高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试随堂练习题

章末综合检测(七)

 (时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i是虚数单位，则复数i3－＝(　　)

A．－i　　　　　　　　　　 B．－3i

C．i   D．3i

解析：选C.i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.

2．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1·z2在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选D.z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，对应的点(4，－2)在第四象限．

3．已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位)，若z<6，则实数m＝(　　)

A．2   B．2或－4

C．4   D．－2或4

解析：选A.因为z<6，所以z∈R，则解得所以m＝2，故选A.

4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且＝3 ，则点C对应的复数是(　　)

A．4i   B．2＋4i

C.i   D．1＋i

解析：选C.两个复数对应的点分别为A(6，5)，B(－2，3)，设点C的坐标为(x，y)(x，y∈R)，则由＝3，得＝4，即(－8，－2)＝4(－2－x，3－y)，得故点C对应的复数为i，故选C.

5．设i为虚数单位，若复数z满足＝i，其中为复数z的共轭复数，则|z|＝(　　)

A．1   B.

C.   D．2

解析：选B.由题意得＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z＝－1－i，所以|z|＝＝，故选B.

6．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)

A．1＋i   B．1－i

C．－1＋i   D．－1－i

解析：选A.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以解得故z＝1＋i.

7．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋1＋i的模为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C.＝＝.

若为纯虚数，则，

解得a＝，则z＝2a＋1＋i＝2＋i，

则复数z的模为＝.

8．i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则|z|＝(　　)

A.或   B．2或5

C.   D．5

解析：选C.依题意，得z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，所以解得a＝－2，

所以|z|＝|－2＋i|＝＝.

9．复数cos＋isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于(　　)

A．3   B．12

C．6k－1(k∈Z)   D．6k＋1(k∈Z)

解析：选C.由题意，得＝cos＋isin＝cos－isin由复数相等的定义，得解得＝2kπ－，(k∈Z)，所以n＝6k－1(k∈Z)．故选C.

10．已知复数z1的实部为2，复数z2的虚部为－1，且为纯虚数，z1·z2为实数，若z1＋z2对应的点不在第一象限，则z1－z2对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第三象限

C．第二象限   D．第四象限

解析：选D.设z1＝2＋bi，z2＝a－i，a，b∈R，则＝＝为纯虚数，所以2a－b＝0且2＋ab≠0.因为z1·z2＝(2＋bi)(a－i)＝(2a＋b)＋(ab－2)i为实数，所以ab＝2.由解得或又z1＋z2＝(2＋a)＋(b－1)i对应的点不在第一象限，所以不符合，于是z1－z2＝(2－a)＋(b＋1)i＝3－i对应的点在第四象限．

11．已知z1与z2是共轭复数，有4个命题：①z<|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1＋z2∈R；④∈R.其中一定正确的是(　　)

A．①②   B．②③

C．③④   D．①②③

解析：选B.z1与z2是共轭复数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R，b≠0)．①z＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此不正确；

②z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，正确；

③z1＋z2＝2a∈R，正确；

④＝＝＝＋i不一定是实数，因此不一定正确，故选B.

12．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝(　　)

A．－2－2i   B．2＋2i

C．－2＋2i   D．2－2i

解析：选D.因为x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，所以b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0.根据复数相等的充要条件，得b2＋4b＋4＝0且a＋b＝0，解得a＝2，b＝－2.故复数z＝2－2i，故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．复数的共轭复数是________．

解析：＝＝＝－i，其共轭复数为＋i.

答案：＋i

14．已知z1＝，z2＝2，则z1z2的代数形式为________．

解析：z1z2＝×2＝×2

＝3＝3i.

答案：3i

15．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹为________．

解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

|x＋1＋yi|＝，

|1＋iz|＝|1＋i(x＋yi)|＝，

则＝.

所以复数z＝x＋yi对应点(x，y)的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线．

答案：到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线

16．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．

解析：|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.如图所示，＝＝.

答案：

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：

(1)是实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

解：z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)

＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i

＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.

(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或2，

即m＝1或2时，z为实数．

(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，

即m≠1且m≠2时，z为虚数．

(3)由

得m＝－，

即m＝－时，z为纯虚数．

18．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝，求：

(1)z1z2；(2).

解：因为z2＝＝＝＝＝1－3i.

(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.

(2)＝＝＝＝＋i.

19．(本小题满分12分)已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i(其中i为虚数单位)．

(1)求复数z2；

(2)若复数z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

解：(1)因为z1z2＝－5＋5i，

所以z2＝＝＝3－i.

(2)z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]

＝i[(m2－2m－3)＋(m－1)i]

＝－(m－1)＋(m2－2m－3)i，

因为z3在复平面内所对应的点在第四象限，

所以解得－1<m<1，

故实数m的取值范围是(－1，1)．

20．(本小题满分12分)设为复数z的共轭复数，满足|z－|＝2.

(1)若z为纯虚数，求z；

(2)若z－2为实数，求|z|.

解：(1)设z＝bi(b∈R)，则＝－bi，

因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，

即|b|＝，

所以b＝±，所以z＝±i.

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

因为|z－|＝2，则|2bi|＝2，

即|b|＝，z－2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i.

因为z－2为实数，所以b＋2ab＝0，

因为|b|＝，所以a＝－，

所以|z|＝ ＝.

21．(本小题满分12分)满足z＋是实数，且z＋3的辐角的主值是的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，说明理由．

解：设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z＋＝a＋bi＋＝a＋＋i，

因为z＋∈R，所以b－＝0，

因为b≠0，所以a2＋b2＝5，

又z＋3＝a＋3＋bi的辐角的主值为，所以a＋3＝－b.

把a＋3＝－b与a2＋b2＝5联立，解得或，

所以z＝－1－2i或z＝－2－i，

此时z＋3＝2－2i或z＋3＝1－i的辐角的主值均为.

所以满足条件的虚数z不存在．

22．(本小题满分12分)复数z＝是一元二次方程mx2＋nx＋1＝0(m，n∈R)的一个根．

(1)求m和n的值；

(2)若(m＋ni)＋u＝z(u∈C)，求u.

解：(1)因为z＝＝－－i，

所以＝－＋i，

由题意，知z，是一元二次方程mx2＋nx＋1＝0(m，n∈R)的两个根，

所以

解得

(2)设u＝c＋di(c，d∈R)，

则(1＋i)(c－di)＋(c＋di)＝－－i，

即2c＋d＋ci＝－－i，

所以

解得

所以u＝－＋i.