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．　　
【例1】给出下列几个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥的平方根是
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3


变式1：已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是(　　)
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1　　　B．2 C．3 D．0


变式2：下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．

【例2】请说出下列复数的实部和虚部．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）3i2＋7i


变式1：已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．


变式2：若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)
A．－2 B. C．－ D．2


变式3：【多选】已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．


变式4：已知复数z＝a2＋(2a＋3)i的实部大于虚部，则实数a的取值范围是（     ）
A．－1或3 B．或
C．或 D．或


考点二 复数的分类
解题方略：
复数分类解题策略
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．　
【例3】给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）

变式1：下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．

变式2：设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A． B． C． D．


变式3：【多选】有下列四个命题，其中正确的是（     ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．① B．②
C．③ D．④

【例4】对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数


变式1：实数m取什么值时，复数是：
（1）实数？（2）虚数？（3）0？
变式2：当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数；（3）z为实数.
(4)当m为何值时，z>0.


变式3：已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0 B．2 C． D．

变式4：已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1或2 B．2 C．1或2 D．1

变式5：已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

变式6：已知，i为虚数单位，则“”是“复数是纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式7：复数为纯虚数的充要条件是（       ）
A． B．且
C．且 D．且

变式8：若复数是虚数，则实数的取值范围是________．


变式9：已知z＝log2(1＋m)＋ilog (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．


变式10：若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．


变式11：复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为(　　)
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0或－1

变式12：若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．

变式13：已知复数是负实数，则实数的值为___________．


变式14：已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.


变式15：如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．


变式16：已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（       ）
A．或 B．或 C． D．


变式17：如果复数，那么实数a的值是（ ）.
A．不等于1的实数 B．不等于—1的实数
C．不等于的实数 D．任意实数

变式18：求实数分别取什么值时，复数是：
（1）当实数求值；
（2）当纯虚数求值．



考点三 复数相等及其应用
解题方略：
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．　　
【例5】若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.


变式1：已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；


变式2：满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　)
A．x＝0且y＝3　　　　B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3　　　　D．x＝3且y＝0

变式3：已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．－3 D．9

变式4：若，则实数的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．8或0

变式5：已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．


变式6：若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A. B．2 C．0 D．1


变式7：已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为(　　)
A. B.
C．[－1,1] D.


【例6】为虚数单位，若关于的方程有实根，则实数___________，



变式1：关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

变式2：已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i

变式3：若关于的方程有实根，求纯虚数.


练习一 复数的有关概念
1、下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么 D．设，如果，那么

2、下列说法正确的是（       ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部

3、【多选】已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
A．若,则是纯虚数 B．虚部为的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等

4、有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为；
⑥是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．


5、【多选】已知i为虚数单位，下列说法正确的是
A．若，且，则
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若复数，满足，则
D．的平方等于1


6、【多选】下列命题中错误的有（       ）
A．若，则的充要条件是
B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C．，若，则
D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应


7、已知i是虚数单位，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


8、已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则______.


9、若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1 B．-2 C． D．


10、复数i的虚部为(　　)
A．2　　　B．－ C．2－ D．0

11、据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数的虚部（       ）
A． B． C． D．


12、已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．1



练习二 复数的分类
1、设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C


2、在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3


3、下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3


4、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．


5、已知a为实数，若复数为纯虚数，则________．

6、若是纯虚数，则（       ）
A．或2 B．2 C． D．3


7、若z=（m2+6）+（2）i为纯虚数，则实数m的值为________.


8、若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

9、已知复数，，则“”是“为纯虚数”的______条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）




10、使不等式成立的实数______．


11、已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（     ）
A．0 B．－1
C． D．


12、实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.


13、已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（4）若复数z是0，求实数m的值．


14、当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？






15、设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．



16、设z1＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z2＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．
（1）若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；
（2）若z1＞z2，求实数x的取值范围．


17、求使成立的自然数，的值.



练习三 复数相等及其应用
1、已知，其中，为虚数单位，则___________.


2、若(x-2y)i=2x+1+3i，则实数x，y的值分别为____.


3、若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．


4、已知，则实数的取值分别为______．


5、若实数、满足，则的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．


6、分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.


7、已知，则__________．


8、若复数，（），，则等于（       ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）



9、已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．


10、若方程有实数根，则实数k的取值是____________．


11、设两个复数集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（       ）
A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7]