高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算精品课时作业

第3讲 复数的加、减运算及其几何意义

知识点1 复数代数形式的加减法

(1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.

(2)加法运算律

对任意，有，．

注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点

(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；

特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．

(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．

(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．

知识点2 复数加减法的几何意义

考点一 复数代数表示式的加、减法运算

解题方略：

复数加、减运算的法则

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．　　　　

【例1】（       ）

A． B． C． D．

变式1：计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.

变式2：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.

变式3：如果，那么复数为（       ）

A． B． C． D．

【例2】已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.

变式1：复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为(　　)

A．a＝－3，b＝－4　　　　　 B．a＝－3，b＝4

C．a＝3，b＝－4  D．a＝3，b＝4

【例3】设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.

变式1：已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.

变式4：若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)

A．3       B．2    C．1  D．－1

【例4】计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.

变式1：已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝(　　)

A．12     B．3     C．3  D．9

变式2：复数在复平面内对应点的坐标为，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

变式3：已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.

变式4：若|z|＋z＝3＋i，则z等于(　　)

A．1－i      B．1＋i    C.＋i  D．－＋i

【例5】求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：

（1）；

（2）.

考点二 复数加、减运算的几何意义

解题方略：

运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．　

【例6】在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（       ）

A． B．5 C．2 D．10

变式1：已知复数与分别表示向量和，则表示向量的复数为______.

变式2：设复数，，则在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式3：已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)

变式4：如图，在复平面内，若复数，对应的向量分别是，，则复数 所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

变式5：在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.

变式6：设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(　　)

A．z1＋z2＋z3＝0  B．z1－z2－z3＝0

C．z1－z2＋z3＝0  D．z1＋z2－z3＝0

变式7：在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.

变式8：已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于(　　)

A．1  B.

C．2  D．2

变式9：△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)

A．外心      B．内心     C．重心  D．垂心

变式10：复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

变式11：已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．

变式12：已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．

(1)求对应的复数；

(2)求对应的复数．

考点三 复数模的最值问题（拓展）

解题方略：

两个复数差的模的几何意义

(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．

(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．　　　　

【例7】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)

A．1　　　B.        C．2  D.

变式1：若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

变式2：已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．

练习一 复数代数表示式的加、减法运算

1、 （       ）

A． B． C． D．

2、等于（       ）．

A． B． C． D．

3、计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；

(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．

4、若复数满足，则的虚部是（       ）

A． B． C． D．4

5、若复数z满足，则z的虚部是（       ）

A． B． C．1 D．6

6、已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

7、设若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数（       ）

A． B． C． D．

8、若复数，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

练习二 复数加、减运算的几何意义

1、在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（       ）

A． B． C． D．

2、在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.

3、如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（       ）．

A． B． C． D．

4、复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是________（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）.

5、如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：

（1）向量对应的复数；

（2）向量对应的复数；

（3）向量对应的复数．

6、已知，求.

7、已知，，，，求.

8、根据复数加法的几何意义，证明：．

9、已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：

(1)点C，D对应的复数；

(2)平行四边形ABCD的面积．

练习三 复数模的最值问题

1、已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2、【多选】已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（       ）

A．复数的虚部为

B．

C．的最大值

D．的最小值为

3、若，则取值范围是______

4、已知复数z满足，则的最大值为___________．