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数学必修 第二册第七章 复数本章综合与测试教案设计
展开《数系的扩充与复数》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 了解引进复数的必要性,了解数集的扩充过程;
2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念;理解复数相等的充要条件;
3. 了解复数的代数表示法及其几何意义;
4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则,了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一:复数的基本知识
1、虚数单位,规定它的平方等于,即.
可与实数进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
2、形如()的数叫做复数,记作:();
当b=0时,是实数;
当b≠0时,叫做虚数;
当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.
3、两个复数相等的充要条件:若,则.
4、复数的几何意义:
复数复平面内的点 平面向量
5、复数的模:设(),则向量的长度叫做复数的模,记作.
即.
要点诠释:(1)的周期性:如果n∈N,则有:,,,;
(2)复数的共轭复数,记为;
(3).
要点二:复数的运算
设,(),则:
要点诠释:(1)设ω=,则,,,,,(n∈N+)等;
(2)复数求解计算时,要灵活利用i、ω的性质,或适当变形,创造条件,从而转化为关于i、ω的计算问题. 比如;;;
(3)作复数除法运算时,有如下技巧:.
【典型例题】
类型一:复数的概念及运算
例1. 化简下列式子:
(1); (2) .
【解析】 (1)
;
(2)
.
【变式1】i是虚数单位,计算 ( )
A.-l B.1 C.-i D.i
【答案】 A
【变式2】复数等于 ( )
A.i B.-i C.1 D.-1
【答案】 D
【解析】 .
【变式3】已知复数,则________·
【答案】 -2i
例2. 已知,(a∈R)分别对应向量,(O为原点),若向量所对应的复数为纯虚数,求a的值.
【解析】 设向量对应的复数为z,
∵ ,
∴
.
∵ z为纯虚数,
∴ 即
∴ .
【变式1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.
【答案】 1
【解析】 ,,
,由复数相等得.
【变式2】 设a,b为实数,若复数,则( )
A., B.a=3,b=l C.=, D.a=1,b=3
【答案】 A
【解析】
故选A.
类型二:复数的几何意义
例3. 已知复数,,,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
【解析】设复数、、所对应的点分别为A、B、C,正方形的第四个点D对应的复数为(x,y∈R),
∴ 对应的复数为
,
对应的复数为.
∵ ,
∴ ,
即 解得
∴ 点D对应的复数为.
【变式】已知复平面上的ABCD中,对应的复数为6+8i,对应的复数为-4+6i,求向量对应的复数.
【答案】如图所示,ABCD中,设对角线AC、BD的交点为E,则点E为AC、BD的中点,由复数加减法的几何意义可得
所以对应的复数为,
所以向量对应的复数为.
例4. 复数且,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.
【解析】.
由,得. ①
∵ 复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,
∴ .
把代入上式化简得|b|=1. ②
又∵ z对应的点在第一象限.
∴ a<0,b<0.
由①②得
故所求值为,.
【变式1】复数在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】 A
【解析】 .
∴ 复数z在复平面内的对应点为,在第一象限.故选A.
【变式2】若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )
A.E B.F C.G D.H
【答案】 D
【解析】 由题中图示可知,
∴ ,再结合题中图示知点H表示2-i,故选D.
类型三:复数与方程
例5. 已知2+ai,b+i是实系数一元二次方程的两根,求p,q.
A.p=-4,q=5 B.p=4,q=5 C.p=4,q=-5 D.p=-4,q=-5
【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题.
【解析】 因为2+ai,b+i)是实系数一元二次方程的两个根,
所以2+ai与b+i互为共轭复数,
所以a=-1,b=2,
所以实系数一元二次方程的两个根是2±i,
所以p=-[(2+i)+(2-i)]=-4,q=(2+i)(2-i)=5.
【变式】在复数集中解方程.
【答案】,
∴,
∴原方程的根为.
例6. 已知Z∈C,解方程.
【思路点拨】本题介绍对的熟练应用,来求得.
【解析】 ∵ ,把方程变形为, ①
两边取模得.
整理得.
解得或.
将其代入①得或.
∴ z=-1或z=-1+3i.
【变式】已知Z∈C,解方程.
【答案】令(x,y∈R),
则原方程化为:,
∴由复数相等的条件有
解得或
∴原方程的解为,.
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