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    数学必修 第二册第七章 复数本章综合与测试教案设计

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    这是一份数学必修 第二册第七章 复数本章综合与测试教案设计,共8页。教案主要包含了学习目标,知识网络,要点梳理,典型例题,思路点拨等内容,欢迎下载使用。

    《数系的扩充与复数》全章复习与巩固

    【学习目标】  

    1. 了解引进复数的必要性,了解数集的扩充过程;

    2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念;理解复数相等的充要条件;

    3. 了解复数的代数表示法及其几何意义;

    4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则,了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别.

    【知识网络】

    【要点梳理】

    要点一:复数的基本知识

    1、虚数单位,规定它的平方等于,即.

    可与实数进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.

    2、形如)的数叫做复数,记作:);

    b=0时,是实数

    b0时,叫做虚数;

    a=0b0时,叫做纯虚数.

    3、两个复数相等的充要条件:若.

    4、复数的几何意义:

    复数复平面内的点 平面向量

    5、复数的模:设),则向量的长度叫做复数的模,记作.

    .

    要点诠释:1的周期性:如果nN,则有

    (2)复数的共轭复数,记为

    (3).

    要点二:复数的运算

    ),则:

    要点诠释:1)设ω,则(nN+)等;

    (2)复数求解计算时,要灵活利用iω的性质,或适当变形,创造条件,从而转化为关于iω的计算问题. 比如

    (3)作复数除法运算时,有如下技巧:

     

     

     

    【典型例题】

    类型一:复数的概念及运算

    1.  化简下列式子:

    (1)           (2)

    【解析】  (1)

    (2)

     

    【变式1i是虚数单位,计算  (    )

        A-l    B1    C-i    Di

    【答案】 A

     

    【变式2复数等于  (    )

        Ai    B-i    C1    D-1

    【答案】  D

    【解析】 

     

    【变式3已知复数,则________·

    【答案】 -2i

    2. 已知(aR)分别对应向量O为原点),若向量所对应的复数为纯虚数,求a的值.

    【解析】  设向量对应的复数为z

     

     

      z为纯虚数,

       

     

     

    【变式1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________

        【答案】  1

        【解析】 

        ,由复数相等得

     

    【变式2】 设ab为实数,若复数,则(   )

    A    Ba3bl    C    Da1b3

    【答案】  A

    【解析】

        故选A

    类型二:复数的几何意义

    3.  已知复数,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

    【解析】设复数所对应的点分别为ABC,正方形的第四个点D对应的复数为(xyR)

      对应的复数为

    对应的复数为

     

     

      解得

      D对应的复数为

     

    【变式】已知复平面上的ABCD中,对应的复数为6+8i对应的复数为-4+6i,求向量对应的复数.

    【答案】如图所示,ABCD中,设对角线ACBD的交点为E,则点EACBD的中点,由复数加减法的几何意义可得

    所以对应的复数为

    所以向量对应的复数为

     

    4. 复数z对应的点在第一象限,若复数0z对应的点是正三角形的三个顶点,求实数ab的值.

    【解析】

        ,得   

          复数0z对应的点是正三角形的三个顶点,

     

    代入上式化简得|b|1 

      z对应的点在第一象限.

      a0b0

    ①②

    故所求值为

     

    【变式1复数在复平面上对应的点位于(   )

        A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

      【答案】 A

    【解析】

      复数z在复平面内的对应点为,在第一象限.故选A

     

    【变式2i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是(    )

        AE    BF    CG    DH

       【答案】  D

    【解析】  由题中图示可知

      ,再结合题中图示知点H表示2-i,故选D

    类型三:复数与方程

    5.  已知2+aib+i是实系数一元二次方程的两根,求pq.

    Ap=-4q5    Bp4q5    Cp4q=-5    Dp=-4q-5

    【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题.

      【解析】 因为2+aib+i)是实系数一元二次方程的两个根,

    所以2+aib+i互为共轭复数,

    所以a=-1b2

    所以实系数一元二次方程的两个根是2±i

    所以p=-[(2+i)+(2-i)]=-4q=(2+i)(2-i)=5

     

    【变式】在复数集中解方程.

    【答案】

    原方程的根为.

     

    6.  已知ZC,解方程

     【思路点拨】本题介绍对的熟练应用,来求得.

    【解析】    ,把方程变形为 

        两边取模得

    整理得

    解得

        将其代入

          z=-1z=-1+3i

     

    【变式】已知ZC,解方程

    【答案】令(x,yR),

    则原方程化为:

    由复数相等的条件有

    解得

    原方程的解为.

     

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