高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试优秀学案

复数

类型1　复数的概念

(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数的实部与虚部的概念，难度偏小．

(2)求一个复数的实部或虚部需将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．

【例1】　(1)复数＋的虚部是(　　)

A．i　　　B．　　　C．－i　　　D．－

(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．1    B．2    C．1或2    D．－1 

(1)B　(2)B　[(1)＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为．

(2)由纯虚数的定义，可得解得a＝2．]

1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)

A．0　　　B．－1　　　C．1　　　D．－2

(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)

A．4   B．－1

C．6   D．－1或6

(1)A　(2)B　[(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故选A．

(2)由题意可得z1＝z2，

即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，

根据两个复数相等的充要条件可得

解得m＝－1，故选B．]

类型2　共轭复数

(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数中的共轭复数的概念，考查分析和解决问题的能力，运算求解的能力．

(2)解决此类问题应利用共轭复数的概念，求出共轭复数，再根据题目条件求解．

【例2】　(1)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)

A．1或－1   B．或－

C．－   D．

(1)C　(2)A　[(1)由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．

(2)由题可得＝a－i，则z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．]

2．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)

A．若|z1－z2|＝0，则1＝2

B．若z1＝2，则1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2

D．若|z1|＝|z2|，则z＝z

ABC　[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，是真命题；

对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2，是真命题；

对于C，设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2，是真命题；

对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，故D是假命题．]

类型3　复数的模

(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数的模的计算，考查分析与解决问题的能力，运算求解能力．

(2)求解此类问题时，应先将题目中的式子进行变形，求出复数z的代数形式z＝a＋bi，然后求模．

【例3】　(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2

C　[因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝＝，故选C．]

3．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)

A．2    B．    C．    D．1

C　[∵z＝＝＝，

∴|z|＝＝．

故选C．]

类型4　复数的四则运算

(1)本考点多为基础题，考查频率较高，常与前面两个考点综合考查，一般出现在选择题的前两题的位置，分值为5分．主要考查复数的加减乘除运算，常以除法运算为主．考查分析与解决问题的能力，运算求解能力．

(2)解决此类问题的关键是复数乘法、乘法运算法则的熟练应用．

【例4】　计算：

(1)(1－i)(1＋i)；

(2)(1＋i)2 020；

(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)．

[解]　(1)原式＝(1－i)(1＋i)

＝(1－i2)

＝2

＝－1＋i．

(2)原式＝[(1＋i)2]1 010＝(1＋2i＋i2)1 010＝(2i)1 010＝21 010·i1 010＝21 010·(i2)505＝－21 010．

(3)原式＝

＝

＝

＝＋i．

4．(1)计算：＋＝________．

(2)计算：···…·＝________．

(3)设i是虚数单位，则复数(1－i)2－－4i2 019＝________．

(1)－1＋i　(2)－1　(3)0　[(1)由＝i，＝i，

可得原式＝i6＋i＝－1＋i．

(2)因为＝i，

所以原式＝i·i2·i3·…·i2 019

＝i1＋2＋3＋…＋2 019

＝i1 010×2 019

＝(i2)505×2 019

＝－1．

(3)原式＝－2i－＋4i

＝－2i－＋4i

＝－2i－2i＋4i

＝0．]

1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)＝(　　)

A．1　　　　 B．－1　　　　 C．i　　　　 D．－i

D　[＝＝＝－i，选D．]

2．(2020·全国卷Ⅲ)复数的虚部是(　　)

A．－    B．－    C．    D．

D　[＝＝＝＋i，所以虚部为．]

3．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0    B．    C．1    D．

C　[法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C．

法二：因为z＝＋2i＝＝，

所以|z|＝＝＝＝1，故选C．]

4．(2020·全国卷Ⅱ)(1－i)4＝(　　)

A．－4　　　 B．4　　　 C．－4i　　　 D．4i

A　[(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4，故选A．]

5．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1   B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1   D．x2＋(y＋1)2＝1

C　[法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1．故选C．

法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1．故选C．]

6．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．

2　[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4．

因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝

＝＝＝2．]