【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第七章 复数》单元测试1（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》单元测试

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）若z=5i2+i，则z-z=( )
A. 2 B. -2 C. 4i D. -4i
2.（5分）已知i为虚数单位，则复数z=-5i2+3i在复平面内表示的点位于(    )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
3.（5分）已知复数z满足zi2021=4i2022-3i2023，则z=()
A. 4+3i B. 4-3i C. 3+4i D. 3-4i
4.（5分）若复数z=1-2i3(i为虚数单位)，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A. (1,2) B. (1,-2) C. (-1,2) D. (-1,-2)
5.（5分）i是虚数单位，若复数z满足zi=-1+i，则复数z的实部与虚部的和是(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.（5分）1-3i(3+i)2=(    )
A. 14+34i B. -14-34i C. 12+32i D. -12-32i
7.（5分）设i是虚数单位，复数1-2i的虚部是(    )
A. -2 B. 2 C. -2i D. 2i
8.（5分）若f（x）=x3-x2+x-1，则f（i）=（ ）
A. 2i B. 0 C. -2i D. -2
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列说法正确的是()
A. 当m=-1时，复数z=m+1+(m-1)i是纯虚数
B. 复数z=(1+i)(1-i)对应的点在第一象限
C. 复数z=1+i1-i，则|z|=1
D. 复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA→与OB→，则表示向量BA→的复数为9+i
10.（5分）已知z1，z2为复数，下列命题不正确的是( )
A. 若z1=z2，则z1=z2 B. 若z1=z2，则z1=z2
C. 若z1>z2则z1>z2 D. 若z1>z2，则z1>z2
11.（5分）若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则( )
A. |z|=5 B. z的实部是2
C. z的虚部是1 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
12.（5分）已知复数z=-12+32i(其中i为虚数单位)，则以下结论正确的是( )
A. z2⩾0 B. z2=z C. z3=1 D. z=1
13.（5分）已知z1，z2为复数，下列命题不正确的是( )
A. 若z1=z2，则|z1|=|z2| B. 若|z1|=|z2|，则z1=z2
C. 若z1>z2则|z1|>|z2| D. 若|z1|>|z2|，则z1>z2
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在复数集中因式分解x4-6x2+25=______．
15.（5分）已知复数z1=(a2-2)-3ai，z2=a+(a2+2)i，若z1+z2是纯虚数，那么实数a的值为______.
16.（5分）已知复数z=1-i(1+i)2，则z的实部为 ______ ．
17.（5分）复数z=（2-i）i的实部是____．
18.（5分）设复数z1=-3-3i，z2=3+i，z=3sinθ+(3cosθ+2)i，则|z-z1|+|z-z2|的最小值为__.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知 i是虚数单位，复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i． 
(1)求复数z1； 
(2)若复数z2的虚部为2，且z2øverlinez1是实数，求|z2|.
20.（12分）已知z1，z2为复数，|z1|=1，z1+z2=2i，求|z1-z2|的最大值．
21.（12分）计算：(1-2i)(3+4i)(-1+i)．
22.（12分）已知复数z=(m+i)(2-i)+3+2i(m∈R). 
(1)若z在复平面中所对应的点在直线2x+y=0上，求m的值； 
(2)求|z+1-2i|的取值范围．
23.（12分）已知复数z1=m-2i，复数z2=1-ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
(1)若n=1，z1为纯虚数，求 |z1+z2| 的值；
(2)若z1=(z2→)2，求m，n的值．

答案和解析
1.【答案】C;
【解析】 
此题主要考查有关复数四则混合运算的知识，解答本题的关键是知道复数四则混合运算的法则，属于基础题. 
直接利用复数的四则运算法则进行计算即可. 
 
解：由题意得， z=5i2+i=1+2i， 
∴z=1-2i，z-z=4i 
故选C.

2.【答案】B;
【解析】解：由z=-5i2+3i=-5i(2-3i)(2+3i)(2-3i)=-10i+15i213=-1513-1013i，  
则复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1513,-1013)，  
位于第三象限．  
故选：B． 
直接利用复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．  
该题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.【答案】C;
【解析】解：∵i2=-1，i4=1， 
∴i2021=(i4)505⋅i=i，同理可得，i2022=-1，i2023=-i， 
∵zi2021=4i2022-3i2023， 
∴iz=-4+3i，即z=-4+3ii=3+4i. 
故选：C. 
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 
此题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

4.【答案】A;
【解析】解：∵z=1-2i3=1+2i， 
∴z对应的点的坐标是(1,2). 
故选：A. 
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解． 
此题主要考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

5.【答案】C;
【解析】解：复数z满足zi=-1+i，  
可得z=-1+ii=(-1+i)ii.i=1+i． 
复数z的实部与虚部的和是：1+1=2． 
故选：C． 
利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．  
此题主要考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．

6.【答案】B;
【解析】
 
复数代数形式的混合运算，是基础题．化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果． 
 
解：1-3i(3+i)2=1-3i2+23i=12(1-3i)2(1+3i) (1-3i)=-2-23i2×4= -14-34i 
故选：B． 
 


7.【答案】A;
【解析】解：复数1-2i的虚部是-2． 
故选；A． 
根据复数虚部的定义即可得出．  
该题考查了复数虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8.【答案】B;
【解析】解：由题意知f（x）=x3-x2+x-1， 
∴f（i）=i3-i2+i-1=-i+1+i-1=0， 
故选B

9.【答案】ACD;
【解析】 
此题主要考查了纯虚数的概念，复数的几何含义，复数模公式，以及向量的加减法，需要学生较强的综合能力，属于基础题． 
根据已知条件，结合纯虚数的概念，复数的几何意义，复数模公式，以及向量的加减法，即可求解． 
解：对于选项A，当m=-1时，复数z=-2i，z为纯虚数，故A选项正确， 
对于选项B，由于z=(1+i)(1-i)=2，则复数z所对应的复平面的点(2,0)在x轴上，故B选项错误， 
对于选项C，由于复数z=1+i1-i=(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2i2=i，则|z|=1，故C选项正确， 
对于选项D，复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA→与OB→，则设O为坐标原点，在复平面A对应的点为(6,5)，B对应的点为(-3,4)，则BA→=(9,1)，则表示向量BA→的复数为9+i，故D选项正确． 
故选：ACD.

10.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查复数的定义、复数的模，属于基础题． 
根据复数的定义，复数的模等知识逐一分析各选项，错误的选项举出反例即可.解：对于A，若z1=z2，则z1=z2显然成立，故A正确； 
对于B，若z1=1+i，z2=1-i，满足z1=z2，但z1≠z2，故B错误； 
对于C，若z1=1，z2=-1，满足z1>z2，但z1=z2，故C错误； 
对于D，若z1=2+i，z2=1-i，满足|z1|>|z2|，但复数无法比较大小，故D错误. 
故选BCD.

11.【答案】ABD;
【解析】 
此题主要考查复数的概念及运算，共轭复数，属于基础题. 
利用复数的运算法则解得z=2-i，则z=2+i，再由复数的概念及几何意义，复数的模，逐一判断即可. 
 
解：复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)， 
则z=3+i1+i=3+i1-i1+i1-i=2-i， 
复数z的共轭复数z=2+i， 
|z|=5，A正确； 
z的实部是2，B正确； 
z的虚部是-1，C错误；           
复数z在复平面内对应的点为(2,1)，在第一象限，D正确. 
故选ABD.

12.【答案】BCD;
【解析】 

此题主要考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
利用复数的运算法则直接求解即可．
解：∵复数z=-12+32i(其中i为虚数单位)，
∴z2=14-32i-34=-12-32i，故A错误；
由上可得z2=z，故B正确；
z3=(-12-32i)(-12+32i)=14+34=1，故C正确；
|z|=14=1.故D正确．
故选：BCD.

13.【答案】BCD;
【解析】解：若z1=z2，则|z1|=|z2|，反之不成立，故A正确，B错误， 
对于C，令z1=-1，z2=-2，满足z1>z2，但|z1|<|z2|，故C错误， 
对于D，令z1=-2，z2=-1，满足|z1|>|z2|，但z1 故选：BCD. 
根据已知条件，结合复数模的计算公式，即可求解． 
此题主要考查复数模的计算，属于基础题．

14.【答案】（x-2-i）（x+2+i）（x-2+i）（x+2-i）;
【解析】解：在复数集中因式分解，令x4-6x2+25=0，利用求根公式可得：x2=6±8i2=3±4i． 
∴x4-6x2+25=(x2-3-4i)(x2-3+4i)， 
∵3+4i=(2+i)2，3-4i=(2-i)2． 
∴原式=(x-2-i)(x+2+i)(x-2+i)(x+2-i)． 
故答案为：(x-2-i)(x+2+i)(x-2+i)(x+2-i)． 
利用求根公式及其平方差公式即可得出． 
该题考查了求根公式及其平方差公式、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15.【答案】-2;
【解析】 
此题主要考查复数的概念及运算，由纯虚数的概念求解即可. 
 
解：由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数， 
得^2-2+a=0,a2-3a+2≠0⇒a=-2. 
故答案为-2.

16.【答案】-12;
【解析】解：∵z=1-i(1+i)2=1-i2i=(1-i)(-i)-2i2=-1-i2=-12-i2，  
∴z的实部为-12．  
故答案为：-12．  
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．  
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

17.【答案】1;
【解析】解：复数z=（2-i）i=2i-i2=1+2i，复数z的实部为1， 
故答案为：1．

18.【答案】2+23;
【解析】 
此题主要考查复数的几何意义，注意运用转化思想，运用直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．设z1对应点为A(-3,-3)，z2对应点为B(3,1)，z对应点为P(3sinθ,3cosθ+2)，可得P在圆x2+(y-2)2=3上运动，求得直线AB的方程，以及圆心到直线AB的距离，判断直线和圆的位置关系，即可得到所求最小值． 
 
解：复数z1=-3-3i，z2=3+i，z=3sinθ+(3cosθ+2)i， 
设z1对应点为A(-3,-3)，z2对应点为B(3,1)，z对应点为P(3sinθ,3cosθ+2)， 
可得P在圆x2+(y-2)2=3上运动， 
而直线AB的方程为y-1=1+33+3(x-3)，即为y=33x， 
且A，B均在圆外，由圆心(0,2)到直线AB的距离d=|0-2|1+13=3， 
即直线AB和圆相切，存在切点P，使得|PA|+|PB|=|AB|， 
则|z-z1|+|z-z2|的最小值为|AB|=2+23. 
故答案为2+23. 
 


19.【答案】解：（1）由（z1-2）（1+i）=1-i， 
得z1-2=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i， 
∴z1=2-i； 
（2）设z2=a+2i（a∈R），则z2øverlinez1=a+2i2+i=(a+2i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a+2+(4-a)i5， 
∵z2øverlinez1是实数，∴a=4， 
则z2=4+2i， 
∴|z2|=42+22=25．;
【解析】 
(1)把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案； 
(2)设z2=a+2i(a∈R)，代入z2øverlinez1，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z2øverlinez1是实数求得a值，得到z2，代入复数模的计算公式得答案． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

20.【答案】解：设出复数z1=a+bi，z2=-a+ci，∵|z1|=1，∴a2+b2=1，①， 
∴-1≤b≤1，b+c=2，|z1-z2|=4a2+b-c2=41-b2+b-2+b2=8-8b，
∴当b=-1时，|z1-z2|取到最大值16=4.
;
【解析】
此题主要考查复数的应用，熟悉复数的几何意义是解答本题的关键，只要学生认真审题，仔细计算，都能得分.

21.【答案】解：（1-2i）（3+4i）（-1+i）  
=（11-2i） （-1+i）  
=-9+13i．;
【解析】 
根据复数的运算性质依次计算即可．  
该题考查了复数的运算性质，是一道基础题．

22.【答案】解：（1）化简得z=（2m+4）+（4-m）i， 
所以z在复平面中所对应的点的坐标为（2m+4，4-m）， 
因为点（2m+4，4-m）在直线2x+y=0上， 
所以2（2m+4）+4-m=0，解得m=-4． 
（2）|z+1-2i|=|2m+5+(2-m)i|=(2m+5)2+(2-m)2=5m2+16m+29， 
因为m∈R，且5m2+16m+29=5(m+85)2+815≥815，所以|z+1-2i|=5m2+16m+29≥955， 
所以|z+1-2i|的取值范围为[955，+∞)．;
【解析】 
(1)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 
(2)根据已知条件，结合复数模公式，以及二次函数的性质，即可求解． 
此题主要考查了复数代数形式的几何意义，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

23.【答案】解(1)因为z1=m-2i为纯虚数，所以m=0． 
又n=1， 
所以z1=-2i，z2=1-i，从而z1+z2=1-3i． 
因此|z1+z2|=12+(-3)2=10． 
(2)因为z1=(z2→)2，所以m-2i=(1+ni)2， 
即m-2i=(1-n2)+2ni． 
又m，n为实数， 
所以{m=1-n2-2=2n 
解得 {m=0n=-1．;
【解析】
该题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 
(1)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 
(2)利用复数的运算法则、复数相等即可得出．